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  Kanonische Transformation |
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Lambda88
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Mitteilungen: 260
 |  Themenstart: 2023-01-22
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Hi zusammen,
ich bin mir leider nicht sicher, ob ich die Aufgabe 2a richtige gelöst habe?
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/39767_Bildschirmfoto_2023-01-22_um_21.18.03.png
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Ich habe dann den Tipp mit dem Poisson Klammern verwendet, um zu schauen, was die Konstanten für Werte haben müssen.
Es muss ja folgendes gelten
$$\Bigl\{ q',q' \Bigr\}=0$$
$$\Bigl\{ p',p' \Bigr\}=0$$
$$\Bigl\{ q',p' \Bigr\}=1$$
Die Poisson Klammer habe ich wie folgt definiert $\Bigl\{ q',p' \Bigr\}=\frac{\partial q'}{\partial q}\frac{\partial p'}{\partial p}-\frac{\partial q'}{\partial p}\frac{\partial p'}{\partial q}$
Für die Berechnung der 3 Poisson Klammer habe ich folgende Werte erhalten:
$$\Bigl\{ q',q' \Bigr\}=0$$
$$\Bigl\{ p',p' \Bigr\}=\gamma \alpha p^{\beta}q^{\gamma -1} \alpha \beta p^{\beta-1}q^{\gamma}-\alpha \beta p^{\beta-1}q^{\gamma}\gamma \alpha p^{\beta}q^{\gamma -1}=0$$
$$\Bigl\{ q',p' \Bigr\}=\delta q^{\delta -1}\alpha \beta p^{\beta -1} q^{\gamma}=1$$
Aus der letzten Gleichung folge dann $\delta=1 \quad$ $\beta=1 \quad$ $\alpha=1\quad$ und $\gamma=0$
Ich bin mir nur nicht sicher, ob das richtig ist, denn in der Aufgabe 2b, soll man die Ergebnisse aus 2a verwenden, aber dann würde ich ja folgendes erhalten $q'=q$ und $p'=p$, aber wenn ich das in die Hamiltongleichung einsetze, erhalte ich ja wieder die gleiche Gleichung nur mit dem Strich.
Ich muss aber auch eingestehen, dass ich die kanonische Transformation noch nicht ganz verstanden habe? Was muss ich in der Aufgabe 2b genau machen?
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zippy
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-22
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\quoteon(2023-01-22 21:40 - Lambda88 im Themenstart)
Aus der letzten Gleichung folge dann $\delta=1 \quad$ $\beta=1 \quad$ $\alpha=1\quad$ und $\gamma=0$
\quoteoff
Wie kommst du darauf? Es muss nicht $\delta=1$ und $\gamma=0$ sein, sondern nur $\delta+\gamma=1$.
--zippy
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Lambda88
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-23
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Danke zippy für deine Hilfe 👍, ich hatte komplett übersehen, dass diese Potenzen ja dieselbe Basis haben und deswegen $P^xP^y=P^{x+y}$ verwenden darf
Dann kommt bei der Aufgabe 2a folgendes hinaus $\alpha=1 \quad$ $\beta=1 \quad$ und $\delta + \gamma=1 \quad$
Muss ich dann für den Aufgabenteil 2b herausfinden, was $\delta$ und $\gamma$ sein müssen? Ich würde jetzt ohne Rechnung sagen $\delta=\frac{1}{2}$ und $\gamma=\frac{1}{2}$
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zippy
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-23
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\quoteon(2023-01-23 12:33 - Lambda88 in Beitrag No. 2)
Ich würde jetzt ohne Rechnung sagen $\delta=\frac{1}{2}$ und $\gamma=\frac{1}{2}$
\quoteoff
Das stimmt beides nicht. Wenn $1/q^2$ in $q'^{\mkern 3mu 2}$ transformiert werden soll, muss $\delta=-1$ sein. Eine analoge Überlegung liefert dir $\gamma$.
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Lambda88
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-23
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Danke nochmals zippy für deine Hilfe 👍
Um jetzt $\frac{1}{2}p'^2$ zu erhalten, würde ich $\gamma=0$ wählen. Was ich jetzt bloß nicht verstehe, damit die Transformation kanonische wird, muss ja folgendes gelten $\gamma + \delta=1$ nur mit $\gamma=0$ und $\delta=-1$ würde ich ja $0-1=-1$ und damit $\Bigl\{ q',p' \Bigr\}=-\frac{1}{q^2}$ wäre die Transformation damit nicht mehr kanonische oder habe ich irgendwo ein Denkfehler?
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zippy
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-23
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\quoteon(2023-01-23 20:23 - Lambda88 in Beitrag No. 4)
Um jetzt $\frac{1}{2}p'^2$ zu erhalten, würde ich $\gamma=0$ wählen.
\quoteoff
Wenn $p^2q^4$ zu $p'^{\mkern 3mu 2}$ mit $p'=\alpha\,p^\beta q^\gamma$ werden soll, muss $\gamma=2$ sein.
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Lambda88
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-24
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Nochmals vielen Dank für deine Hilfe zippy 👍
Ich glaube, ich hatte die Transformation falsch verstanden, diese müsste doch wie folgt aussehen
$$p'=\alpha p^{\beta}q^{\gamma}$$
$$(p')^2=\alpha^2 p^{\beta 2}q^{\gamma 2}$$
Jetzt will ja ich ja das $p'^2=p^2q^4$ ist, also muss $\alpha=1$ , $\beta=1$ und $\gamma=2$ sein
$$(p')^2=1^2 p^{1*2}q^{2*2}=p^2q^4$$
Bezüglich der c muss ich dafür folgendes Berechnen?
$$\dot{q'}=\frac{\partial H}{\partial p'}$$
$$\dot{p'}=-\frac{\partial H}{\partial q'}$$
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zippy
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-01-24
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\quoteon(2023-01-24 21:25 - Lambda88 in Beitrag No. 6)
Jetzt will ja ich ja das $p'^2=p^2q^4$ ist, also muss $\alpha=1$ , $\beta=1$ und $\gamma=2$ sein
\quoteoff
Es muss $\alpha^2=1$ sein. Um den richtigen Wert für $\alpha$ zu finden, musst du auch noch berücksichtigen, dass die Transformation kanonisch sein soll.
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Lambda88
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-25
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Danke zippy für deine Hilfe 👍
Da ja folgendes gelten soll $\Bigl\{ q',p' \Bigr\}=1$ muss $\alpha=-1$ sein, da ansonsten mit $\alpha=1$ man -1 erhalten würde.
Die Bewegungsgleichungen lauten dann wie folgt
$$\dot{q'}=\frac{\partial H}{\partial p'}=p'=-pq^2$$
$$\dot{p'}=\frac{\partial H}{\partial q'}=q'=q^{-1}$$
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zippy
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-01-25
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\quoteon(2023-01-25 21:58 - Lambda88 in Beitrag No. 8)
Die Bewegungsgleichungen lauten dann wie folgt
$$\dot{q'}=\frac{\partial H}{\partial p'}=p'=-pq^2$$
$$\dot{p'}=\frac{\partial H}{\partial q'}=q'=q^{-1}$$
\quoteoff
Nein, nur eine der beiden Gleichungen ist korrekt.
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Lambda88
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-26
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Danke zippy, dass du über meine Rechnung geschaut hast 👍
Ich hatte leider bei der Bewegungsgleichung für $\dot{p'}$ das Minuszeichen vergessen, die Bewegungsgleichung lautet ja wie folgt $\dot{p'}=-\frac{\partial H}{\partial q'}$. Damit lauten die Bewegungsgleichungen also:
$$\dot{q'}=\frac{\partial H}{\partial p'}=p'=-pq^2$$
$$\dot{p'}=-\frac{\partial H}{\partial q'}=-q'=-q^{-1}$$
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zippy
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-01-26
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Das ist jetzt richtig.
Jetzt solltest du aber die ungestrichenen Variablen auf der rechten Seite erstmal vergessen und die Bewegungsgleichungen für die gestrichenen Variablen lösen. Erst danach ist es sinnvoll, zurück auf die ungestrichenen Variablen zu transformieren.
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Lambda88
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-27
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Danke zippy für deine Hilfe 👍
Ich würde jetzt einfach noch einmal $\dot{q'}$ nach der Zeit ableiten, dann würde ich $\ddot{q'}=\dot{p'}$ erhalten, das Ergebnis für $\dot{p'}$ habe ich ja bereits in der anderen Ableitung erhalten $\ddot{q'}=\dot{p'}=-q'$
Jetzt habe ich ja eine lineare DGL 2. Ordnung der Form $y^{''}=a$ welche ich einfach lösen kann, in dem $\ddot{q'}=-q'$ zweimal nach der Zeit integriere.
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