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  Konvergenz uneigentliches Integral des Produkts zweier Funktionen |
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Charly02
Junior 
Dabei seit: 18.01.2023
Mitteilungen: 8
 |  Themenstart: 2023-01-18
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Hallo ihr lieben, wir haben Aufgaben bekommen, die freiwillig zu bearbeiten sind. Bei einer hab ich Schwierigkeiten:
Seien f und g Funktionen, sodass die Integrale \(\int_a^b f(x) dx\) und \(\int_a^b g(x) dx\) konvergieren. Muss dann auch das Integral \(\int_a^b f(x)g(x)dx\) konvergieren?
Kann mir da wer weiterhelfen?
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2074
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-18
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo und willkommen hier! :)
Fange am besten mal damit an, konkrete Beispiele für $f$ und $g$ zu betrachten, dass du ein Gefühl dafür bekommst, ob die Aussage stimmt oder nicht. Weiter könntest du schauen, ob du einfache Beispiele für divergente uneigentliche Integrale kennst? Vielleicht ist da ja eines dabei, wo sich der Integrand als Produkt von zwei Funktionen schreiben lässt? etc.
\showon Tipp.
Betrachte doch mal $a=0$, $b=1$ und die Funktion $(0,1]\to \mathbb R, \ x\mapsto \frac 1x$.
\showoff
LG Nico\(\endgroup\)
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Charly02
Junior
Dabei seit: 18.01.2023
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-19
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Hallo,
danke für die schnelle Antwort. Mit der Funktion hantiere ich auch schon die ganze Zeit rum. Ich bin bisher soweit, dass die Funktion \(\frac{1}{x^a}\) für a größer gleich 1 divergiert und für kleiner 1 konvergiert. Ich hatte auch zu Anfang überlegt es so zu machen, aber irgendwie hatte ich nen Denkfehler glaub ich. hab dann sofort ausgeschlossen, dass es als Produkt dargestellt werden kann und hab das dann anders auch nicht hinbekommen 😂.
Jedenfalls müsste es doch dann gehen, wenn ich z.B. für f(x)=\(\frac{1}{x^{0,5}}\) und g(x)=\(\frac{1}{x^{0,75}}\) wähle, oder?
Danke schonmal 🙃
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2074
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-19
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
siehe z.B. meinen Tipp im letzten Beitrag. Wenn wir $h\colon (0,1]\to \mathbb R$ mit $h(x)=\frac{1}{x}$ betrachten, dann ist ja
$$
\int_0^1 h(x) \dd x=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_\varepsilon^1 \frac{1}{x} \dd x.
$$
Existiert dieser Grenzwert? Was folgt daraus für die Konvergenz des Integrals $\int_0^1 h(x) \dd x$? Kann man $h$ auf naheliegende Weise in der Form $h=f\cdot g$ schreiben? Welche Funktionen bieten sich für $f$ bzw. $g$ an? Existieren für deine Wahlen von $f$ und $g$ die Integrale?
Zu deinen Beispielen: Du müsstest zunächst auch angeben, was $a$ und $b$ für deine Beispiele sein sollen.
LG Nico\(\endgroup\)
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Charly02
Junior
Dabei seit: 18.01.2023
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-19
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So in etwa?(da fehlt natürlich noch ein kurzer Text, aber vom Prinzip her?)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56114_Picture1.jpg
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2074
Wohnort: Köln
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-19
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Du machst dir das Leben aber auch unnötig schwer!😁
Nimm z.B. einfach $f=g\,\colon (0,1]\to \mathbb R$ und für beide $f(x)=g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$. Es ist dann $f\cdot g=f^2=h$.
Du hast gezeigt (auch wenn es mit $\LaTeX$ besser wäre), dass $\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\dd x=2$.
Wenn du nun noch auf die anderen Fragen von mir eingehst, dann hast du ein Gegenbeispiel gefunden.
LG Nico\(\endgroup\)
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Charly02
Junior
Dabei seit: 18.01.2023
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-19
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Tut mir Leid, ich bin Latex noch nicht so wirklich gewohnt, da wir an der Uni alles handschriftlich abgeben müssen😖. Jetzt hab ich es glaub ich. Ich melde mich bestimmt morgen mit einer neuen Frage wieder😁. Vielen Dank Nico!
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Charly02 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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