| |
| Autor |
 Problem mit Mengenschreibweise in ZFC |
|
carlox
Aktiv 
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1504
 |  Themenstart: 2023-02-04
|
Hallo allerseits,
Bem: $\overset nx$ ist eine Abkürzung für $x_1, ..., x_n$
Im Buch "Einführung in die Mengenlehre" (Ebbinghaus 4. Auflage) habe ich Probleme mit der Schreibweise von Mengen:
1)
Dort steht auf S. 27:
------
Zu allen $x_1, …, x_n$ und allen x gibt es genau ein y, das gerade diejenigen Elemente von x enthält für die $\phi(z,\overset nx)$ gilt.
Für dieses den Mengen $x_1, …, x_n, x$ eindeutig zugeordnete y wollen wir in Zukunft
$\{z \in x \mid \phi(z,\overset nx)\}$
schreiben.
------
Meiner Meinung nach ist $\{z \in x \mid \phi(z,\overset nx)\}$ aber eine Abkürzung für ein neues (definitorische Erweiterung) n+1-stelliges Operatorsymbol (Funktionssymbol) , das man z.B. so definieren könnte:
$\{\}_{\phi(z,\overset nx)}$
bzw. angewendet auf $x_1, …, x_n, x$ ergibt das dann:
$\{\}_{\phi(z,\overset nx)}(x_1, …, x_n, x)$
Ist diese Überlegung richtig?
2)
Im Buch „Einführung in die mathematische Logik“ Ebbinghaus, Flum, Thomas 5. Auflage wird nun auf S. 135 beschrieben, wie man so ein Funktionssymbol einführt: ("funktionler Ausdruck" wurde durch mich ergänzt):
------
Sei S eine Menge von S-Sätzen. \\
Ist $f \not \in S$ ein n-stelliges Funktionensymbol, und $\phi_f(v_0, ..., v_n)$ ein S-Ausdruck, so ist:\\
$\forall v_0, ..., v_n (fv_0, ..., v_{n-1} \equiv v_n \leftrightarrow \phi_f(v_0, ..., v_n))$ \\
eine S-Definition von f in $\phi$, sofern $\phi_f(v_0, ..., v_n)$ ein funktionaler Ausruck ist, d.h. es gelten muss:\\
$\phi \models \forall v_0, ..., \forall v_{n-1}\exists | v_n \phi_f(v_0, ..., v_n)$
------
Angewendet auf das Funktionssymbol $\{\}_{\phi(z,\overset nx)}(x_1, …, x_n, x)$ ergibt das: [setze $\phi_f := \forall z \; (z \in y \leftrightarrow z \in x \land \phi(z,\overset nx))$]
$\forall x_1 … \forall x_n \forall x \;(\{\}_{\phi(z,\overset nx)}(x_1, …, x_n, x) \equiv y \quad .\leftrightarrow. \quad \forall z \; (z \in y \leftrightarrow z \in x \land \phi(z,\overset nx)))$
$\phi f$ ist ein funktionaler Ausdruck ist, denn es gilt nach dem Aussonderungsaxiom (AUS):
$ZFC \vdash \forall x_1 … \forall x_n \forall x \exists y \forall z \; (z \in y \leftrightarrow z \in x \land \phi(z,\overset nx))$
Sind meine Überlegung richtig?
Bemerkung:
Was mich stört ist, dass in
$\{\}_{\phi(z,\overset nx)}(x_1, …, x_n, x)$
einmal $\overset nx$ als Argument und gleichzeitig auch als Parameter (im Index) vorkommt.
mfg
cx
|
 Profil
|
| carlox wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
