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  "Länge" eines Weierstraß-Graphen |
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mhipp
Aktiv 
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 460
 |  Themenstart: 2023-01-19
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Hi zusammen!
\(W(x)=\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{2^kcos(2^kx)}{3^k}\) ist ein bekanntes Beispiel einer Weierstraß-Funktion (überall stetig, nirgends differenzierbar).
Mit der "Länge eines Graphen im Intervall [a,b]" meine ich, wie lange der Graph wäre, wenn man ihn "wie ein Seil ausstrecken würde". Für differenzierbare Funktionen berechnet sich diese Länge wie folgt:
\(L_{a,b}(f)=\int \limits_{a}^{b} \sqrt{1+[f'(x)]^2} dx \)
Die Weierstraß-Funktion hat ja auch fraktale Eigenschaften. Ich habe mich nun gefragt, ob die Länge der Weierstraßfunktion auf dem Intervall [0,1] endlich oder unendlich ist.
Obige Formel kann nicht direkt angewandt werden, da W nicht differenzierbar ist, aber wir können W durch endliche Summen annähern, etwa:
\(L_{0,1}(W) \approx L_{0,1} \left( \sum \limits_{k=1}^{N}\frac{2^kcos(2^kx)}{3^k} \right) \)
Über numerische Integration habe ich folgende Näherungswerte erhalten:
N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
L = 1.4, 2.0, 2.4, 3.3, 3.9, 5.2, 6.9
Mehr Werte hat WolframAlpha leider nicht hinbekommen, aber es sieht so aus, als ginge dieser Längenterm tatsächlich gegen unendlich.
Hat jemand eine Idee, wie man \(L_{0,1}\left( \sum \limits_{k=1}^{N}\frac{2^kcos(2^kx)}{3^k} \right)\) nach unten abschätzen könnte, um zu zeigen, dass es für N gegen unendlich tatsächlich divergiert?
Liebe Grüße und Danke!
Max :-)
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2080
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-21
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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Hallo Max,
ich denke es ist hier einfacher, ein allgemeineres Resultat zu verwenden. Konkret habe ich da im Kopf:
Der Graph einer stetigen Funktion $f\colon [0,1]\to \mathbb R$ ist genau dann eine rektifizierbare Kurve, wenn $f$ von beschränkter Variation ist.
Weiterhin gilt: Stetige Funktionen $[0,1]\to \mathbb R$ von beschränkter Variation sind fast überall differenzierbar.
Aus diesen Resultaten ergibt sich daher, dass der Graph der von dir angegebenen Funktion auf $[0,1]$ nicht rektifizierbar ist.
LG Nico\(\endgroup\)
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mhipp
Aktiv
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 460
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-21
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Super, vielen lieben Dank! :-)
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