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 Bewegung eines Punktes entlang der Kurve y=1/x |
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Seaborg
Neu 
Dabei seit: 21.01.2023
Mitteilungen: 2
Wohnort: Aachener "Ecke"
 |  Themenstart: 2023-01-21
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Hallo Fachleute,
ich komme mit folgendem, selbstgestellten Problem nicht weiter:
gegeben:
-die Hyperbel 1/x
-ein Punkt P, der sich mit der Bahngeschwindigkeit v (=1) in Rtg. steigender x-Werte auf der Hyperbel bewegt.
-die Projektion dieses Bahnpunktes auf die x-Achse
gesucht: eine Formel für die Geschwindigkeit dieses Projektionspunktes, sagen wir ab x=0,1.
und keine Polarkoordinaten!
Mein Ansatz:
y = 1/x
x = 1/y (impliz. Diff.)
x'= (-1/y^2)y'
mit y'=sqrt(v²-x'^2)folgt dann nach Umstellungen:
x' = 1/sqrt(1+1/x^4)
Was mich nur bei meiner Rechnung stutzig macht ist:
Aus der Anschauung heraus, muß der Projektionspunkt zu einem bestimmten Zeitpunkt die Geschwindigkeit 0,5 annehmen und ich würde vllt. vermuten, daß das dann der Fall ist, wenn er da angekommen ist, wo die Tangente an f(x)=1/x gleich -1 (minus 1) ist, weil ein Punkt auf einer Geraden y= -x immer doppelt so schnell ist, wie seine Projektion auf der x-Achse.
Das wäre dann im Punkt (1/1) der Fall.
Die erhaltene Formel gibt aber für diesen Punkt eine Geschwindigkeit x' (=vx) von 0,707 (1/sqrt2) an.
Fehler in der Anschauung oder falsche Formel?
Wer kann mir helfen?
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Caban
Senior 
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2802
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-21
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Hallo
Ich habe dieselbe Formel wie du. Bei x=1 muss sich aufgrund von m=1 ein gleischenkliges rechtwinkliges Dreieck als Ansteigsdreieck ergeben. Die Hypotenuse ist 1. Also ist die Anschaung hier falsch.
Gruß Caban
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9680
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-01-21
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Ein Punkt auf der Geraden \( y=-x\) ist \( \sqrt{2}\)mal so schnell wie seine Projektion auf die \( x\)-Achse.
Doppelt so schnell ist ein Punkt auf \( y=-\sqrt{3}x\).
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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Seaborg
Neu 
Dabei seit: 21.01.2023
Mitteilungen: 2
Wohnort: Aachener "Ecke"
|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-21
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Hallo zusammen,
was für ein dummer faux-pas von mir.🥵😖
Die halbe Geschwindigkeit des Projektionspunktes wird somit im Bahn-Punkt (0,76/1,31) erreicht, was der Formel entspricht.
Vielen Dank und Schönes WE
Seaborg
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2802
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-01-21
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Hallo
Du hast falsch gerundet. Es müsste 1,32 sein. Besser sind aber ungerundete Werte.
Gruß Caban
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