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| Autor |
  Impliziert stochastische Konvergenz schwache Konvergenz? |
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lattemacchiato
Aktiv 
Dabei seit: 09.11.2022
Mitteilungen: 43
 |  Themenstart: 2023-02-02
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Hey,
ich habe eine kurze Frage, zu dem zentralen Grenzwertsatz nach Lindeberg-Feller. Wie kann man damit nachweisen, dass schwache Konvergenz vorliegt, beziehungsweise wie hängt das zusammen?
Meine Erklärungsidee ist, dass dadurch, dass stochastische Konvergenz auch Verteilungskonvergenz impliziert, man dadurch schlussfolgern kann, dass auch schwache Konvergenz gegeben ist.
Ich bin auf diese Frage aufgrund dieser Aufgabe gekommen:
Aufgabe: Sei \( \left(X_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}} \) eine Folge unabhängig, identisch verteilter Zufallsvariablen, die gleichmäßig beschränkt sind, d.h. es existiert ein \( K \in \mathbb{R} \) mit \( \left|X_{i}\right| \leq K \) für alle \( i \in \mathbb{N} \). Ferner sei \( c:=\mathbb{E}\left[X_{1}^{2}\right] \in(0, \infty) \). Zudem sei eine weitere Folge von unabhängigen Zufallsvariablen \( \left(Y_{j}\right)_{j \in \mathbb{N}} \) gegeben, die von den \( \left(X_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}} \) unabhängig sind, und sodass für alle \( j \in \mathbb{N} \) gilt:
$$Y_{j} \sim \frac{1}{2 j} \delta_{\{-1\}}+\left(1-\frac{1}{j}\right) \delta_{\{0\}}+\frac{1}{2 j} \delta_{\{1\}} $$
(a-c)...
d)Begründen Sie, dass
$$\frac{1}{d_{n}} \sum \limits_{i=1}^{n} X_{i} Y_{i}$$
mit \( d_{n}=\left(\sum \limits_{i=1}^{n} 1 / i\right)^{1 / 2} \) in Verteilung für \( n \rightarrow \infty \) gegen eine reelle Zufallsvariable \( Y \) konvergiert, und geben Sie die Verteilung von \( Y \) an.
Lösung:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55942_Bildschirmfoto_2023-02-02_um_16.35.06.png
(in c) haben wir lediglich gezeigt, dass die Lindeberg Bedingung erfüllt ist)
Ich wäre super dankbar, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte.
LG
llattemacchiato
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lattemacchiato
Aktiv 
Dabei seit: 09.11.2022
Mitteilungen: 43
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-03
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Hey nochmal, ich weiß, dass es vielleicht nervig ist, aber ich wollte das Thema nochmal hochpushen, weil es mich ehrlich gesagt immer noch beschäftigt.😁
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semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 445
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-02-03
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Moin lattemacchiato,
\quoteon(2023-02-02 17:41 - lattemacchiato im Themenstart)
Hey,
ich habe eine kurze Frage, zu dem zentralen Grenzwertsatz nach Lindeberg-Feller. Wie kann man damit nachweisen, dass schwache Konvergenz vorliegt, beziehungsweise wie hängt das zusammen?
Meine Erklärungsidee ist, dass dadurch, dass stochastische Konvergenz auch Verteilungskonvergenz impliziert, man dadurch schlussfolgern kann, dass auch schwache Konvergenz gegeben ist.
\quoteoff
Verteilungskonvergenz und schwache Konvergenz sind synonymial in der Wahrscheinlichkeitstheorie und es ist diese Konvergenzart, die aus dem ZGWS von Lindeberg-Feller bei Erfülltheit der Lindeberg-Bedingung folgt, und nicht etwa die stochastische Konvergenz (auch Konvergenz in Wahrscheinlichkeit genannt), siehe etwa hier
Die erste Konvergenzaussage in der Lösung zu (d) folgt also aus den in der Zeile darüber angegebenen Gründen. Die zweite Konvergenzaussage folgt dann aus den Transformationseigenschaften der Normalverteilung in Verbindung mit z.B. dem CMT (siehe etwa hier).
LG,
semasch
PS: Unabhängig von dem Obigen lautet die Antwort auf deine Frage im Titel des Threads übrigens "Ja", siehe etwa hier.
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lattemacchiato
Aktiv
Dabei seit: 09.11.2022
Mitteilungen: 43
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-06
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Vielen lieben Dank @semasch. Das hat alle meine Fragen zu dem Thread beantwortet
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lattemacchiato hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
lattemacchiato hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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