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 Für welche a und b ist |sin(x)|-|ax+b| auf (0,2π) differenzierbar? |
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markussss
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 |  Themenstart: 2023-01-20
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54272_Bild_2023-01-20_193946877.png
Hallo,
ich befasse mich momentan mit Altklausuren zur Analysis 1, und bin über diese Aufgabe gestolppert...
Nach gescheiterten Versuchen, diese mittels des Differenzquotienten zu lösen wende ich mich an euch. Ein Tipp wäre mehr als ausreichend weil mir eig. klar ist was die Aufgabe von mir verlangt.
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Kampfpudel
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|  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-20
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Hey markussss,
welche Stelle ist denn beim Ausdruck \(f(x):=|\sin(x)|\) problematisch? Und was wäre, wenn die Funktion \(h(x):= |ax+b|\) an dieser Stelle differenzierbar wäre?
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zippy
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-01-20
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1. Wo ist denn $|\sin(x)|$ auf $[0,2\pi]$ nicht differenzierbar?
2. Sieht $|\sin(x)|$ in der Nähe dieser Stelle wie $|ax+b|$ für geeignete $a$ und $b$ aus?
3. Berechne die links- und rechtsseitige Ableitung der Differenz $|\sin(x)|-|ax+b|$ an dieser Stelle.
--zippy
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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markussss
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Erstmal Danke für die schnelle Rückmeldung und ich verstehe worauf ihr hinaus wollt, jedoch kann ich die Funktion g(x) doch nicht in zwei "Grenzwertuntersuchungen" aufteilen ?
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markussss
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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die einzige stelle die problematisch ist doch pi ?
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Caban
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-20
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Hallo
Ja, auf Grenzwerte läuft es hinaus. Auf welche Stellen muss den aufpassen?
Gruß Caban
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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Kampfpudel
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-01-20
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\quoteon(2023-01-20 21:20 - markussss in Beitrag No. 4)
die einzige stelle die problematisch ist doch pi ?
\quoteoff
Jop. Unter welchen Bedingung an \(a\) und \(b\) wäre nun \(|ax+b|\) differenzierbar in \(\pi\) und was würde das für die Differenzierbarkeit von \(g\) bedeuten?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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markussss
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie man auf die Steigung im Punkt pi kommt.
mein Ansatz wäre denn sinus abzuleiten und pi einzusetzen aber das kann doch gar nicht gehen ?
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Caban
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-01-20
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Hallo
Aber die Grenzwertbetrachtung geht dich.
Gruß Caban
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zippy
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-01-20
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\quoteon(2023-01-20 21:43 - markussss in Beitrag No. 7)
mein Ansatz wäre denn sinus abzuleiten und pi einzusetzen aber das kann doch gar nicht gehen ?
\quoteoff
Warum nicht? Die einseitigen Ableitungen von $|\sin(x)|$ existieren an der Stelle $\pi$.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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markussss
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Die Funktion g ist differenzierbar in Pi genau dann wenn linksseitiger- und rechtsseitiger Grenzwert vom Differenzenquotienten existiert und diese gleich sind.
Rechtsseitig wäre 1 und linksseitig -1 (wenn die Argumetation mit der Ableitung vom Sinus in pi legitim ist)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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markussss
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Bedeutet dies, dass ich zwei Bedingungen habe für a und b ?
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zippy
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| Beitrag No.12, eingetragen 2023-01-20
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\quoteon(2023-01-20 21:49 - markussss in Beitrag No. 11)
Bedeutet dies, dass ich zwei Bedingungen habe für a und b ?
\quoteoff
Ja, eine Bedingung ergibt sich daraus, dass $x\mapsto |ax+b|$ seinen Knick an der richtigen Stelle hat, die zweite daraus, dass die Ableitungen stimmen. Mach dir mal eine Skizze, dann wird das sofort klar.
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lula
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 | Beitrag No.13, eingetragen 2023-01-20
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Die Steigung von |sin(pi| ist -1 für xpi
die Steigung von |ax| ist -a für x<0 und +a für x>0 die summe der Steigungen sollte 0 sein.
lula
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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markussss
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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das mit dem Knick an der richtigen Stelle bedeutet, dass die Gerade die form a*(x-pi) hat
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]
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markussss
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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\quoteon(2023-01-20 22:00 - lula in Beitrag No. 13)
Die Steigung von |sin(pi| ist -1 für xpi
die Steigung von |ax| ist -a für x<0 und +a für x>0 die summe der Steigungen sollte 0 sein.
lula
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
\quoteoff
Denn Fall x<0 gibt es doch gar nicht da das Intervall von 0 bis 2pi geht ?
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Caban
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| Beitrag No.16, eingetragen 2023-01-20
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Hallo
Ja, wie groß muss den a sein?
Gruß Caban
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
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| Beitrag No.17, eingetragen 2023-01-20
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\quoteon(2023-01-20 22:00 - markussss in Beitrag No. 14)
das mit dem Knick an der richtigen Stelle bedeutet, dass die Gerade die form a*(x-pi) hat
\quoteoff
Richtig.
\quoteon(2023-01-20 22:02 - markussss in Beitrag No. 15)
Denn Fall x<0 gibt es doch gar nicht da das Intervall von 0 bis 2pi geht ?
\quoteoff
Du musst lulas Überlegung von $x=0$ auf die Stelle $x=\pi$ übertragen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]
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markussss
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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a muss also gleich null sein, da die eizige ZAhl die -a=a erfüllt die 0 ist oder
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zippy
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| Beitrag No.19, eingetragen 2023-01-20
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\quoteon(2023-01-20 22:12 - markussss in Beitrag No. 18)
a muss also gleich null sein, da die eizige ZAhl die -a=a erfüllt die 0 ist oder
\quoteoff
Nein, wie kommst du darauf?
Die Steigungen $\pm a$ (vgl. lulas Beitrag) müssen zu $\pm 1$ (deine Rechnung zum Sinus) passen. Also...
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markussss
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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also sind die bedingungen dass der rechstseitige grenzwert von g 1 und der linksseitige -1 ?
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Caban
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| Beitrag No.21, eingetragen 2023-01-20
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zippy
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| Beitrag No.22, eingetragen 2023-01-20
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\quoteon(2023-01-20 22:20 - markussss in Beitrag No. 20)
also sind die bedingungen dass der rechstseitige grenzwert von g 1 und der linksseitige -1 ?
\quoteoff
Nicht der von $g$, sondern der von $x\mapsto |ax+b|$.
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markussss
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| Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Dass heißt die Summe von linksseitigem und rechtsseitigem Grenzwert von x—> |a*(x-pi)+b| muss null sein
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zippy
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| Beitrag No.24, eingetragen 2023-01-20
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\quoteon(2023-01-20 23:04 - markussss in Beitrag No. 23)
Dass heißt die Summe von linksseitigem und rechtsseitigem Grenzwert von x—> |a*(x-pi)+b| muss null sein
\quoteoff
Was willst du mit dieser Summe?
Du weisst doch bereits, dass die Funktion $x\mapsto|ax+b|$ die Form $x\mapsto|a(x-\pi)|$ haben muss, damit der Knick bei $\pi$ liegt und dass $|a|=1$ sein muss, damit die Steigungen stimmen. Und aus $a(x-\pi)=ax-a\pi$ kannst du $b$ ablesen.
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markussss
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| Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Woher weiß ich denn das b=0 ist ?
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markussss
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| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Und a=1 ist mir auch nicht ersichtlich:/
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markussss
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| Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Könntest du einen sauberen Beweis aufschreiben falls es keine Umstände bereitet, dann sehe ich auch auf welche Formalitäten ich achten muss im Hinblick auf die klausur
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zippy
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| Beitrag No.28, eingetragen 2023-01-20
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\quoteon(2023-01-20 23:16 - markussss in Beitrag No. 25)
Woher weiß ich denn das b=0 ist ?
\quoteoff
Es ist nicht $b=0$:
\quoteon(2023-01-20 23:13 - zippy in Beitrag No. 24)
Und aus $a(x-\pi)=ax-a\pi$ kannst du $b$ ablesen.
\quoteoff
\quoteon(2023-01-20 23:17 - markussss in Beitrag No. 26)
Und a=1 ist mir auch nicht ersichtlich:/
\quoteoff
Dann kann ich nur nochmal diese Anregung wiederholen.
\quoteon(2023-01-20 21:53 - zippy in Beitrag No. 12)
Mach dir mal eine Skizze, dann wird das sofort klar.
\quoteoff
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.25 begonnen.]
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markussss
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| Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-20
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Caban
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| Beitrag No.30, eingetragen 2023-01-21
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Hallo
Jetzt musst du dir noch überlegen, warum a=1 oder a=-1 ist.
Gruß Caban
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markussss
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| Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-21
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Also heißt das, dass die Gerade keine eindeutige Steigung haben kann, weil von links an Pi angenähert ist die steigung -1 und von rechts 1
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markussss
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| Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-21
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also einmal -x+pi und x-pi, jedoch verwirrt mich dies weil Ableitung doch nicht eindeutig ist ?
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.33, eingetragen 2023-01-21
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-01-21 12:06 - markussss in Beitrag No. 32)
also einmal -x+pi und x-pi, jedoch verwirrt mich dies weil Ableitung doch nicht eindeutig ist ?
\quoteoff
Die soll ja auch nicht eindeutig sein, sondern die Ableitung von \(x\mapsto \left|\sin x\right|-\left|ax+b\right|\)
(Und der Graph der Betragsfunktion \(|ax+b|\) ist keine Gerade...)
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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markussss
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| Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-21
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\quoteon(2023-01-21 12:11 - Diophant in Beitrag No. 33)
\quoteon(2023-01-21 12:06 - markussss in Beitrag No. 32)
also einmal -x+pi und x-pi, jedoch verwirrt mich dies weil Ableitung doch nicht eindeutig ist ?
\quoteoff
Die soll ja auch nicht eindeutig sein, sondern die Ableitung von \(x\mapsto \left|\sin x\right|-\left|ax+b\right|\)
(Und der Graph der Betragsfunktion \(|ax+b|\) ist keine Gerade...)
Gruß, Diophant
\quoteoff
Stimmt.... :), jz verstehe ich es. Die Funktion muss die Form a*x-a*pi
haben, und a ist jeweils -1 und 1 da sonst die Ableitung von g(x) in pi nicht existiert bzw. nicht eindeutig ist.
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Caban
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| Beitrag No.35, eingetragen 2023-01-21
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Hallo
Die Betragsstriche solltest du nicht weglassen. Und du solltest noch etwas zur Nahtstelle der Betragsfunktion sagen.
Gruß caban
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markussss
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| Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-21
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Ja die Betragsstriche bleiben stehen, jedoch bin ich nicht gerade versiert mit dem fachgerechten Schreiben auf der Tastatur :)).
Was genau meinst du? Dachte die Aufgabe wäre hiermit gelöst.
Gruß MArkus
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Diophant
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| Beitrag No.37, eingetragen 2023-01-21
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Hallo,
\quoteon(2023-01-21 12:28 - markussss in Beitrag No. 36)
Ja die Betragsstriche bleiben stehen, jedoch bin ich nicht gerade versiert mit dem fachgerechten Schreiben auf der Tastatur :)).
Was genau meinst du? Dachte die Aufgabe wäre hiermit gelöst.
\quoteoff
Mit Verlaub: versetze dich einmal in die Lage von jemand, der diesen Thread mitliest. Kann der-/diejenige nachvollziehen, was du meinst bzw. wie du jetzt argumentierst? Nein, natürlich nicht.
Also versuche doch einmal, deine Argumentation sauber zu formulieren und das ganze dann hier zu posten. Wenn es an den Schreibweisen hakt, dann machst du das zunächst verbal, und bei den Schreibweisen helfen wir dann gerne weiter.
Gruß, Diophant
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