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| Autor |
  Eindeutigkeit Poisson-Gleichung |
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Jahi02
Aktiv 
Dabei seit: 03.02.2022
Mitteilungen: 31
 |  Themenstart: 2023-01-31
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Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zur Eindeutigkeit der Lösungen der Poisson-Gleichung in folgender Situation:
Sei $V_1$ der linke Halbraum des $\mathbb{R}^3$ (mit x < 0), und $V_2$ der rechte Halbraum des $\mathbb{R}^3$. Nun soll $\phi_1 : V_1 -> \mathbb{R}$ die Gleichung $\Delta \phi_1 = g_1$ und $\phi_2 : V_2 -> \mathbb{R}$ $, \Delta \phi_1 = g_2$ erfüllen. Außerdem ist $\phi_1 = \phi_2$ bei x = 0 und $\frac{\partial\phi_1}{\partial n} = c\frac{\partial\phi_2}{\partial n}$ für ein $c \neq 1,0$ aus $\mathbb{R}$ sein. Gibt es einen Weg zu zeigen, dass eine Lösung $\phi_1$ und $\phi_2$ eindeutig für dieses Problem ist?
Vielen Dank schonmal
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 Profil
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semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 445
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-01
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Moin Jahi02,
man kann das fragliche gekoppelte Randwertproblem, also
\[
\Delta \phi_1 = g_1 \,\, \text{in} \,\, V_1 \,\, \text{und} \,\, \Delta
\phi_2 = g_2 \,\, \text{in} \,\, V_2, \\
\phi_1 = \phi_2 \,\, \text{und} \,\, \frac{\partial \phi_1}{\partial x} =
\frac{\partial \phi_1}{\partial n} = c \frac{\partial \phi_2}{\partial n}
= -c \frac{\partial \phi_2}{\partial x} \,\, \text{auf} \,\, \partial V_1
= \partial V_2,
\]
durch eine geeignete Transformation entkoppeln und in ein Paar unabhängiger und äquivalenter Randwertprobleme überführen, eines mit homogenen Dirichlet- und eines mit homogenen Neumann-Randbedingungen.
Um diese Entkopplung durchzuführen, definiere zunächst
\[
\tilde{\phi_1}(x,y,z) := \phi_1(x,y,z) - \phi_2(-x,y,z), \quad
\tilde{\phi_2}(x,y,z) := \phi_1(x,y,z) - c \phi_2(-x,y,z), \\
\tilde{g_1}(x,y,z) := g_1(x,y,z) - g_2(-x,y,z), \quad
\tilde{g_2}(x,y,z) := g_1(x,y,z) - c g_2(-x,y,z)
\]
für alle $(x,y,z)^T \in V_1$. Gehe dann vom ursprünglichen gekoppelten Randwertproblem für $\phi_1$ und $\phi_2$ aus und leite daraus ab, wie die Randwertprobleme für $\tilde{\phi_1}$ und $\tilde{\phi_2}$ (beide natürlich auf $V_1$) lauten. Überlege dir dann, dass diese beiden zum ursprünglichen Randwertproblem äquivalent sind und wende schließlich die üblichen Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen an.
LG,
semasch
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Jahi02
Aktiv
Dabei seit: 03.02.2022
Mitteilungen: 31
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-01
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Hi semasch,
super so hat es geklappt, vielen Dank für die schnelle und tolle Antwort.
Gruß
Jahi
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Jahi02 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Jahi02 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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