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 Formeln und Klammersetzung |
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spikespiegel43
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 13.12.2020
Mitteilungen: 50
 |  Themenstart: 2023-01-27
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Hallo,
ich hätte eine Frage bzgl. der Klammersetzung. Es ist so nach DeMorgan gilt:
Seien \( \alpha, \beta \) aussagenlogische Formeln:
\( \neg ( \alpha \lor \beta ) = \alpha \land \beta \)
Die Klammern fallen hier weg.
Wenn ich jetzt aber rechne und so etwas habe:
\( \neg (A \lor B) \land ( \neg C \lor D ) = (\neg A \land \neg B ) \lor ( \neg C \lor D) \)
Hier fallen die Klammern offenbar nicht weg. Meine Frage ist jetzt, ob meine Begründung, warum diese nicht wegfallen richtig ist.
Da man ursprünglich \( \neg (A \lor B) \land ( \neg C \lor D ) \) gilt, dass \( \neg (A \lor B) \) zuerst ausgewertet wird, weil \( \neg \) am stärksten bindet. Wären die Klammern weg, also würde anstatt \( (\neg A \land \neg B ) \lor ( \neg C \lor D) \) die Formel \( \neg A \land \neg B \lor ( \neg C \lor D) \) stehen, dann würde B mit den anderen ausdrücken zuerst ausgewertet werden.
Das würde aber im Widerspruch zu der Ursprünglichen Klammerung stehen die \( \neg (A \lor B) \) klammert.
Mir fällt jetzt spontan keine bessere Begründung ein. Hat jmd. vllt. eine bessere? Sonst verstehe ich nicht, warum bei DeMorgan die Klammerung wegfällt, diese aber in der Anwendung erhalten bleiben(natürlich kann bei DeMorgan die Klammerung wegfallen, da ja sonst keine weiteren Formeln mit \( \lor \) oder \( \land \) drinne vorkommen. Trotzdem hat es mich am Anfang erst einmal verwirrt.
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Hans-Juergen
Senior 
Dabei seit: 31.03.2003
Mitteilungen: 1529
Wohnort: Henstedt-Ulzburg
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-27
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Hallo Spikes...
das von Dir eingangs erwähnte De Morgansche Gesetz lautet anders.
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Profil
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tactac
Senior 
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2872
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-01-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
Man rechnet eigentlich mit Bäumen. Die Klammern dienen dazu, lineare Syntax verwenden zu können, aber trotzdem die Baumstruktur dabei zu kommunizieren. Damit man nicht in einem Klammersumpf versinkt, gibt es Regeln zum "Parsen" solcher Zeichenketten, die es erlauben, manche Klammen wegzulassen. Etwa "$\land$ bindet stärker als $\lor$" oder "$\to$ sei rechtsassoziativ".
Eines der De Morganschen Gesetze wäre etwa, dass ein Baum dieser Form
$\begin{tikzcd} [every arrow/.append style={dash}]
&\lnot\ar{d}\\
&\land\ar{ld}\ar{rd}
\\\alpha && \beta
\end{tikzcd}$
den gleichen Wahrheitswert hat wie der Baum
$\begin{tikzcd}[every arrow/.append style={dash}]
&\lor\ar{ld}\ar{rd} \\
\lnot\ar{d}&&\lnot\ar{d}\\
\alpha && \beta
\end{tikzcd}$
Und das schreibt man eben einfach als $\lnot(\alpha \land \beta) = \lnot\alpha \lor\lnot \beta$. Es geht aber auf keinen Fall darum, dass durch die Anwendung der Gleichung Klammern wegfallen!
Nun ist ein Teil des folgendes Baums eines von der passenden Form zur Anwendung obiger De Morgan-Regel:
$\begin{tikzcd} [every arrow/.append style={dash}]
&&\land\ar{ld}\ar{rd}\\
&\lnot\ar{d} && C\\
&\land\ar{ld}\ar{rd}
\\A && B
\end{tikzcd}$
Wendet man die Regel auf diesen Teilbaum an, kommt der Baum
$\begin{tikzcd} [every arrow/.append style={dash}]
&&\land\ar{ld}\ar{rd}\\
&\lor\ar{ld}\ar{rd}&&C \\
\lnot\ar{d}&&\lnot\ar{d}\\
A && B
\end{tikzcd}$
heraus.
In linearisierter Syntax: $\lnot(A\land B) \land C = (\lnot A \lor \lnot B) \land C$.
Die Klammern links müssen gesetzt werden, weil $\lnot$ stärker bindet als $\land$, und man bei Weglassung über einen anderen Baum spricht, analog für die Klammern rechts, wenn vereinbart ist, dass $\land$ stärker bindet als $\lor$.
\(\endgroup\)
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Hans-Juergen
Senior
Dabei seit: 31.03.2003
Mitteilungen: 1529
Wohnort: Henstedt-Ulzburg
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-29
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Hi,
ich finde die Schreibweise
(A B)^- C = (A^- + B^-) C
praktischer als
\not\ (A\and\ B)\and\ C = (\not\ A\or\not\ B)\and\ C .
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