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 Satz von de Moivre für komplexe Potenzen |
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marathon
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Dabei seit: 25.07.2015
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 |  Themenstart: 2023-02-02
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Hallo hier noch zur späten stunde eine kleine Miniatur eigentlich lächerlich aber ich pack es leider trotzdem nicht gut gesucht
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z^3 =1 +2i und die Lösung in der kartesischen Form ich berechne zuerst den Radius
sqrt(1^2 +2^2)=sqrt(5) gut dann heißt dies ja
z=sqrt(5)^(1/3)*e^(((tan(2))/3+2\pi/3*k)
und dann noch für die Fälle k=0,1,2,durchrechnern komme trotzdem nicht auf das Ergebnis in katesischer form wie rechne ich dies nun wieder um oder ist der Ansatz hier schon verkackt
1000 Dank im Vorraus
das Umrechnen der jeweiligen Formen ist in der tat für mich nach wie vor der Knackkpunkt
kartesisch- polar trigonometrisch hin und her und zurück da hapert es eben wenn der Ansatz zumindest stimmen würde???
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Wario
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Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1202
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-02
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\quoteon(2023-02-02 00:30 - marathon im Themenstart)
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z^3 =1 +2i und die Lösung in der kartesischen Form ich berechne zuerst den Radius
sqrt(1^2 +2^2)=sqrt(5) gut dann heißt dies ja
z=sqrt(5)^(1/3)*e^(((tan(2))/3+2\pi/3*k)
das Umrechnen der jeweiligen Formen ist in der tat für mich nach wie vor der Knackkpunkt
kartesisch- polar trigonometrisch hin und her und zurück da hapert es eben \quoteoff
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Beitrag \#0 ist ziemlich wirr geschrieben, aber ich vermute es geht darum:
Du hast 1+2i = sqrt(5) exp(i arctan(2)) =sqrt(5) (cos(arctan(2)) + i sin(arctan(2)))
und Du fragst Dich, wie man von der Polarform wieder auf die algebraische Form kommt.
Dazu braucht es sin(arctan(a))=a/sqrt(a^2+1) und
cos(arctan(a))=1/sqrt(a^2+1).
Siehe z.B. hier.
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marathon
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-02
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ja aber es ist doch ein z^3 mus ich da nicht noch die 3te wurzel aus r ziehen und oben den Winkel durch 3 Teilen also versuche mich strukturierter zu äußern es geht um
z^3 ( hoch 3) = 1+2i
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z^3 =1 +2i und die Lösung in der kartesischen Form ich berechne zuerst den Radius
sqrt(1^2 +2^2)=sqrt(5) gut dann heißt dies ja
z=sqrt(5)^(1/3)*e^(((tan(2))/3+2\pi/3*k)
wenn du Wario mir sagen könntest was daran wirr sein soll????!!! verstehe ich nicht !!!!
und es geht also um komplexe Potenzen hatte noch eine analoge Aufgabe wo es dann Z^12 hieß und dies dann wieder in der kartesischen Form ausgedrückt!!
also bleibt für mich nach wie vor die Frage wie ich das hoch 3 bei Z richtig auflöse der Radius wird dann ja
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sqrt(5)^(1/3)
und der winkel arctan(c)/3 rechne ich da eigentlich mit Rad weiter
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lula
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-02
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Hallo
Du rechnest Winkel eigentlich immer in Rad (hier ist es aber egal allerdings musst du dann auch 2\pi durch 360° ersetzen )
du hast überall i im Exponenten weggelassen und wenn du die dritte Wurzel suchst hast du ja
ausser dem Winkel tan(2)/3 noch tan(2)/3+2\pi/3 und tan(2)/3+4\pi/3
uns e^(i a)=cos(a)+isin(a) weisst du ja.
bei der 12 ten Wurzel entsprechend ausser a= Winkel/12 noch 11 weitere Winkel mit a+ k*2\pi/12 mit k von 1 bis 11
lula
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marathon
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-02
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wie immer nimmt meine Verblödung von Tag zu Tag zu grauenvolle
Demenzschübe ich kriege das nicht hin!!!!! das Ergebnis soll sein
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/43568_Screenshot_2023-02-02_23.21.02.png
gut in meiner kollosalten Verblödunng hane ich zuerst den Wert für
\
qrt(5)^(1/3)ausgerechnet
ergab bei mir 1.307
dann der Tan für 2 in rad ausgerechnet=-2.185 diesen wert dann durch 3 geteilt
ergibt -0.72 daraus wieder der cos(-o.72) ergibt 0.75*1.307(der Wurzelwert
vom Anfang aber das Ergebnis 0.98 passt nicht es sollen ja 1.21 herauskommern stimmt nicht wo ist mein hirnrissigster Fehler need help!!!!!!!
ich weiß ich bin schon quasi eine Art Extremwertherasuforderungsaufgabe
für jede Form von Geduld
danke im Vorrasu für jede Form von Nachsicht
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rlk
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-02-02
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Hallo marathon,
das Argument von $z^3$ hat den Wert $\arctan\left(\frac{2}{1}\right)$, wie Wario schon in Beitrag 1 geschrieben hat. Du rechnest aber stattdessen mit $\tan\left(\frac{2}{1}\right)$.
Servus,
Roland
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marathon
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-06
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Hallo habe nun zuerst den Weg eingeschlagen den winkel des Tan über deg
auszzurechnen siehe auch eingefügtes Bildelement ergab 63,4°
danach die 63,4° geteilt durch 3 das die 3te Wurzel in den Cosinus
ergab 0,932 und dann mal
\
5^(1/6) und hier stimmt das Ergebnis mit den 1.21 mit der vorgegebenen
Lösung sogar überein
und für den sin einfach nur cos mit sin austauschen auch hier das Gewünschte
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/43568_Screenshot_2023-02-06_22.53.52.png
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/43568_Screenshot_2023-02-06_22.49.03.png
aber mit der rad variante hab ich es leider nicht gepackt i wonder why????
zusatzfrage wie ist eigentlich nochmal der genaue Zusammenhang zwischen degree und rad
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Caban
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 | Beitrag No.7, eingetragen 2023-02-06
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Hallo
Ein rad ist der Winkel, wenn der Bogen dieselbe Länge hat, wie der Radius.
r=2*\pi*r*1rad/360°
1rad=180°/\pi
Gruß caban
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Wario
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-02-11
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@marathon
Nochmal #0 usw. lesend vermute ich, Dein Problem ist das folgende:
Du hast die Polarform $
e^{i\frac{\arctan(2)}{3}}
=\cos\left( \frac{\arctan(2)}{3} \right)
+ i\sin\left( \frac{\arctan(2)}{3} \right)
=: p +iq
$
und fragst Dich, wie man die algebraische Form angibt, im Sinne von, dass man $p$ und $q$ als "verschachtelte Wurzelausdrücke" angibt, genauer als sogenannte "durch Radikale darstellbare algebraische Zahlen".
"Durch Radikale darstellbare algebraische Zahlen" sind erklärt als solche Zahlen, die entstehen aus rationalen Zahlen durch Verwendung der Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) sowie durch Ziehen $n$-ter Wurzeln (wobei $n$ eine natürliche Zahl ist).
Das ist aber im allgemeinen nicht möglich:
a) Im Gradmaß formuliert, ist $\sin(\alpha)$ bzw. $\cos(\alpha)$ eine durch Radikale darstellbare algebraische Zahl, wenn $\alpha$ ein Vielfaches von $3^\circ$ ist (was sich, wegen $
3^\circ \hat{=} \frac{\pi}{60},
$ bei Bedarf auch für das Bogenmaß formulieren lässt). Beispiel: $\cos(36^\circ)
=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}.$
b) Dazu kommen solche Werte $\alpha$, für die sich $\sin(\alpha)$ bzw. $\cos(\alpha)$ mit Hilfe von der unter a) genannten $3^\circ$-Vielfachen und Heranziehung trigonometrischer Identitäten darstellen lässt.
Beispiel 1:
$
\begin{array}{l l}
\sin\left( \frac{\pi}{8} \right)
&=\sin(22.5^\circ)
=\sin\left( \frac{45^\circ}{2} \right)
=\sqrt{ \dfrac{1-\cos(45^\circ)}{2} } \\
&=\sqrt{ \dfrac{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2} }
=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.
\end{array}$
Beispiel 2:
$
\begin{array}{l l}
\cos\left( \frac{2\pi}{15} \right)
&=\cos(24^\circ) =\cos(60^\circ-36^\circ)
= \cos(60^\circ)\cos(36^\circ) + \sin(60^\circ)\sin(36^\circ) \\
&= \dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}
= \dfrac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}
\end{array}$
c) Allgemeiner lassen sich $\sin(\alpha)$ und $\cos(\alpha)$
als durch Radikale darstellbare algebraische Zahlen angeben, wenn $\alpha$
mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
Dazu muss $\alpha$ die Form $
\alpha =\dfrac{2\pi}{n}
$ haben; wobei $n$ den Aufbau
$n=2^k$ oder $
n=2^k\, p_0\, p_1\, p_2\, \dots\, p_m
$ hat;
worin $k\in\mathbb{N_{\geq 0}}$ ist und $
p_0,~ p_1,~ p_2,~ \dots, p_m
$ paarweise verschiedene Fermatsche Primzahlen sein müssen, also den Aufbau $
p_s~\text{prim},~~ p_s=2^{2^s}+1, ~~s\in\mathbb{N_{\geq 0}}
$ haben (das heißt $
p_s = 3,~ 5,~ 17,~ 257,~ 65537,~\overset{(?)}{\dots}
$).
Beispiel 1: So zeigte Gauß für $p_2 =17=2^{2^2}+1$ und $
n=2^0 \cdot 17 = 17$, dass
$
\cos\left( \frac{2\pi}{n} \right)
=\cos\left( \frac{2\pi}{17} \right)
=\dfrac{-1+\sqrt{17} +\sqrt{34-2\sqrt{17}} +2\sqrt{17+3\sqrt{17} - \sqrt{170+38\sqrt{17}}}}{16}
$
eine durch Radikale darstellbare algebraische Zahl ist.
Beispiel 2:
$\cos\left( \frac{\pi}{64} \right)
=\cos\left( \frac{2\pi}{128} \right)
=\cos\left( \frac{2\pi}{2^7} \right)
=\frac12 \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}.$
Somit kannst Du $
\cos\left( \frac{\arctan(2)}{3} \right)
$ bzw. $
\sin\left( \frac{\arctan(2)}{3} \right)
$ nur so stehen lassen oder eventuell als (beliebig genauen) Näherungswert angeben.
Quellen:
[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Zahl
[2] https://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrische_Konstante_ausgedr%C3%BCckt_in_reellen_Radikalen
[3] https://de.sci.mathematik.narkive.com/YrNMo6cE/algebraische-funktionswerte-der-sinusfunktion
[4] https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=66727&post_id=493191
[5] https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=87405&start=0&lps=641432#v641432
[6] https://en.wikipedia.org/wiki/Exact_trigonometric_values
[7] https://de.wikipedia.org/wiki/Konstruierbares_Polygon
[8] https://de.wikipedia.org/wiki/Fermat-Zahl#Fermatsche_Primzahlen
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marathon
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-01 19:20
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ja hallo muss hier gleich zuerst wieder semper idem eine intergalaktisch umfangreiche Entschuldigung an alle beteiligten hilfreichen Geister vorausschicken hatte doch damals liegt aber auch schon wieder mehr als 2 Monate zurück die Aufgabe gepostet wo es darum ging die Lösung der komplexen
Gleichung wieder in karthesischer Form anzugeben
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Dazu braucht es sin(arctan(a))=a/sqrt(a^2+1) und
cos(arctan(a))=1/sqrt(a^2+1).
ich hatte mich damals ja quasi zum Ergebnis hin gemogelt
Dazu braucht es sin(arctan(a))=a/sqrt(a^2+1) und
cos(arctan(a))=1/sqrt(a^2+1). in der Aufgabe gegeben war ja
5^(1/6)*e^tan(2)
super idiotisch gefragt wie komme ich nun auf den a wert damit ich dann mit dem
vorgeschlagenen sin(arctan(a))=a/sqrt(a^2+1) rechnen kann zugegebenermassen
super peinlich meine Begriffsstutzigkeit.sorry nochmals also erst vom sinus rüber zum arctang aber was gebe ich wie in Rechner ein.....wenn jemand mit phantastisch sozialem Impetus mir antworten wollte ich weiß dies wurde eigentlich schon damals durchexerziert daher 10000 Dank im Vorraus!!!!
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Caban
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| Beitrag No.10, eingetragen 2023-05-02 10:13
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Hallo
a ist hier 2. Du solltest dich aber auch mit Additionstheoremen und den Gesetzen für Winkelfunktionen von Winkelteilen auseinandersetzen.
Gruß caban
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-03 00:26
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gut in meiner progressive Gehirnparalyse rechne ich also Stichwort
6 setzen
2/sqrt(2^2+1) =0.89 dann mal 1/3 da die dritte Wurzel und dann mal
Betrag hoch 1/3 also 5^(1/6)*0.89/3=
ergibt 0.389 für den sinus wert aber nicht das vorgesehene 0.47
sorry ich bräuche jemanden der mich quasi gesegnet mit unvorstellbarster Herzensgüte durch diese geistige Totalfauxpass-Stelle herausführt
habe mich hier anscheinend total im Labyrint meiner geistigen Flach-Fehlschlusse verirrt!!!! SOS
Danke für mögliche Rettungsversuche!!!!!
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Caban
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| Beitrag No.12, eingetragen 2023-05-03 10:22
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Hallo
Es gilt nicht sin(x/a)=sin(x)/a
Du musst zuerst x berechnen, dann x/a und erst dann den sin berechnen.
Gruß Caban
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