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  Positiv definite hermitesche Form und Spur |
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Theladyinwhite
Neu 
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 |  Themenstart: 2023-01-28
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Sei n ∈ N. Zeigen Sie, dass durch die mit Hilfe der Spur gegebene Abbildung
(. , .): Mn(C) × Mn(C) → C, (A, B)→ tr(A · B*)
eine positiv definite hermitesche Form auf dem C-Vektorraum Mn(C) gegeben ist.
Wie löse ich das ?
Hallo, ich sitze schon ewig an dieser Aufgabe und finde einfach keine Lösung.
Für Matrizen haben wir einiges in dem Bezug durchgenommen:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56145_Hermitsch.png
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56145_Hermitsch_2.png
Ich habe die Vermutung, dass es helfen kann bin mir aber nicht sicher.
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PhysikRabe
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-28
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Willkommen auf dem Matheplaneten!
Der Matheplanet gibt prinzipiell Hilfestellung, damit Aufgaben selbst gelöst werden können. Fragen, die du dir zu diesem Zweck stellen musst: Welche Eigenschaften muss eine positiv-definite hermitesche Form besitzen, d.h. was genau musst du zeigen? Schreibe die Aussagen, die gezeigt werden müssen, im Detail auf. Überlege dir dann, welche Eigenschaften die Spur besitzt.
Grüße,
PhysikRabe
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Theladyinwhite
Neu
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-28
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Hallo,
ich habe aus der Vorlesung nur die definition in einem Vektorraum und weiß jetzt nicht wie ich das übertragen kann
positiv definit, wenn (u, u) > 0 fur alle u (ELement von ) V \ {0} gilt,
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nzimme10
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-29
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
$M_n(\mathbb C)$ ist doch ein Vektorraum? Genauer ein Vektorraum über dem Körper $\mathbb C$. Die Elemente dieses Vektorraums sind $n\times n$-Matrizen mit Einträgen aus $\mathbb C$ und die Addition und skalare Multiplikation sind durch die entsprechenden Operationen für Matrizen gegeben, d.h. "komponentenweise".
Du solltest dir nun erstmal klarmachen, was eine positiv definite hermitesche Form auf einem $\mathbb C$-Vektorraum genau ist (wie PhysikRabe schon gesagt hat). Wenn $V$ irgendein $\mathbb C$-Vektorraum ist, was bedeuten dann die Begriffe
- hermitesche Form
- positiv definit
konkret?
Im Anschluss kannst du diese Definitionen mal mit der konkret gegebenen Form $(\cdot,\cdot)$ hinschreiben. Dann siehst du genau, was zu zeigen ist.
LG Nico\(\endgroup\)
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PhysikRabe
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-01-29
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\quoteon(2023-01-28 23:47 - Theladyinwhite in Beitrag No. 2)
ich habe aus der Vorlesung nur die definition in einem Vektorraum und weiß jetzt nicht wie ich das übertragen kann
\quoteoff
Warum nicht? $M_n(\mathbb C)$ ist ein Vektorraum (über $\mathbb C$).
\quoteon(2023-01-28 23:47 - Theladyinwhite in Beitrag No. 2)
positiv definit, wenn (u, u) > 0 fur alle u (ELement von ) V \ {0} gilt
\quoteoff
Das ist richtig, aber unvollständig. Wir haben die Abbildung $(\cdot,\cdot):M_n(\mathbb C) \times M_n(\mathbb C) \to \mathbb C$, gegeben durch $(A,B):=\mathrm{tr}(AB^\ast)$. Was muss diese Abbildung erfüllen, damit sie eine positiv-definite hermitesche Form ist? Was bedeutet "hermitesche Form"? Schreibe die gesamte Definition hin!
Sobald du das hast, kannst du ja einmal mit der positive Definitheit beginnen, die du bereits hingeschrieben hast. Es ist also zu zeigen, dass $(A,A)>0$ für alle $A\in M_n(\mathbb C)$, $A\neq 0$ gilt. Für eine solche Matrix $A$, was ist nun $(A,A)=\mathrm{tr}(AA^\ast)$ explizit? Erinnere dich dafür, wie die Spur definiert ist.
Wie du siehst musst du erst einmal nur die Definitionen abarbeiten. Das ist schließlich auch der Sinn dieser Übungsaufgabe: Du sollst dich mit den Definitionen und Begriffen vertraut machen und diese in einem konkreten Fall anwenden.
Grüße,
PhysikRabe
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Theladyinwhite
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-29
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Es ist also zu zeigen, dass $(A,A)>0$ für alle $A\in M_n(\mathbb C)$, $A\neq 0$ gilt. Für eine solche Matrix $A$, was ist nun $(A,A)=\mathrm{tr}(AA^\ast)$ explizit? Erinnere dich dafür, wie die Spur definiert ist.
Die Summe der Hauptdiagonalelemente Einer Matrix
In der Vorlesung hatten wir das A= A* wenn A hermitsch ist, darf ich das dann auch verwenden?
$(A,A)=\mathrm{tr}(AA)$
wäre es dann ja
(.,) wäre ja ein skalar Produkt, was im Zusammenhang mit der Spur steht
Ich hab euch noch etwas Probleme mit dem Darstellen von Dingen in diesem Programm,😖
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PhysikRabe
Senior
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-01-29
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\quoteon(2023-01-29 00:35 - Theladyinwhite in Beitrag No. 5)
Die Summe der Hauptdiagonalelemente Einer Matrix
\quoteoff
Ok, aber wie sieht das nun im Detail aus, also in Komponentenschreibweise?
\quoteon(2023-01-29 00:35 - Theladyinwhite in Beitrag No. 5)
In der Vorlesung hatten wir das A= A* wenn A hermitsch ist, darf ich das dann auch verwenden?
\quoteoff
Nein, denn $A$ ist im Allgemeinen nicht hermitesch. $M_n(\mathbb C)$ enthält alle $n\times n$-Matrizen mit Einträgen aus $\mathbb C$, nicht nur hermitesche!
Im Übrigen macht es meiner Meinung nach keinen Sinn, mit der Bearbeitung der Aufgabe zu beginnen, solange noch immer nicht die vollständige Definition dessen, was überhaupt zu zeigen ist (positiv-definite hermitesche Form) niedergeschrieben wurde; siehe dazu den Beitrag von nzimme10.
Grüße,
PhysikRabe
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Theladyinwhite
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-29
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Im Übrigen macht es meiner Meinung nach keinen Sinn, mit der Bearbeitung der Aufgabe zu beginnen, solange noch immer nicht die vollständige Definition dessen, was überhaupt zu zeigen ist (positiv-definite hermitesche Form) niedergeschrieben wurde; siehe dazu den Beitrag von nzimme10.
Tut mir leid ich musste nachlesen ob das was ihr meint mit dem was in der Vorlesunng definiert wurdeübereinstimmt, da es anders heißt: hermitesche Sesquilinearform
hermitesche Sesquilinearform
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56145_Hermitsch_3.png
positiv definit hermitesche Sesquilinearform
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56145_Sequi.png
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PhysikRabe
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-01-29
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\quoteon(2023-01-29 00:53 - Theladyinwhite in Beitrag No. 7)
Tut mir leid ich musste nachlesen ob das was ihr meint mit dem was in der Vorlesunng definiert wurdeübereinstimmt, da es anders heißt: hermitesche Sesquilinearform
\quoteoff
Du hast in deinem Startbeitrag (und im Thread-Titel) nur von "hermitescher Form" gesprochen, also haben nzimme10 und ich das so übernommen. Man versteht darunter typischerweise eine Sesquilinearform.
Und dass du Teile deines Skriptes kopieren kannst, glaube ich dir. Das wird dir nur bei der Bearbeitung der Aufgabe nicht weiterhelfen. Übrigens fehlt die Definition noch immer: Was ist eine hermitesche Sesquilinearform? So sieht die exakte Definition aus, nach der ich die ganze Zeit verlangt habe.
Was ist nun für die vorliegende Abbildung zu zeigen? Schreibe die Punkte, die du beweisen musst, auf. Es tut mir leid, so beharrlich darauf bestehen zu müssen, aber offenbar fehlt dir eine systematische Herangehensweise.
Sei also die Abbildung $(\cdot,\cdot):M_n(\mathbb C) \times M_n(\mathbb C) \to \mathbb C$ gegeben durch $(A,B):=\mathrm{tr}(AB^\ast)$. Es ist zu zeigen: ...
Schreibe es formal hin. Erst wenn du genau vor dir hast, was du zeigen musst, kannst du die Aufgabe ernsthaft bearbeiten.
Grüße,
PhysikRabe
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nzimme10
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-01-29
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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Ich möchte PhysikRabe da zustimmen.
Es geht nicht darum, dass du uns die Definitionen zeigst, die in deinen Unterlagen stehen, sondern, dass du die Definitionen selbst verstehst.
Nur wenn man genau weiß, was alle vorkommenden Begriffe bedeuten, kann man überhaupt damit anfangen, darüber nachzudenken, wie man die Aufgabe löst. (Mit Ausnahme von Politik, ist das auch sonst im Leben so. Man kann nicht wirklich über Dinge sprechen, die man nicht kennt bzw. versteht).
Bevor du also effektiv über die Aufgabe nachdenken kannst, musst du selbst wissen, was eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform genau ist. Wenn dir das dann klar ist, dann kannst du die konkret gegebene Form genauer untersuchen und wirst feststellen, dass du gewisse Eigenschaften der Spur und der Operation $A\mapsto A^*$ benötigen wirst, die es dann ggf. auch nochmal zu studieren (d.h. verstehen) gilt. Auch Eigenschaften der Matrixmultiplikation werden notwendig sein, da in der konkreten Definition der Form Matrizen multipliziert werden.
Nun aber Schritt 1 vor Schritt 2 und Schritt 2 vor Schritt 3.
1. Verstehe die Definition einer positiv definiten hermiteschen Sesquilinearform. Gib ein paar Beispiele für solche Formen an und überzeuge dich, warum deine Beispiele auch wirklich welche sind.
2. Verstehe bei der konkreten Aufgabe alle vorkommenden Symbole / Begriffe. Falls nötig, studiere nochmal die grundlegenden Eigenschaften von Spur, Matrixmultiplikation etc. Es kann auch hilfreich sein, den Fall $n=1$ zu betrachten. Hier lohnt es sich, wenn man bei 1. ein paar Beispiele genauer studiert hat.
3. Schreibe für die konkrete Aufgabe hin, was zu zeigen ist.
4. Ab diesem Punkt kannst du anfangen, zu überlegen, wie du die in 3. gefundenen Aussagen nachweisen kannst. Hier kann man in diesem Fall sehr systematisch vorgehen und bei sorgfältiger Vorarbeit und guter Buchhaltung schreibt sich der Beweis fast schon von selbst. Siehe dazu auch https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805
Solltest du bei diesem Prozess auf Probleme stoßen oder spezifische Fragen haben, so kannst du natürlich jederzeit nachfragen! Aber zunächst musst du dich selbst eben erstmal in die Lage versetzen, über die Begriffe vernünftig sprechen zu können.
LG Nico\(\endgroup\)
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