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Lineare Algebra » Determinanten » Große Determinanten bei beschränkten Einträgen
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Kein bestimmter Bereich J Große Determinanten bei beschränkten Einträgen
Goswin
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  Themenstart: 2023-02-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\NN}{\mathbb{N}} \newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\x}{\!\!\times\!\!} \newcommand{\and}{\wedge} \newcommand{\or}{\vee} \newcommand{\+}{\!+\!} \newcommand{\-}{\!-\!} \newcommand{\=}{\stackrel{\scriptscriptstyle\rm def}{=}}\) Welches ist wohl der größtmögliche Wert von \(\det(A)\) für vorgegebenes \(s\!\in\!\mathbb{N}\) und Matrizen \[ A ~\in~ \big\{\, [a_{ij}]\in\mathbb{R}_{nn} ~~|~~ \forall~i,j~~ |a_{ij}|\le s \,\big\} \] Offenbar gilt \[ n=2 ~~\Longrightarrow~~ \det(A) = 2\,s^n\\ n=3 ~~\Longrightarrow~~ 4\,s^n \le\det(A)\le \lfloor 3^{3/2}\rfloor\,s^n = 5\,s^n\\ n=4 ~~\Longrightarrow~~ \det(A) = 16\,s^n\\ n=5 ~~\Longrightarrow~~ 48\,s^n \le\det(A)\le \lfloor 5^{5/2}\rfloor\,s^n = 55\,s^n\\ \] mit Matrizen wie \[A=\begin{pmatrix} s & s & s & -s \\ -s & s & s & s \\ s & -s & s & s \\ s & s & -s & s \\ \end{pmatrix}.\] Anscheinend gilt für \(n\!=\!3\) auch \(\det(A)\!=\!4 s^n\), aber kann man das beweisen?\(\endgroup\)

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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-04

Es sei $s \neq 0$. Dann kann man offenbar $s=1$ annehmen (teile alle Einträge durch $s$ und benutze die Multilinearität der Determinante). Dann geht es also um die Menge der reellen $n \times n$-Matrizen, deren Einträge durch $1$ beschränkt sind. Eine obere Schranke für die Determinanten ist $n^{n/2}$. Wenn ich das richtig verstehe, ist es eine offene Vermutung, dass es das Maximum ist. Quellen: - https://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard%27s_inequality - https://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard_matrix

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