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 Spiel über mehrere Runden |
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WagW
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Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 454
 |  Themenstart: 2023-02-01
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Hallo zusammen,
in der Klausur gab es folgende Aufgabe:
"Spieler $A$ hat $n-1\geq1$ Dollar und Spieler $B$ besitzt $1$ Dollar. Es wird rundenweise gespielt und der Verlierer einer Runde muss an den Gewinner $1$ Dollar zahlen. Das Spiel endet, wenn ein Spieler kein Geld mehr bzw. $n$ Dollar hat. Die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ in einer Runde gewinnt ist $\frac{1}{3}$ und die Wahrscheinlichkeit, dass $B$ in einer Runde gewinnt $\frac{2}{3}$.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass $B$ gewinnt. (Tipp: Induktion)"
Also ich bin mir sicher, dass man irgendwie mit bedingten WSKs herumtricksen muss, um dann auf eine geeignete Rekursionsgleichung zu kommen, die man dann per Induktion beweist. Aber irgendwie habe ich da keinen strukturierten Ansatz hinbekommen und mich nur im Kreis gedreht🤔.
Wir haben in unserer VL solche Aufgaben formal nicht wirklich behandelt, sondern immer sagen wir mal "Bildchen mit Pfeilen gemalt", wo dann nie so klar war, was genau die Mengen sind, die zu den bedingten WSKs gehören.
Vielleicht hat hier jemand einen Ansatz?
Viele Grüße
WagW
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tactac
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Mitteilungen: 2717
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
Man kann sich folgendes überlegen: Es sei $P(n)$ die Wk., dass B das Gesamtspiel der Größe $n$ gewinnt.
Für $n=2$ findet nur eine Runde statt, B gewinnt mit Wk. $2/3$. Also: $P(2) = 2/3$.
Für $n > 2$ wird zunächst eine Runde gespielt.
Fall 1. (Wk. $1/3$) A gewinnt => Spielende mit B-Gewinnwahrscheinlichkeit 0.
Fall 2. (Wk. $2/3$) B gewinnt. Nun wird das Gesamtspiel mit der Größe $n-1$ gespielt.
Fall 2.2 (Wk. $P(n-1)$) B gewinnt. => Spielende mit B-Gewinnwahrscheinlichkeit 1
Fall 2.2 (Wk. $1-P(n-1)$ A gewinnt => jetzt wird erneut das Spiel mit Größe $n$ gespielt. B gewinnt mit Wk. $P(n)$.
Das ergibt folgende Gleichungen (modulo Tippfehler):
* $P(2) = 2/3$,
* für alle $n>2$: $P(n) = \frac 2 3 \cdot (P(n-1) + (1-P(n-1)) \cdot P(n) )$
die zweite kann man nach $P(n)$ umstellen und hat dann eine primitiv-rekursive Darstellung von $P$, für die man sicherlich auch eine geschlossene Form erraten und per Induktion beweisen kann. \(\endgroup\)
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