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| Autor |
  Ableitung auf Mannigfaltigkeit |
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Phi1
Senior 
Dabei seit: 10.12.2005
Mitteilungen: 1915
Wohnort: Wien
 |  Themenstart: 2023-01-26
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Hi!
Ich bräuchte eure Hilfe. Ich versuche gerade Folgendes zu berechnen: Es sei $M$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und $F:TM \supseteq V \rightarrow M \times M$ mit $F( q, v ) := ( q, exp_q( v ) )$, wobei $q \in M$ und $v \in T_q M$ und $V$ eine Umgebung von $( p, 0 )$ in $TM$.
Jetzt möchte ich die Ableitung von $F$ bei $( p, 0 )$ berechnen. Es sollte da als Jakobimatrix
$\left( \begin{array}{rr}
I & I \\
0 & I \\
\end{array} \right)$ herauskommen, wobei $I$ die $n \times n$ Einheitsmatrix ist.
Ich komme da einfach nicht weiter. Hätte jemand einen Rat?
Danke schon mal im Voraus.
MfG
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-26
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
wenn du das Differential der Abbildung durch die Jacobi-Matrix ausdrücken willst, dann benötigst du erstmal eine Karte für $TM$ und eine Karte für $M\times M$ bzgl. derer du die Jacobi-Matrix angeben willst.
LG Nico\(\endgroup\)
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Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Köln
| Beitrag No.2, eingetragen 2023-01-27
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Aber man kann auch zunächst mal ohne Karten arbeiten. Zunächst ist das Differential von $F$ in $(p,0)$ eine $\mathbb R$-lineare Abbildung
$$
(F_*)_{(p,0)}\colon T_{(p,0)}(TM)\to T_{(p,p)}(M\times M).
$$
Für $X\in T_{(p,0)}(TM)$ und $f\in C^\infty(M\times M)$ ist dabei
$$
(F_*)_{(p,0)}(X)(f)=X(f\circ F).
$$
Sei nun $(U,x=(x^1,\dots,x^n))$ eine Karte von $M$ mit $p\in U$ und $x(p)=0$. Durch die Abbildung
$$
y\colon U\times U\to \mathbb R^{2n}, \ (q,r)\mapsto (x(q),x(r)).
$$
erhalten wir die Karte $(U\times U, y^1,\dots,y^{2n})$ für $M\times M$ um den Punkt $(p,p)$ und damit die Basis
$$
\left(\frac{\partial}{\partial y^1}\right)_{(p,p)},\dots,\left(\frac{\partial}{\partial y^{2n}}\right)_{(p,p)}
$$
von $T_{(p,p)}(M\times M)\cong T_pM\oplus T_pM$.
Ist $\pi\colon TM\to M$ die Bündelprojektion, so können wir die Abbildung
$$
\xi\colon \pi^{-1}(U)\to \mathbb R^{2n}, \ (q,v)\mapsto (x^1(q),\dots,x^n(q),(\d x^1)_q(v),\dots,(\d x^n)_q(v))
$$
betrachten und erhalten die Karte $(\pi^{-1}(U),\xi^1,\dots,\xi^{2n})$ von $TM$. Dadurch erhalten wir die Basis
$$
\left(\frac{\partial}{\partial \xi^1}\right)_{(p,0)},\dots,\left(\frac{\partial}{\partial \xi^{2n}}\right)_{(p,0)}
$$
von $T_{(p,0)}(TM)$. Nochmal zur Übersicht das folgende Diagramm (man bedenke, dass die Abbildungen eigentlich jeweils nur auf entsprechenden Umgebungen definiert sind):
$\begin{tikzcd}
{T_{(p,0)}(TM)} && {T_{(p,p)}(M\times M)} \\
TM && {M\times M} \\
\\
{\mathbb R^{2n}} && {\mathbb R^{2n}}
\arrow["F", from=2-1, to=2-3]
\arrow["{(F_*)_{(p,0)}}", from=1-1, to=1-3]
\arrow["\xi"', from=2-1, to=4-1]
\arrow["y", from=2-3, to=4-3]
\arrow["{y\circ F\circ \xi^{-1}}"', from=4-1, to=4-3]
\end{tikzcd}$
Bezüglich der angegebenen Basen können wir $(F_*)_{(p,0)}$ dann durch eine Matrix beschreiben. Konkret ist die darstellende Matrix von $(F_*)_{(p,0)}$ bezüglich dieser Basen gegeben durch
$$
\left[\left(\frac{\partial}{\partial \xi^j}\right)_{(p,0)}(y^i\circ F)\right]_{1\leq i,j\leq 2n}.
$$
Nach Definition ist
$$
\left(\frac{\partial}{\partial \xi^j}\right)_{(p,0)}(y^i\circ F)=\partial_j(y^i\circ F\circ \xi^{-1})(\xi(p,0)).
$$
Dabei ist mit $\partial_j$ die gewöhnliche partielle Ableitung gemeint. $F^i:=y^i\circ F\circ \xi^{-1}$ ist dabei gerade die $i$-te Komponente der Kartendarstellung von $F$. Konkret haben wir
$$
\begin{align*}
(y\circ F\circ \xi^{-1})(t_1,\dots,t_{2n}) &=(y \circ F)\left(x^{-1}(t_1,\dots,t_n),\sum_{k=1}^n t_{n+k}\left(\frac{\partial}{\partial x^k}\right)_{x^{-1}(t_1,\dots,t_n)}\right) \\
&=y\left(x^{-1}(t_1,\dots,t_n),\exp_{x^{-1}(t_1,\dots,t_n)}\left(\sum_{k=1}^n t_{n+k}\left(\frac{\partial}{\partial x^k}\right)_{x^{-1}(t_1,\dots,t_n)}\right)\right) \\
&=\left(t_1,\dots,t_n,x\left(\exp_{x^{-1}(t_1,\dots,t_n)}\left(\sum_{k=1}^n t_{n+k}\left(\frac{\partial}{\partial x^k}\right)_{x^{-1}(t_1,\dots,t_n)}\right)\right)\right).
\end{align*}
$$
Nun kann man die verschiedenen Fälle für $i$ und $j$ durchgehen. Für $1\leq i\leq n$ ist $F^i$ offenbar die Projektion auf den $i$-ten Eintrag und somit haben wir
$$
\left(\frac{\partial}{\partial \xi^j}\right)_{(p,0)}(y^i\circ F)=\partial_jF^i(0,0)=\delta^i_j
$$
für $1\leq j\leq n$ und
$$
\left(\frac{\partial}{\partial \xi^j}\right)_{(p,0)}(y^i\circ F)=\partial_jF^i(0,0)=0
$$
für $n+1\leq j\leq 2n$. Das liefert uns also schonmal die Einheitsmatrix oben links und die Nullmatrix oben rechts (das unterscheidet sich von deiner vorgeschlagenen Jacobi-Matrix). Die anderen Fälle überlasse ich nun gerne dir.
LG Nico\(\endgroup\)
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Profil
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-28
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
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\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo nochmal,
ich wollte das nochmal etwas ausführen, weil die anderen Fälle nicht so "straight-forward" sind. Es gilt noch für $n+1\leq i\leq 2n$ die partiellen Ableitungen von
$$
F^i(t_1,\dots,t_{2n})=x^{i-n}\left(\exp_{x^{-1}(t_1,\dots,t_n)}\left(\sum_{k=1}^n t_{n+k}\left(\frac{\partial}{\partial x^k}\right)_{x^{-1}(t_1,\dots,t_n)}\right)\right)
$$
in $\xi(p,0)=(x(p),0)=(0,0)\in \mathbb R^{2n}$ zu berechnen.
Für $q\in M$ und $v\in T_qM$ sei dazu $\gamma(\cdot;q,v)\colon \mathbb R\to M$ die eindeutige Geodäte* mit $\gamma(0;q,v)=q$ und $\frac{\d}{\d s}\big|_{s=0}\gamma(s;q,v)=v$. Damit ist dann
$$
\exp_q(v)=\gamma(1;q,v).
$$
Zuletzt bezeichne $e_1,\dots,e_n$ die kanonische Basis von $\mathbb R^n$.
Für $n+1\leq i\leq 2n$ und $1\leq j\leq n$ haben wir dann
$$
\begin{align*}
\partial_jF^i(0,0) &=\frac{\d}{\d s}\bigg|_{s=0} F^i(se_j,0) \\
&=\frac{\d}{\d s}\bigg|_{s=0}\left(x^{i-n}\left(\gamma(1;x^{-1}(se_j),0)\right)\right) \\
&=\frac{\d}{\d s}\bigg|_{s=0}\left(x^{i-n}\left(\gamma(0;x^{-1}(se_j),0)\right)\right) \\
&=\frac{\d}{\d s}\bigg|_{s=0}x^{i-n}(x^{-1}(se_j)) \\
&=(\d x^{i-n})_p\left(\frac{\d}{\d s}\bigg|_{s=0}x^{-1}(se_j)\right) \\
&=(\d x^{i-n})_p\left(\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right)_p\right)=\delta^{i-n}_j.
\end{align*}
$$
Für $n+1\leq i\leq 2n$ und $n+1\leq j\leq 2n$ haben wir hingegen
$$
\begin{align*}
\partial_jF^i(0,0) &=\frac{\d}{\d s}\bigg|_{s=0} F^i(0,se_{j-n}) \\
&=\frac{\d}{\d s}\bigg|_{s=0}\left(x^{i-n}\left(\gamma\left(1;p,s\left(\frac{\partial}{\partial x^{j-n}}\right)_p\right)\right)\right) \\
&=\frac{\d}{\d s}\bigg|_{s=0}\left(x^{i-n}\left(\gamma\left(s;p,\left(\frac{\partial}{\partial x^{j-n}}\right)_p\right)\right)\right)\\
&=(\d x^{i-n})_p\left(\frac{\d}{\d s}\bigg|_{s=0}\gamma\left(s;p,\left(\frac{\partial}{\partial x^{j-n}}\right)_p\right)\right) \\
&=(\d x^{i-n})_p\left(\left(\frac{\partial}{\partial x^{j-n}}\right)_p\right)=\delta^{i-n}_{j-n}=\delta^i_j.
\end{align*}
$$
Insgesamt liefert das
$$
\begin{pmatrix}
I & 0 \\
I & I
\end{pmatrix}
$$
für die Jacobi-Matrix von $F$ in $(p,0)$ bezüglich der angegebenen Basen.
LG Nico
* Hier war ich etwas faul. Die Geodäten müssen zumindest auf einem Intervall definiert sein, das $[0,1]$ enthält. Man kann nicht in jedem Fall $\mathbb R$ als Definitionsbereich nehmen. \(\endgroup\)
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Phi1
Senior
Dabei seit: 10.12.2005
Mitteilungen: 1915
Wohnort: Wien
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-24
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@nzimme10: Danke vielmals für diese ausführlichen und großartigen Antworten. Die haben mir sehr weiter geholfen! Ich wünschte, man hätte mir das im Studium einmal so ausführlich erklärt.
Liebe Grüße
Phi1
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Phi1 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Phi1 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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