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  Probeklausur Stochastik, Geometrische Verteilung |
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Sekorita
Aktiv 
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Mitteilungen: 425
 |  Themenstart: 2023-01-31
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55059_HilfeKlausur1.JPG
Hallo, ich habe folgendes Problem bei angefügter Aufgabe.
Als Wahrscheinlichkeitsraum würde ich hier den diskreten Raum
(\Omega,p) wählen mit \Omega={1,....,6}^n wobei (\omega_1,....,\omega_n) \el\ \IR
bedeute, welche Augenzahl im n-ten Wurf geworfen wurde.
Jedes Ergebnis hat die Erfolgswahrscheinlichkeit p(\omega) = (1/6)^n
Nun habe ich aber ein Problem die Zufallsvariable auszudrücken.
ich möchte ja darauf hinaus, wann zum ersten Mal eine 6 gewürfelt wird.
Nun gibt ja die Geometrische Verteilung ja eigentlich den Zeitpunkt an, wann zum ersten Mal ein "Erfolg eintritt". Wenn ich jetzt ausrechnen sollte, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die 6 nach zwei Würfen kommt, habe ich kein Problem, aber der erste Zeitpunkt bei n-Würfen verwirrt mich irgendwie
Intuitiv würde ich jetzt einfach sagen,
Sei X die Zufallsgröße, die angibt, in welchem Zug eine 6 gewürfelt wird.
Dann ist P(X=k)= (1-p)^(k-1) * p
also die geometrische Verteilung
und der Erwartungswert in n-Würfen eine 6 zu würfeln ist folglich
E[X] = 1/p = 1 / (1/6)^n = 6^n
Aber das macht für mich keinen Sinn, beziehungsweise das Omega wie oben definiert hätte ich intuitiv garnicht machen müssen.... Muss ich vielleicht
E[X] = 1/ p = 1/ ((1-p)^(k-1) * p) rechnen? Um Aufklärung in dieser Aufgabe wäre ich sehr dankbar
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-31
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Sekorita,
mache dir über deinen Wahrscheinlichkeitsraum nochmal Gedanken und über die beschriebenen Zufallsvariablen genauso.
Du solltest den einzelnen Würfelwurf und das gesamte Experiment unterscheiden. Insbesondere hat letzteres keine feste Länge, die Zufallsvariable beschreibt ja die Anzahl an Würfen, die man bis zum ersten Erfolg (inkl. diesem "Erfolgswurf") benötigt.
Der Parameter \(p\) der geometrischen Verteilung ist aber natürlich die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg in einem einzelnen Wurf.
Eine Voraussetzung für das Vorliegen einer geometrischen Verteilung ist ja das Vorliegen von untereinander unabhängigen Bernoulli-Versuchen. Jeder Würfelwurf, bei dem man bspw. die Auganzahl 6 als Erfolg auszeichnet, ist ein solches Bernoulli-Experiment. Und der Parameter \(p\) der Wahrscheinlichkeitsfunktion der geometrischen Verteilung ist die Erfolgswahrscheinlichkeit für diesen einzelnen Bernoulli-Versuch.
Und wenn du diese Wahrscheinlichkeitsfunktion geeignet interpretierst, dann wirst du feststellen: sie besteht aus dem Produkt aller Einzelwahrscheinlichkeiten für die Bernoulli-Experimente bis zum letztlich als "erfolgreich" betrachteten. Das funktioniert so eben wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Experimente.
Hier ist also ganz einfach \(p=\frac{1}{6}\).
Gehe es damit nochmal an.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
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Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-01-31
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Hallo,
die Aufgabe ist aber auch schlecht formuliert. Was soll das n in "Würfel wird n mal geworfen"? Hier wäre eigentlich \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}^n\) korrekt. Aber das ist wohl gar nicht gemeint.
Außerdem ist "das Ereignis zum ersten Mal eine 6 würfeln" kein Ereignis, sondern es ist eine Zufallsvariable gemeint.
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Sekorita
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-31
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Hey,
also Sei X_i: \Omega->\IN mit \Omega:= {1,....,6}; i\el\ (1,...,n) und der p= Gleichverteilung
die Zufallsgrößen, die angibt, dass im i-ten Wurf eine 6 gewürfelt wird.
Dann sind meine X_i unabhängige Bernoulli verteilte Zufallsvariablen mit p(\omega) = 1/6
Hier wird handelt es sich also um eine n-fache Ausführung eines Bernoulli Experimentes, weswegen alle Vorraussetzungen für die geometrische verteilung gegeben sind.
Die Verteilung ist also
P(X=n)= (1-p)^(n-1) * p
X~ Geo(p) mit p = 1/6
Per Definition ist E[X] = 1 /p also ist E[X] = 1/ (1/6)
= 6
Also wirft man im Mittel nach 6 Würfen zum ersten Mal eine 6.
Ich hoffe, dass dies so gemeint war :)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-01-31
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Hallo,
das Ergebnis passt. Aber mit den Begrifflichkeiten wirfst du schon wild durcheinander heute. 😉
Was meinst du bspw. mit "Gleichverteilung"?
Dann: \(P(X=n)\) ist ja streng genommen nicht "die Verteilung(-sfunktion)", sondern im stetigen Fall wäre es die Dichte. Hier im Diskreten sagt man etwa: "Wahrscheinlichkeitsfunktion".
Und ein Erwartungswert wird ja nicht definiert, sondern berechnet...
Also du kannst schreiben, dass der Erwartungswert "laut Vorlesung" \(1/p\) ist oder etwas in der Art, aber nicht "nach Definition". Denn das wäre insofern sehr überraschend, als jeder Erwartungswert "nach Definition" bestimmt wird...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Sekorita
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-31
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Danke für Eure Hilfe. Mit den egrifflichkeiten versuche ich sicherer zu werden.
Ich hätte ähnlich wie StrgAltEntf auch gesagt, dass es sich um Zufallsvariablen handelt.
Zu b bzw. c)
Verteilung für die Zufallsvariable Y:= "Zum ersten mal eine 5 oder 6 würfeln"
Dann sind Y_i: \Omega->\IN mit \Omega:={1,...,6} ; i\el\ (1,...,n) analog wie X_i in a) unabhängige Bernoulli verteilte Zufallsvariablen mit p(\omega)=2/6
Es gibt sich analog zu a)
Y~Geo(p) mit p=2/6
und nach Vorlesung ist E[Y] = 1/p = 1/(2/6) = 6/2 = 3
zu c)
Hier habe ich Probleme es umzusetzen. Es sollen ja sowohl eine 5 als auch eine 6 das erste Mal fallen. Ich verstehe, dass es was anderes ist als bei b) und das wenn man hier ja nicht beide Zahlen im gleichen Wurf werfen kann.
Ich wollte jetzt erst eine Zufallsvariable U:= Zum ersten mal eine 5 würfeln ,
und dann Z:= Zum ersten mal eine 5 und 6 als Addition von X und U darstellen, funktioniert das ? Wenn nein, wie gehe ich dann vor ?
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-01-31
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\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2023-01-31 17:37 - Sekorita in Beitrag No. 5)
Danke für Eure Hilfe. Mit den egrifflichkeiten versuche ich sicherer zu werden.
Ich hätte ähnlich wie StrgAltEntf auch gesagt, dass es sich um Zufallsvariablen handelt.
\quoteoff
Das ist ein wenig nichtssagend. Es geht um eine Zufallsvariable mit der Wertemenge \(\IN^{*}\), der Wert der ZV gibt an, wie viele Würfe man jeweils benötigt hat.
\quoteon(2023-01-31 17:37 - Sekorita in Beitrag No. 5)
Zu b bzw. c)
Verteilung für die Zufallsvariable Y:= "Zum ersten mal eine 5 oder 6 würfeln"
Dann sind Y_i: \Omega->\IN mit \Omega:={1,...,6} ; i\el\ (1,...,n) analog wie X_i in a) unabhängige Bernoulli verteilte Zufallsvariablen mit p(\omega)=2/6
Es gibt sich analog zu a)
Y~Geo(p) mit p=2/6
und nach Vorlesung ist E[Y] = 1/p = 1/(2/6) = 6/2 = 3
\quoteoff
Das ist richtig.
\quoteon(2023-01-31 17:37 - Sekorita in Beitrag No. 5)
zu c)
Hier habe ich Probleme es umzusetzen.
\quoteoff
Nun, das ist auch (deutlich) anspruchsvoller, sofern die Fragestellung im Themenstart korrekt ist. Zunächst daher zur Sicherheit eine Rückfrage: bist du dir sicher, dass du diese Teilaufgabe korrekt wiedergegeben hast? Das würde nämlich nach meinem Verständnis (und nach deinem ja auch) bedeuten, dass die 5 und die 6 nicht unmittelbar aufeinanderfolgen müssen.
(Unabhängig davon ist diese Aufgabenstellung wie der Rest grottenschlecht formuliert, da hat StrgAltEntf völlig recht.)
\quoteon(2023-01-31 17:37 - Sekorita in Beitrag No. 5)
Es sollen ja sowohl eine 5 als auch eine 6 das erste Mal fallen. Ich verstehe, dass es was anderes ist als bei b) und das wenn man hier ja nicht beide Zahlen im gleichen Wurf werfen kann.
Ich wollte jetzt erst eine Zufallsvariable U:= Zum ersten mal eine 5 würfeln, und dann Z:= Zum ersten mal eine 5 und 6 als Addition von X und U darstellen, funktioniert das ? Wenn nein, wie gehe ich dann vor ?
\quoteoff
Die Idee, das in zwei Phasen aufzuteilen, ist zunächst einmal zielführend und damit auch die Idee, eine zweite Zufallsvariable einzuführen.
Grobe Idee: Stelle zunächst die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis (also feste Werte für \(X\) und \(U\(\endgroup\)
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Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 425
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-31
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Ich habe diese Probeklausur auch nur so Geschickt bekommen..... Sicher bin ich also alle Male nicht :) Ich rechne aber bis nächste Woche Dienstag zur Klausur noch andere Probeklausuren durch, welche mir als PDF und auch abgetippt durch Dozenten vorliegen. Da sollte es dann eindeutige Formulierungen und Fragestellungen geben.
Ich würde die Aufgabe erstmal so belassen und danke Euch vielmals für die Hilfe und auch im Voraus schon für zukünftige.
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StrgAltEntf
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Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-01-31
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\quoteon(2023-01-31 17:37 - Sekorita in Beitrag No. 5)
und dann Z:= Zum ersten mal eine 5 und 6 als Addition von X und U darstellen, funktioniert das ? Wenn nein, wie gehe ich dann vor ?
\quoteoff
Das sollte funktionieren.
X ist also geometrisch verteilt mit Parameter 1/3. (Wartezeit bis zur ersten 5 oder 6). U ist geometrisch verteilt mit Parameter 1/6. (Wartezeit bis zur zweiten Zahl 5 bzw. 6). X und U sind unabhängig! Dann ist Z = X + U. Der EW von Z ist also 3 + 6 = 9.
Zur Verteilung von Z, also zur Berechnung von P(Z = k) siehe auch hier (Beitrag #3): https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=261425&post_id=1898674 (Dort haben beide geometrischen Verteilungen denselben Parameter.)
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