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  Wieso geht dieser Limes gegen 0 ? |
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lattemacchiato
Aktiv 
Dabei seit: 09.11.2022
Mitteilungen: 43
 |  Themenstart: 2023-01-26
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Hey, ich steh leider wieder bei einer Aufgabe komplett auf dem Schlauch. Es geht um folgendes (lasst euch von der Länge der Aufgabe nicht abschrecken, es geht nur um einen kleinen Teil. Dennoch habe ich vorsichtshalber mal alles direkt aufgeschrieben).
Leider verstehe ich den letzten Teil ab dem "Nun ist" nicht so ganz. Genauer gesagt verstehe ich nicht, wiesotarrow \mathbb{R} \) ein Dreiecksschema von zeilenweise unabhängigen Zufallsvariablen, \( 1 \leq i \leq n \) und \( 3 \leq n \in \mathbb{N} \), mit
\(
P_{X_{n, i}}=\left(1-\frac{2}{\sqrt{n}}\right) \varepsilon_{0}+\frac{1}{\sqrt{n}} \varepsilon_{n}+\frac{1}{\sqrt{n}} \varepsilon_{-n} .
\)
Sei \( T_{n}:=\sum \limits_{i=1}^{n} X_{n, i} \).
Lösung:
Sei \( s_{n}^{2}:=\operatorname{Var}\left(T_{n}\right) \). Zeigen Sie, dass \( s_{n} / n \rightarrow \infty \
\(
s_{n}^{2}:=\operatorname{Var}\left(\sum \limits_{i=1}^{n} X_{n, i}\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} \operatorname{Var}\left(X_{n, i}\right)=n \cdot 2 n^{3 / 2}=2 n^{5 / 2} .
\)
Insbesondere gilt \( \frac{s_{n}}{n}=\sqrt{2} n^{1 / 4} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \infty .(1 \mathrm{P}) \)
Sei nun \( \epsilon>0 \) vorgegeben. Dann ergibt sich für die Lindeberg Bedingung:
\(
L_{n}(\epsilon)=\frac{1}{s_{n}^{2}} \sum \limits_{i=1}^{n} \int \limits_{\left\{\left|X_{n, i}\right| \geq s_{n} \ep{-n, 0, n\}\right)=1 \) folgt also:
\(
0 \leq \mathbb{P}\left(\left|X_{n, 1}\right| \geq \sqrt{2} n^{5 / 4} \epsilon\right) \leq \mathbb{P}\left(\left|X_{n, 1}\right|>n\right)=0
\)
Damit ist die rechte Seite ab einem \( n_{0} \in \mathbb{N} \) groß genug konstant gleich Null, d.h. die Lindeberg Bedingung ist erfüllt.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir hierbei jemand helfen könnte.
Liebe Grüße
lattemacchiato
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 Profil
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PhysikRabe
Senior 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2763
Wohnort: Rabennest
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-27
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Vorausgesetzt ich habe es richtig verstanden (mein Stochastik-Wissen ist eingerostet), dann liefert doch der letzte Satz die Begründung:
\quoteon(2023-01-26 18:58 - lattemacchiato im Themenstart)
Damit ist die rechte Seite ab einem \( n_{0} \in \mathbb{N} \) groß genug konstant gleich Null, d.h. die Lindeberg Bedingung ist erfüllt.
\quoteoff
In der Tat:
\quoteon(2023-01-26 18:58 - lattemacchiato im Themenstart)
Nun ist
\(
\left\{\left|X_{n, 1}\right| \geq \sqrt{2} n^{5 / 4} \epsilon\right\}=\left\{\left|X_{n, 1}\right| \geq n \cdot\left(\sqrt{2} n^{1 / 4} \epsilon\right)\right\} \subset\left\{\left|X_{n, 1}\right|>n\right\},
\)
denn für \( n \in \mathbb{N} \) groß genug ist \( \sqrt{2} n^{1 / 4} \epsilon>1 \). Mit \( \mathbb{P}\left(X_{n, 1} \in\{-n, 0, n\}\right)=1 \) folgt also:
\(
0 \leq \mathbb{P}\left(\left|X_{n, 1}\right| \geq \sqrt{2} n^{5 / 4} \epsilon\right) \leq \mathbb{P}\left(\left|X_{n, 1}\right|>n\right)=0
\)
\quoteoff
Das zeigt, dass es ein $n_0 \in \mathbb{N}$ gibt, sodass $\mathbb{P}\left(\left|X_{n, 1}\right| \geq \sqrt{2} n^{5 / 4} \epsilon\right) = 0$ für alle $n>n_0$ gilt. Nun ist
$$
L_{n}(\epsilon)=\frac{n}{s_{n}^{2}} \int \limits_{\left\{\left|X_{n, 1}\right| \geq \sqrt{2} n^{5 / 4} \epsilon\right\}} X_{n, 1}^{2} \mathrm{~d} \mathbb{P} \, ,
$$
und für $n>n_0$ verschwindet das Maß der Menge $\left\{\left|X_{n, 1}\right| \geq \sqrt{2} n^{5 / 4} \epsilon\right\}$, über die integriert wird (wie oben gezeigt). Für alle $n>n_0$ verschwindet daher das Integral über jene $\mathbb{P}$-Nullmenge ebenso. Damit gilt insbesondere $\lim_{n\to\infty} L_n(\epsilon)=0$.
Grüße,
PhysikRabe
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lattemacchiato
Aktiv
Dabei seit: 09.11.2022
Mitteilungen: 43
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-27
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Hallo PhysikRabe, vielen Dank für deine Hilfe. Ich denke, dass es genauso ist, wie du meintest und der "Trick" der mir nicht aufgefallen ist, war, dass man letztendlich einfach über eine Nullmenge integriert. Vielen Dank, dass du das nochmal aufgezeigt hast.😄
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lattemacchiato hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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