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| Autor |
  Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln mindestens eine 6 zu werfen |
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WinstonYT
Aktiv 
Dabei seit: 21.02.2019
Mitteilungen: 196
 |  Themenstart: 2023-02-01
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Hallo Zusammen
Aufgabe:
Ich habe 2 Würfeln von 1 bis 6.
Wahrscheinlichkeit das mindestens einer der würfeln 6 zeigt.
Meine Gedankengang:
Warscheinlichkeit für ein würfel die eine 6 zeigt ist 1/6
Die zwei würflen addiert ist 1/6+1/6=1/6.
Was ist bei diesem Gedankengang falsch habe ich etwas vergessen etc.?
Lösung:
31%
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 Profil
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WinstonYT
Aktiv 
Dabei seit: 21.02.2019
Mitteilungen: 196
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-01
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Ich dachte ich habe die Lösung gerade herausgefunden, aber stimmt doch nicht.
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Profil
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10506
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-02-01
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Hallo WinstonYT,
formuliere einmal das Gegenereignis zu "mindestens ein Würfel zeigt eine Sechs", und berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die des Gegenereignisses.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Stochastik und Statistik' in Forum 'Stochastik und Kombinatorik' von Diophant]
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Profil
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2060
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-01
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Guten Abend @WinstonYT,
Diophant hat schon einen wesentlichen Hinweis geliefert...
... aber der Reihe nach - und da sind solche einfachen Beispiele
hervorragend geeignet:
Bei Deiner Fragestellung sind vier Fälle zu unterscheiden:
1. Würfel #1 zeigt eine SECHS und Würfel #2 zeigt eine SECHS.
2. Würfel #1 zeigt eine SECHS und Würfel #2 aber nicht.
3. Würfel #1 zeigt keine SECHS und dafür aber Würfel #2.
4. Würfel #1 zeigt keine SECHS und Würfel #2 zeigt keine SECHS.
Die Wahrscheinlichkeit für "mindestens eine SECHS" ergibt sich
also zum einen, indem man 1. oder 2. oder 3. betrachtet und
wegen des "oder" die entsprechenden drei Ereigniswahrschein-
lichkeiten addiert. Die jeweiligen Teilwahrscheinlichkeiten für
Würfel #1 und Würfel #2 muss man zuvor wegen des "und"
miteinander multiplizieren!
Zum anderen kann man überlegen, dass die Summe aus 1. bis 4.
genau \(1{,}0\) sein muss; andere Fälle kommen nicht wirklich infrage.
Wenn man also die Ereigniswahrscheinlichkeit für 4. - eben das
von Diophant angesprochene Gegenereignis! - von \(1{,}0\) abzieht,
muss auch das richtige herauskommen! Ist hier der schnellere Weg.
Und so, also Fallunterscheidung(en) vornehmen und/oder Gegen-
ereignis(se) betrachten, lassen sich viele ähnlich Aufgaben lösen. 😉
Wenn Du es zum Üben etwas grausamer magst:
\showon
Du würfelst mit einem gewohnten Sechserwürfel (#1),
einem Zwölferwürfel (#2) und einem Zwanzigerwürfel (#3)
und 'gewinnst', falls Du eine ungerade Anzahl an Primzahlen
erwürfelst. Wie hoch ist dann Deine Gewinnwahrscheinlichkeit?
\showoff
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Profil
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Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7081
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-02-01
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Was man noch erwähnen sollte:
Die Wahrscheinlichkeiten von zwei mit "ODER" verknüpften Ereignissen darf man nur dann einzeln berechnen und danach addieren, wenn beide Ereignisse _nicht_ gleichzeitig eintreten können(*).
Daher funktioniert Deine Idee "1/6 + 1/6" nicht (was im übrigen 1/3 ergibt und nicht 1/6).
Das Problem ist, dass Du dabei die Fällen, in denen _beide_ Ereignisse eintreten sozusagen "doppelt" zählst.(**)
Um dieses Problem zu umgehen hat cramilu in #2 die Menge der möglichen Ereignisse in lauter Fälle zerlegt, die eben nicht gleichzeitig eintreten können.
(*) Wenn man es genau nimmt, reicht es aus, dass beide Ereignisse gleichzeitig mit einer Wahrscheinlichkeit von $0$ eintreten. Das das nicht identisch ist mit "sie können _nie_ gleichzeitig eintreten", lernst Du vsl. später.
(**) Für Ereignisse $A$ und $B$ gilt: $P(A \text{ ODER } B)= P(A)+P(B)-P(A \text{ UND } B)$. Die Rechnung "1/6 + 1/6 - 1/36" würde also (auch) zum Ziel führen.
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Profil
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WinstonYT
Aktiv
Dabei seit: 21.02.2019
Mitteilungen: 196
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-03
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Danke für die hilfreichen Antworten, habe es verstanden👍
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Profil
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