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 Jordan-messbare Mengen: Schnitt wieder Jordan-messbar |
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Farbspiel
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Mitteilungen: 68
 |  Themenstart: 2023-01-26
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Seien $A,B\subset \mathbb{R}^n$ Jordan-messbar, dann sind
i) $A\cap B$
ii) $A\cup B$
iii) $A\setminus B$
ebenfalls Jordan-messbar.
Jordan-messbar heißt eine Menge $A$ bei uns, wenn das innere bzw. äußere Volumen $F_i$ bzw $F_a$ von $A$ gleich sind:
$F_i(A)=F_a(A)=F(A)$ mit
$F_i(A):=\underset{Z}{\text{sup}}\sum \limits_{\underset{i\in I}{Q_i\subset A}} F(Q_i)$
$F_a(A):=\underset{Z}{\text{inf}}\sum \limits_{\underset{i\in I}{Q_i\cap A\neq \emptyset}}F(Q_i)$.
$Z=\{Q_i|i\in I\}$ ist dabei eine beliebige Zerlegung eines Quaders $Q$, welcher die Menge $A$ enthält i.e. $A\subset Q$.
Außerdedem wurde der Satz bewiesen, dass $A$ genau dann Jordan-messbar ist, wenn die Indikatorfunktion $\chi_A$ auf $Q$ integrierbar ist.
Als Beweis wird nur angegeben, dass bspw.:
i) $\chi_{A\cap B}=\chi_{A}\cdot \chi_{B}$ gilt, das war die Erklärung.
Klar: $\chi_{A}$ und $\chi_{B}$ sind auf $Q$ integrierbar, da Jordan-messbar, aber wir haben nicht gezeigt, dass das Produkt zweier integrierbarer Funktionen wieder integrierbar ist.
Ich will es also als Übung mit der Definition beweisen, leider ist nur ein Ansatz herausgekommen:
$F_a (A\cap B)=\underset{Z}{\text{inf}}\sum \limits_{\underset{i\in I}{Q_i\cap (A\cap B)} \neq \emptyset}F(Q_i)=\underset{Z}{\text{inf }}O(\chi_{A\cap B},Z)=\underset{Z}{\text{inf }}(\sum \limits_{ i\in I }\sup(\chi_{A\cap B})\cdot F(Q_i))=\underset{Z}{\text{inf }}(\sum \limits_{ i\in I } F(Q_i)) $,
wegen $Q_i\cap (A\cap B) \neq \emptyset$ ist $\sup(\chi_{A\cap B}|_{Q_i})=1$
Bemerkung: $\underset{Z}{\text{inf }}O(\chi_{A\cap B},Z)$ ist die Obersumme, wobei $\underset{Z}{\text{inf }}O(\chi_{A\cap B}|_{Q_i},Z)$ exakter wäre.
$F_i (A\cap B)=\underset{Z}{\sup} (\sum \limits_{\underset{i\in I}{Q_i\subset (A\cap B)}} F(Q_i))=\underset{Z}{\sup }U(\chi_{A\cap B},Z)=\underset{Z}{\sup}(\sum \limits_{ i\in I }\inf(\chi_{A\cap B}|_{Q_i})\cdot F(Q_i))= \underset{Z}{\sup}(\sum \limits_{ i\in I } F(Q_i)) $
,denn $\inf(\chi_{A\cap B}|_{Q_i})=1$, da $Q_i\subset A\cap B$.
Wenn ich i) bewiesen habe, sind die anderen beiden Teile davon schnell abzuleiten.
Ist meine Vorgehensweise zu kompliziert?
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