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  Träger der Faltung stetiger Funktionen |
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sulky
Aktiv 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1875
 |  Themenstart: 2023-01-22
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Hallo zusammen, bei folgender Aufgabe verstehe ich die Musterlösung nicht.
$supp(f)$ bezeichnet hier den Support einer stetigen Funktion $\overline{\{x\in \mathbb{R}|f(x)\neq 0\}}$
Seien $f,g$ zwei stetige, faltbare Funktionen.
Zeige dass $supp(f*g)\subset \overline{supp(f)+supp(g)}$
Lösung: Sei folgende Menge eingeführt:
$A(x)=\{t\in\mathbb{R}|(x-t)\in supp(f) \;und\; t\in supp(g)\}$
Es folgt: $f*g(x)=\int_\mathbb{R}f(x-t)g(t)dt=\int_{A(x)} f(x-t)g(t)dt$
Ich versthe nicht ansatzweise, weshalb dies die Aussage beweist und wäre froh um Hilfe
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2080
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-22
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
überlege dir folgendes: Wenn $x\notin \opn{supp}(f)+\opn{supp}(g)$ gilt, dann ist $A(x)=\emptyset$ und somit $(f*g)(x)=0$.
Das zeigt also: Wenn $x\in (\opn{supp}(f)+\opn{supp}(g))^c$ gilt, dann ist $x\in \lbrace y\in \mathbb R\mid (f*g)(y)=0\rbrace$ und somit
$$
\lbrace y\in \mathbb R\mid (f*g)(y)\neq 0\rbrace\subseteq \opn{supp}(f)+\opn{supp}(g).
$$
Zuletzt bemerkt man, dass die Inklusion unter Bilden des Abschlusses (auf beiden Seiten) erhalten bleibt.
LG Nico\(\endgroup\)
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sulky
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Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1875
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-22
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Hallo Nico und vielen Dank für die schnelle Antwort.
Leider habe ich noch nicht verstanden, weshalb $x\notin supp(f)+supp(g)$ erzwingt dass $A(x)=\emptyset$.
Stimmt es dass man $supp(f)+supp(g)$ nicht verwechseln darf mit
$supp(f) \cap supp(g)$ sondern dass $x\in supp(f)$ bedeutet, dass $\exists a\in supp(f), b\in supp(g)$ sd $x=a+b$?
Dann würde ja $x\notin supp(f)+supp(g)$ bedeuten, dass entweder $a$ oder $b$ nicht existiert.
Ich komme da nicht weiter oder packe die Sache völlig von der falschen Seite her an.
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2080
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-22
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
man schreibt $\opn{supp}(f)$ und nicht $supp(f)$.
Es ist
$$
\opn{supp}(f)+\opn{supp}(g)=\lbrace v+w\mid v\in \opn{supp}(f), w\in \opn{supp}(g)\rbrace.
$$
Beachte außerdem, dass mit dieser Schreibweise
$$
A(x)=(x-\opn{supp}(f))\cap \opn{supp}(g)
$$
gilt. Nehmen wir $y\in A(x)$. Dann gibt es also $v\in \opn{supp}(f)$ und $w\in \opn{supp}(g)$ mit $y=x-v$ und $y=w$. Wir erhalten daher $x=v+y=v+w$ und daher $x\in \opn{supp}(f)+\opn{supp}(g)$.
Folglich können wir schließen: Wenn $x\notin \opn{supp}(f)+\opn{supp}(g)$, dann muss $A(x)$ leer sein.
LG Nico\(\endgroup\)
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sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1875
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-22
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Hallo Nico,
Jetzt endlich habe ich es ganz genau verstanden.
Vielen Dank.
Ich warte noch einen Moment mit dem Häckchen, weil jetzt Aufgaben folgen, welche den Satz verwenden.
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2080
Wohnort: Köln
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-22
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Wenn es nicht mehr wirklich um die ursprüngliche Frage geht, dann erstelle am besten einen neuen Thread.
LG Nico
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sulky hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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