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| Autor |
  Beweis Satz von Hurwitz |
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Ibach
Neu 
Dabei seit: 29.01.2023
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2023-01-29
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Hallo zusammen,
ich habe eine kleine Frage zum Beweis vom Satz von Hurwitz aus dem Funktionentheorie I Buch von Remmert, Seite 233.
Der Beweis geht folgendermaßen:
Beweis
Bis zur vorletzten Zeile, in der \(\lim\limits_n c_n=c\) behauptet wird, ist mir alles klar. So wie ich es verstehe, gibt es eine konvergente Teilfolge \(c_{n\prime}\), die gegen \(c\) konvergieren muss, denn \(c\) ist die einzige Nullstelle, die \(f\) in der abgeschlossenen Kreisscheibe \(\overline B\) hat. Warum folgt daraus, dass \(c_n\) gegen \(c\) konvergiert? Oder anders gefragt, warum soll die Annahme, dass \(c_n\) nicht gegen \(c\) konvergiert, bedeuten, dass es eine Teilfolge gibt, die konvergiert, aber nicht gegen \(c\) sondern gegen \(d\neq c\)?
Vielen Dank und noch einen schönen Sonntag!
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 Profil
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semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 481
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-30
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Moin Ibach,
hier
\quoteon(2023-01-29 14:05 - Ibach im Themenstart)
So wie ich es verstehe, gibt es eine konvergente Teilfolge \(c_{n\prime}\), die gegen \(c\) konvergieren muss, denn \(c\) ist die einzige Nullstelle, die \(f\) in der abgeschlossenen Kreisscheibe \(\overline B\) hat. Warum folgt daraus, dass \(c_n\) gegen \(c\) konvergiert?
\quoteoff
hast du die Dinge verdreht. Korrekt formuliert sind sie dann hier
\quoteon(2023-01-29 14:05 - Ibach im Themenstart)
Oder anders gefragt, warum soll die Annahme, dass \(c_n\) nicht gegen \(c\) konvergiert, bedeuten, dass es eine Teilfolge gibt, die konvergiert, aber nicht gegen \(c\) sondern gegen \(d\neq c\)?
\quoteoff
Dazu lässt sich Folgendes sagen:
Die Folge $(c_n)_n$ lebt in dem Kompaktum $\overline{B}$. Falls nicht $c_n \to c$, so existiert $\epsilon > 0$ und eine Teilfolge $c_{n_k}$ mit $|c_{n_k}-c| \ge \epsilon$ für alle $k \in \mathbb{N}$. Da auch die Folge $(c_{n_k})_k$ in dem Kompaktum $\overline{B}$ lebt, existiert (wegen der Folgenkompaktheit von $\overline{B}$) eine Teilfolge $(c_{n_{k_l}})_l$ und ein $d \in \overline{B}$ mit $c_{n_{k_l}} \to d$. Offensichtlich ist $|d-c| \ge \epsilon$ und daher $d \neq c$.
LG,
semasch
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Ibach
Neu
Dabei seit: 29.01.2023
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-30
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Hallo semasch,
vielen Dank, jetzt verstehe ich es.
Viele Grüße und einen guten Start in die neue Woche
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Ibach hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ibach hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | | Ibach wird per Mail über neue Antworten informiert. |
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