| Autor |
 Laurentreihe der Funktion 1/(z+4) |
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TheBibiaon
Junior 
Dabei seit: 04.02.2023
Mitteilungen: 17
 |  Themenstart: 2023-02-04
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Guten Abend miteinander
Ich komme bei folgender Aufgabe leider nicht weiter:
Der Koeffizient $c_{-2}$ in der Laurent-Reihe der Funktion: $$f(z):= \frac{1}{z+4}$$
auf dem Gebiet $|z-2| > 6$ ist?
Die Lösung ist $$-6$$.
Ich habe soweit die Reihe entwickelt wie folgt:
$$\frac{1}{z+4} = \frac{1}{1+\frac{8}{(z-4)}} = \frac{1}{z-4} * \sum_{n = 0}^{+\infty}\frac{(-1)^n8^n}{(z-4)^n} = \sum_{n = 0}^{+\infty}\frac{(-1)^n8^n}{(z-4)^{n+1}}$$
Bin ich da auf dem richtigen Weg?
LG TheBibiaon
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
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Wohnort: Köln
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-04
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Hallo,
was ist überhaupt die Aufgabe?
LG Nico
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TheBibiaon
Junior
Dabei seit: 04.02.2023
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-04
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Hallo Nico.
Sorry, da ging wohl ein Teil des Satzes verloren..
Habe den Original-Post ergänzt.
LG
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-05
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
ich nehme zudem an, dass es um die Laurent-Reihe von $f$ im Entwicklungspunkt $z_0=2$ geht.
Dann würde sich zum Beispiel auch die Definition der Koeffizienten anbieten. Konkret haben wir
$$
c_{-2}=\frac{1}{2\pi\i}\oint_\gamma \frac{f(z)}{(z-2)^{-2+1}}\dd z=\frac{1}{2\pi\i}\oint_\gamma \frac{z-2}{z+4}\dd z,
$$
wobei $\gamma$ eine geschlossene Kurve ist, die in ihrem Inneren den Punkt $z_0=2$ enthält und im Definitionsbereich von $f$ verläuft. Das letzte Integral ist nun ein Fall für die Cauchy-Integralformel.
LG Nico\(\endgroup\)
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Wauzi
Senior 
Dabei seit: 03.06.2004
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Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-02-05
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Hallo,
ich frage mich, wie Du auf diese Rechnung kommst:
1/(z+4)=1/(1+8/(z-4))
Gruß Wauzi
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TheBibiaon
Junior 
Dabei seit: 04.02.2023
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-06
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Hallo
Danke für die Antworten.
Der Entwicklungspunkt ist nicht vorgegeben. Die Aufgabenstellung gibt mir nicht mehr an, als ich im Originalpost notiert habe.
Wenn ich nun die Cauchy Integral Formel auf das letzte Integral anwende erhalte ich folgendes:
mit $n = -2$ und $f(z_{0}) = f(2) = \frac{1}{(2+4)}$
$$ f(z_{0})\frac{2\pi i}{n!} = f(2)\frac{2\pi i}{-2!} = \frac{1}{(2+4)}*-\pi i $$
Die korrekte Lösung sollte jedoch $-6$ sein.🤔
LG Bibi
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2643
Wohnort: Köln
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-02-06
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
es gibt aber nicht "die" Laurent-Reihe. Man kann immer nur (wie bei den Taylor-Reihen auch) von der Laurent-Reihe bezüglich einem Entwicklungspunkt sprechen. Da wir $f$ im Gebiet $|z-2|>6$ betrachten, gehe ich stark davon aus, dass man hier die Laurent-Reihe von $f$ bezüglich dem Punkt $2$ betrachtet (dann kommt auch das richtige Ergebnis heraus😉).
Betrachten wir $g(z):=z-2$, so erhalten wir also
$$
\frac{1}{2\pi\i}\oint_\gamma \frac{z-2}{z+4}\dd z=\frac{1}{2\pi\i}\oint_\gamma \frac{g(z)}{z-(-4)}\dd z=g(-4)=-4-2=-6.
$$
LG Nico\(\endgroup\)
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TheBibiaon
Junior
Dabei seit: 04.02.2023
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-06
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Hallo Nico,
jetzt hab ichs!
Vielen Dank👍
LG Bibi
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11655
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-02-06
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Hallo,
ich bin ja ein Anhänger einfacher Lösungswege, deshalb der von mir bevorzugte Ansatz über die geometrische Reihe.
(ist natürlich nicht so schön wie der Vorschlag von nzimme10)
Der Entwicklungspunkt z=2 ist wegen abs(z-2)>6 klar.
1/(z+4)=1/(6+(z-2))=1/(z-2)*1/(6/(z-2)+1)=1/(z-2)*1/(1-(-6/(z-2))
z-2 in den Nenner, weil der "z-Teil" betragsmäßig kleiner 1 sein muß
=1/(z-2)*sum((-6/(z-2))^n,n=0,\inf )=sum((-6)^n/(z-2)^(n+1),n=0,\inf )
=sum((-6)^(n-1)/(z-2)^n,n=1,\inf )=sum((-1/6)^(n+1)*(z-2)^n,n=-1,-\inf )
Gruß Wauzi
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