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 Formale Definition "diskrete Kategorie" |
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tobit09
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Mitteilungen: 79
 |  Themenstart: 2023-01-31
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Hallo zusammen,
wenn ich gängige Philosophien von Kategorientheoretikern beobachte, habe ich den Eindruck, sie wollen keine Gleichheitsrelation zwischen Objekten einer Kategorie verwenden und z.B. nie über alle Morphismen einer Kategorie quantifizieren, sondern nur über Morphismen von einem gegebenen Objekt A zu einem gegebenen Objekt B. (Falls ich damit danebenliege, bitte ich um Korrektur.)
Unter diesen Voraussetzungen gelingt es mir nun nicht, den Begriff einer "diskreten Kategorie" formal zu definieren.
Kann mir jemand mit einer formalen Definition (mit Quantoren) helfen?
(Oder ist dieser Begriff möglicherweise für Kategorientheoretiker kein sinnvoller Begriff?)
Viele Grüße
Tobias
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PhysikRabe
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-31
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Hallo Tobias,
was ist gegen die übliche Definition, die man z.B. hier findet, einzuwenden? Vielleicht verstehe ich deine Frage auch nicht richtig. In diesem Fall entschuldige ich mich und bitte um eine Konkretisierung 🙂
Grüße,
PhysikRabe
[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Kategorientheorie' von PhysikRabe]
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tobit09
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-31
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Hallo PhysikRabe,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Die von dir verlinkte Definition verwendet $X\not= Y$ für Objekte $X$ und $Y$ einer beliebigen Kategorie.
Mein Eindruck von Kategorientheoretikern ist jedoch, dass ein solcher Vergleich in diesen Kreisen als unerwünscht (ich glaube, dort ist der Begriff "böse"/"evil" verbreitet) gilt.
Daher meine Frage, ob es eine alternative Formulierung gibt, die ohne solche "bösen" Bestandteile auskommt oder ob der Begriff der diskreten Kategorie per se "böse" ist.
Viele Grüße
Tobias
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PhysikRabe
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-31
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Hallo Tobias,
danke, jetzt verstehe ich auch die ursprüngliche Frage aus deinem Startbeitrag.
Das ist in der Tat etwas subtil. Der nlab-Artikel erwähnt diesen Aspekt auch (siehe den Abschnitt "Categorical meaning", Zitat: "Often one also assumes that a discrete category is skeletal [...]").
Ich denke, dass deine Frage im Grunde wenig mit diskreten Kategorien zu tun hat, sondern damit, wie man verschiedene Objekte in einer Kategorie unterscheiden kann. Rein formal muss man jedenfalls nicht von der (Un)gleichheit zweier Objekte sprechen, um eine diskrete Kategorie zu definieren. Eine diskrete Kategorie ist eine Kategorie, deren einzige Morphismen die Identitätsmorphismen sind. Etwas konkreter kann man (jedenfalls für kleine Kategorien) sagen, dass eine diskrete Kategorie äquivalent zu einer Menge (als Objekt von $\mathsf{Cat}$) ist. Streng genommen führt das jedoch zu weiteren Schwierigkeiten; siehe etwa hier.
Mein Wissen über Kategorientheorie reicht leider nicht aus, um diese Feinheiten im Detail zu überblicken. Vielleicht hilft dir nlab schon ein bisschen weiter. Ansonsten findet sich bestimmt jemand (Triceratops 😉), der dir konkret weiterhelfen kann.
Grüße,
PhysikRabe
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tobit09
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-31
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Danke für die neuerliche Antwort, PhysikRabe.
Wenn ich es richtig verstehe, sind 2 Varianten vom Begriff "diskrete Kategorie" im Umlauf:
1. "Keine Morphismen außer Identitäten" (wie von Tom Leinster verwendet)
2. "[E]very morphism should be invertible, any two parallel morphisms should be equal." (nlab)
2. kann ich formalisieren, ohne in offensichtlicher Weise gegen kategorientheoretische Prinzipien zu verstoßen.
1. scheint tatsächlich "böse" zu sein.
Wobei es mich schon wundert, dass jemand wie Tom Leinster, der vermutlich kein Amateur im Bereich Kategorientheorie ist, schon so früh in seiner Einführung in die Kategorientheorie gegen kategorientheoretische Grundsätze zu verstoßen scheint...
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tobit09
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-31
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"Eine diskrete Kategorie ist eine Kategorie, deren einzige Morphismen die Identitätsmorphismen sind."
Um dies zu formalisieren, müsste ich vermutlich über ALLE Morphismen einer Kategorie quantifizieren in der Art:
"Für jeden Morphismus $f$ existiert ein Objekt $A$, so dass $f:A\to A$ und $f=\operatorname{id}_A$."
Nach meinem Verständnis der Kategorientheoretischen Philosophien (das falsch sein kann!) ist jedoch eine solche Quantifikation nicht vorgesehen. Außerdem verstehe ich $f:A\to A$ eher als "Typenklassifizierung" als als Aussage, die für beliebige Morphismen wahr oder falsch sein kann.
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PhysikRabe
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-01-31
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\quoteon(2023-01-31 16:31 - tobit09 in Beitrag No. 5)
"Für jeden Morphismus $f$ existiert ein Objekt $A$, so dass $f:A\to A$ und $f=\operatorname{id}_A$."
\quoteoff
Diese Aussage ist für mich nicht nachvollziehbar und meines Erachtens auch nicht sinnvoll. Wenn man von einem Morphismus $f$ spricht, so muss klar sein bzw. angegeben werden, welche Objekte Domain ("Source") und Codomain ("Target") sind. Die Existenz von Identitätsmorphismen, also für jedes Objekt $A$ die Existenz eines Morphismus $\mathrm{id}_A \in \mathrm{Hom}(A,A)$ mit den üblichen Eigenschaften, ist Teil der Definition einer Kategorie.
Wie bereits gesagt denke ich, dass deine Frage eher grundlegende Aspekte der Kategorientheorie betrifft, und weniger konkret die Definition einer diskreten Kategorie.
Grüße,
PhysikRabe
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tobit09
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-31
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Ich stimme überein mit deinen Einwänden gegen meinen Formalisierungsversuch von deiner Formulierung "Eine diskrete Kategorie ist eine Kategorie, deren einzige Morphismen die Identitätsmorphismen sind.".
Siehst du irgendeine sinnvollere Möglichkeit, deine Formulierung (mit Quantoren) zu formalisieren?
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PhysikRabe
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-01-31
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\quoteon(2023-01-31 16:56 - tobit09 in Beitrag No. 7)
Siehst du irgendeine sinnvollere Möglichkeit, deine Formulierung (mit Quantoren) zu formalisieren?
\quoteoff
Ein spontaner Gedanke: Man könnte Martins Standpunkt in der Antwort hier einnehmen und eine Kategorie als gerichteten Graphen mit Kantenmenge $M$ und Vertices $O$ betrachten. Eine diskrete Kategorie ist dann eine solche, für die die Identitätsabbildung $\mathrm{id}: O \to M$ (siehe die Antwort im obigen Link) bijektiv ist. Anschaulich gibt es also für jeden Vertex nur genau eine Kante, nämlich jene, die von der allgemeinen Definition einer Kategorie diktiert wird und den Identitätsmorphismus repräsentiert.
Ob das alle Schwierigkeiten beseitigt bzw. eine ausreichende Charakterisierung ist, vermag ich nicht zu sagen.
Grüße,
PhysikRabe
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tobit09
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-31
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Danke für den Vorschlag.
Er scheint mir leider die Probleme nicht zu lösen.
Wenn wir nämlich versuchen, die Surjektivität von $\operatorname{id}:O\to M$ zu formalisieren, stoßen wir wohl wieder auf den Punkt, über alle Morphismen (unabhängig von Start und Ziel) $f\in M$ quantifizieren zu müssen.
Wie du selbst schriebst:
"Wenn man von einem Morphismus f spricht, so muss klar sein bzw. angegeben werden, welche Objekte Domain ("Source") und Codomain ("Target") sind."
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Lavendeltee
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 | Beitrag No.10, eingetragen 2023-02-01
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Hallo,
mir ist nicht ganz klar, welche konkreten Fragen hier jetzt noch bestehen. Dass Diskretheit von Kategorien nicht invariant unter Äquivalenz von Kategorien ist (manche Leute nennen das „böse”), wurde hier ja schon festgestellt. Dennoch kann man die Definition natürlich machen und sie ist auch nützlich.
Diskrete Kategorien sind übrigens ein Spezialfall von diskreten Faserungen $\mathscr{E} \to \mathscr{B}$ in dem Fall, dass $\mathscr{B}$ die Kategorie mit einem Objekt und einem Morphismus ist. Umgekehrt sind diskrete Faserungen genau die Grothendieck-Faserungen, deren sämtliche Fasern diskrete Kategorien sind. Wie in dem nLab-Artikel erklärt wird, sind auch diskrete Faserungen nicht invariant unter Äquivalenz von Kategorien, das Konzept ist aber trotzdem ziemlich wichtig, zum Beispiel in der Logik, in der Theorie von algebraischen Räumen und Stacks in der algebraischen Geometrie, oder in der Theorie der Überlagerungen topologischer Räume (siehe unten).
Noch eine Anmerkung: Es gibt (mindestens) zwei recht verschiedene Situationen, in denen man sich für Kategorien interessieren kann: Einerseits ist Kategorientheorie nützlich, um gewisse Klassen mathematischer Objekte zu untersuchen, indem man zum Beispiel die Kategorien $\mathrm{Set}$, $\mathrm{Top}$, $\mathrm{Grp}$ von Mengen oder topologischen Räumen oder Gruppen untersucht. Hier ist es tatsächlich etwas unnatürlich, über Gleichheit von Objekten zu sprechen (aber, wenn man eine klassische, mengentheoretische Formalisierung zu Grunde legt, trotzdem möglich).
Eine andere Sichtweise auf Kategorien ist die Interpretation von Kategorien als gewisse kombinatorische Abstraktionen von topologischen Räumen (oder ihren Homotopietypen). Ein Beispiel für diese Sichtweise ist die folgende: Von einem topologischen Raum kann man übergehen zu seinem Fundamentalgruppoid. Dieses ist eine spezielle Kategorie. Diskrete topologische Räume gehen hierbei genau auf diskrete Kategorien. Da das Fundamentalgruppoid homotopieinvariant ist (homotopieäquivalente topologische Räume gehen auf äquivalente Kategorien) und es topologische Räume gibt, die homotopieäquivalent zu einem diskreten topologischen Raum sind, die aber nicht selbst diskret sind, gibt es auch Kategorien, die äquivalent zu diskreten Kategorien sind, aber nicht selbst diskret sind. Aus der Sicht eines Homotopietheoretikers ist der Begriff „diskreter topologischer Raum” böse, aber aus der Sicht eines klassischen Topologen, der bis auf Homöomorphie arbeitet, ist das Konzept trotzdem sinnvoll.
Die oben genannten diskreten Faserungen gehören ebenfalls in diesen Bereich: Diskrete Faserungen über dem Fundamentalgruppoid eines topologischen Raumes korrespondieren genau zu Überlagerungen des gegebenen topologischen Raumes. Aus der Sicht eines Homotopietheoretikers sind Überlagerungen böse, aber ein klassischer Topologie findet sie interessant.
Der Begriff einer Kategorie ist einfach in verschiedenen Situationen nützlich und verschiedene Sichtweisen darauf, was eine Kategorie ist, und wie man damit arbeiten sollte, sind angebracht. Diskrete Kategorien gehören für mich in den Bereich der Topologie und sind da eine andere Sichtweise auf diskrete topologische Räume (a.k.a. Mengen). Man möchte sie selten vergleichen mit Kategorien wie $\mathrm{Set}$, $\mathrm{Top}$ oder $\mathrm{Grp}$, für die man sich in anderen Situationen interessiert.
Viele Grüße
Lavendeltee
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tobit09
Aktiv
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 79
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-03
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Hallo Lavendeltee,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort. :-)
Als Quintessenz nehme ich mit, dass Fehlvorstellungen meinerseits über Kategorientheoretiker korrigiert wurden:
Ich ging bisher davon aus, dass Kategorientheoretiker sehr feste Vorstellungen davon hätten, was man zu tun und zu lassen habe. Insbesondere hatte ich alles als "böse" eingestufte interpretiert als "unbedingt zu unterlassen".
Dass Kategorientheoretiker da offenbar doch lockerer sind, gefällt mir.
Viele Grüße
Tobias
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.12, eingetragen 2023-02-11
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\quoteon(2023-01-31 15:23 - tobit09 im Themenstart)
sie wollen keine Gleichheitsrelation zwischen Objekten einer Kategorie verwenden und z.B. nie über alle Morphismen einer Kategorie quantifizieren, sondern nur über Morphismen von einem gegebenen Objekt A zu einem gegebenen Objekt B.
\quoteoff
Ja, die Gleichheit von Objekten ist keine Eigenschaft, die unter Äquivalenzen von Kategorien invariant ist und daher oftmals uninteressant. Es gibt natürlich Ausnahmen. Du kannst schließlich auch jede Präordnung als Kategorie auffassen, und es ist wichtig, darüber sprechen zu können, ob zwei Elemente einer Präordnung gleich sind oder nicht.
Was du danach schreibst, ist nicht richtig. Natürlich kann man über alle Morphismen quantifizieren. Wir brauchen aber immer auch source und target (siehe dein paraleller Thread). Man schreibt es dann in der Regel eher so auf: Für alle Objekte $A,B$ und alle Morphismen $f : A \to B$, usw. Man kann hierbei natürlich auch noch Einschränkungen an $A,B$ machen.
Das sieht man zum Beispiel bei der Definition eines initialen Objektes $0$: Für alle Objekte $A$ soll es genau einen Morphismus $0 \to A$ geben. Die Eindeutigkeit kann man auch so formulieren: Für alle Morphismen $f,g$ mit $s(f)=s(g)=0$ gilt $f=g$.
Zu jeder Kategorie kann man ihre Morphismuskategorie bilden. Wenn man schon über alle Objekte quantifizieren kann, dann notwendierweise also auch über alle Morphismen.
\quoteonUnter diesen Voraussetzungen gelingt es mir nun nicht, den Begriff einer "diskreten Kategorie" formal zu definieren.
\quoteoff
Es wurde ja bereits gesagt: der Begriff der diskreten Kategorie ist nicht unter Äquivalenzen von Kategorien invariant und daher oftmals nicht besonders praktisch, weil nicht flexibel genug (wenngleich sie natürlich gute Beispiele liefern). Eine Kategorie, die zu einer diskreten Kategorie äquivalent ist, nennt man auch Setoid im Englischen. Das ist eine Kategorie mit der Eigenschaft, dass es für alle Objekte $A,B$ höchstens einen Morphismus $A \to B$ gibt (sodass wir also eine Präordnung haben), und in dem Fall auch einen Morphismus $B \to A$ (das sorgt für die Symmetrie der Relation). Äquivalent: wir haben eine Menge zusammen mit einer Äquivalenzrelation darauf (die nämlich die Information beinhaltet, ob die Objekte zueinander isomorph sind). Hier hat man nun also keine Gleichheit von Objekten mehr in der Definition.
Wie PhysikRabe schon erklärt hat, lassen sich diskrete Kategorien aber auch anhand der "globalen Definition" von Kategorien leicht definieren. Für jede Menge $O$ hat man eine Kategorie mit Morphismenmenge $O$, Objektmenge $O$, $s,t : O \to O$ sind die Identität, usw. Wenn du jetzt definierst, dass eine diskrete Kategorie eine solche ist, die mit einer solchen übereinstimmt, dann sprichst du notwendigerweise über die Gleichheit von Objekten. Wenn du lediglich eine Äquivalenz forderst, dann nicht, und du bekommst den Begriff eines Setoids.
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