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| Autor |
 Bestimmung der Basis von V+W |
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spikespiegel43
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Mitteilungen: 43
 |  Themenstart: 2023-02-02
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Hallo,
ich versuche von zwei Basen V und W, die Basis für \(V+W \) zu berechnen.
Seien \( V = \Biggl \langle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \Biggl \rangle \)
und \( W = \Biggl \langle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \Biggl \rangle \)
Jetzt möchte ich die Basis von V+W berechnen. Also überlege ich mir die Basis von \( V \cap W = \Biggl \langle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Biggl \rangle \)
Nach Dimensionssatz muss die Matrix für \(V + W = 4\) sein.
Also streiche ich die Matrix \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) und erhalte als Basis für
\(V + W = \Biggl \langle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \Biggl \rangle \)
Meine Frage: Ist das Ergebnis so richtig? Und kann ich im Allgemeinen für die Basis von \( V + W \) diejenigen Vektoren weglassen, welche in der Basis von \(V \cap W \) enthalten sind?
Diese müsste ich dann ja eigentlich immer weglassen können wegen Redundanz?
Liebe Grüße
spike
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-02
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
wenn ich nichts übersehe, ist deine Vorgehensweise hier korrekt. Das Resultat jedenfalls ist richtig.
Die Methode funktioniert hier ja aber auch nur deshalb so schön, weil es ja ins Auge springt, welcher Basisvektor hier im Schnitt liegt (und auch, auf welche das nicht zutrifft).
Eine allgemeingültigere Methode wäre es, die Basisvektoren entweder direkt zu einer Matrix zusammenzufassen (wenn es Zeilen- oder Spaltenvektoren sind) oder hier die einzelnen Basisvektoren als Zeilen- oder Spaltenvektoren umzuschreiben und dann auf die so erhaltene Matrix elementare Zeilen- bzw. Spaltenumformungen loszulassen, um auf Treppenstufenform zu kommen.
Wenn du bspw. mit Zeilenvektoren arbeitest, dann sind danach alle Zeilen der umgeformten Matrix, die keine Nullzeilen sind, Basisvektoren der Summe.
Da kommt aber natürlich in diesem Fall genau dein Resultat heraus, weil du mit deiner Argumentation vom Prinzip her ja auch nichts anderes machst.
---
Eine noch allgemeinere Vorgehensweise ist der sog. Zassenhaus-Algorithmus, der praktischerweise Basen von \(V+W\) sowie \(V\cap W\) gleichzeitig zurückliefert.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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spikespiegel43
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-03
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\quoteon(2023-02-02 22:51 - Diophant in Beitrag No. 1)
Hallo,
wenn ich nichts übersehe, ist deine Vorgehensweise hier korrekt. Das Resultat jedenfalls ist richtig.
Die Methode funktioniert hier ja aber auch nur deshalb so schön, weil es ja ins Auge springt, welcher Basisvektor hier im Schnitt liegt (und auch, auf welche das nicht zutrifft).
Eine allgemeingültigere Methode wäre es, die Basisvektoren entweder direkt zu einer Matrix zusammenzufassen (wenn es Zeilen- oder Spaltenvektoren sind) oder hier die einzelnen Basisvektoren als Zeilen- oder Spaltenvektoren umzuschreiben und dann auf die so erhaltene Matrix elementare Zeilen- bzw. Spaltenumformungen loszulassen, um auf Treppenstufenform zu kommen.
Wenn du bspw. mit Zeilenvektoren arbeitest, dann sind danach alle Zeilen der umgeformten Matrix, die keine Nullzeilen sind, Basisvektoren der Summe.
Da kommt aber natürlich in diesem Fall genau dein Resultat heraus, weil du mit deiner Argumentation vom Prinzip her ja auch nichts anderes machst.
---
Eine noch allgemeinere Vorgehensweise ist der sog. Zassenhaus-Algorithmus, der praktischerweise Basen von \(V+W\) sowie \(V\cap W\) gleichzeitig zurückliefert.
Gruß, Diophant
\quoteoff
Hallo,
hast du vlt. für die allgemeingültige Variante eine Website mit Beispielrechnung?
Gruß
spike
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-03
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\quoteon(2023-02-03 13:03 - spikespiegel43 in Beitrag No. 2)
hast du vlt. für die allgemeingültige Variante eine Website mit Beispielrechnung?
\quoteoff
Wozu soll das gut sein? Letztendlich geht es auch bei diesem Verfahren einfach nur um die Umformung einer Matrix auf Treppenform. Und das kann man genausogut mit wolframalpha oder vergleichbaren Tools machen.
Falls du es in Sachen Klausur benötigst, dann ist sicherlich der Zassenhaus-Algorithmus nicht das Mittel der Wahl (es sei denn, er wurde bei euch eingeführt und durchgenommen).
Gruß, Diophant
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spikespiegel43
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-03
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\quoteon(2023-02-03 15:37 - Diophant in Beitrag No. 3)
\quoteon(2023-02-03 13:03 - spikespiegel43 in Beitrag No. 2)
hast du vlt. für die allgemeingültige Variante eine Website mit Beispielrechnung?
\quoteoff
Wozu soll das gut sein? Letztendlich geht es auch bei diesem Verfahren einfach nur um die Umformung einer Matrix auf Treppenform. Und das kann man genausogut mit wolframalpha oder vergleichbaren Tools machen.
Falls du es in Sachen Klausur benötigst, dann ist sicherlich der Zassenhaus-Algorithmus nicht das Mittel der Wahl (es sei denn, er wurde bei euch eingeführt und durchgenommen).
Gruß, Diophant
\quoteoff
Dann hätte ich noch eine Nachfrage: Wenn die Matrix Rang = 2 = dim(Bild(f) = 2 hat. Warum darf ich dann einen beliebigen Spaltenvektor wählen? Warum ist der dann linear unabhängig und warum bildet dieser dann ein Erzeugendensystem?
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-02-03
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\quoteon(2023-02-03 15:54 - spikespiegel43 in Beitrag No. 4)
Dann hätte ich noch eine Nachfrage: Wenn die Matrix Rang = 2 = dim(Bild(f) = 2 hat. Warum darf ich dann einen beliebigen Spaltenvektor wählen? Warum ist der dann linear unabhängig und warum bildet dieser dann ein Erzeugendensystem?
\quoteoff
Hier verstehe ich dein Anliegen nicht, und damit auch nicht den Bezug zur Ausgangsfrage.
(Ein vom Nullvektor verschiedener Vektor ist für sich allein betrachtet immer linear unabhängig. Warum, das sagt dir die Definition der linearen Unabhängigkeit...)
Gruß, Diophant
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