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Analysis » Funktionalanalysis » Distributioneller Grenzwert von 2sin(nx)/x
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Universität/Hochschule Distributioneller Grenzwert von 2sin(nx)/x
abby
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 09.01.2023
Mitteilungen: 6
  Themenstart: 2023-01-28

Hallo, ich habe eine Aufgabe zu lösen, bei der ich nicht mehr weiter komme. Im Grunde soll ich zeigen: \(\lim_{n \to\infty} \frac{2}{k} \sin(kn) = 2 \pi \delta(k)\) An diesem Punkt komme ich nicht voran, kann mir jemand bitte einen Tipp geben? LG

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nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2050
Wohnort: Köln
  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}} \newcommand{\rot}{\opn{rot}} \newcommand{\div}{\opn{div}}\) Hallo, dieser Grenzwert wird wohl im Sinne von Distributionen zu verstehen sein, oder? Vielleicht solltest du daher erstmal hinschreiben, was eigentlich konkret zu zeigen ist, also was dieser Grenzwert konkret bedeutet. Danach kannst du dir überlegen, wie du das genau zeigst. Wenn du das getan hast, dann könnte $$ \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(nx)}{x}\varphi(x) \dd x=-\int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^{nx} \frac{\sin(y)}{y}\dd y\right)\varphi'(x) \dd x $$ für eine Testfunktion $\varphi$ ein Hinweis sein, wenn man es "von Hand" nachweisen will. Ansonsten könnte auch die (distributionelle) Fouriertransformation hilfreich sein. LG Nico\(\endgroup\)

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