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| Autor |
  Wegintegral |
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TheBibiaon
Junior 
Dabei seit: 04.02.2023
Mitteilungen: 17
 |  Themenstart: 2023-02-04
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Guten Abend miteinander.
Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Sei $$\gamma(t):= \pi e^{2\pi it},\ t \in [0,1] $$
Der Wert des Integrals $$ \frac{1}{\pi i} \int_{\gamma} \frac{sin^2(z)}{(z-\frac{\pi}{3})^3}dz $$
ist.
Die Lösung ist $$ -1 $$
Ich denke da an den Residuensatz oder Contour integration, erhalte jedoch jedes mal 0 als Lösung. 🤔
Jemand eine Idee was ich falsch mache?
LG TheBibiaon
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2623
Wohnort: Köln
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-04
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
überlege dir, dass
$$
\int_\gamma\frac{\sin^2(z)}{(z-\tfrac \pi 3)^3}\dd z=\int\limits_{\partial B_r(\pi/3)}\frac{\sin^2(z)}{(z-\tfrac \pi 3)^{2+1}}\dd z
$$
für ein geeignetes $r>0$ gilt. Anschließend sollte die Cauchy-Integralformel zum Ziel führen.
\quoteon(2023-02-04 18:56 - TheBibiaon im Themenstart)
Jemand eine Idee was ich falsch mache?
\quoteoff
Wenn du deinen Lösungsweg nicht mit uns teilst, dann eher nicht.
LG Nico\(\endgroup\)
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TheBibiaon
Junior
Dabei seit: 04.02.2023
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-06
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Hallo Nico
Vielen Dank für den Tipp! Ich denke ich habs korrekt hinbekommen:
Die Cauchy Integral Formel ist wie folgt definiert:
$$f^{n}(z_{0}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz $$
Umgeformt erhalte ich dann:
$$ f^{n}(z_{0})\frac{2\pi i}{n!} = \int_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz $$
Aus deinem Hinweis sehe ich, dass n = 2.
Ich wähle $f(z) = sin^2(z)$.
Und bestimme die 2. Ableitung von $f(z)$
$$f^{1} = 2cos(z)sin(z)$$
$$f^{2} = -2(sin^2(z)-cos^2(z))$$
Eingesetzt ergibt das:
$$ f^{n}(z_{0})\frac{2\pi i}{n!} = -2(sin^2(\frac{\pi}{3})-cos^2(\frac{\pi}{3}))\frac{2\pi i}{2} == -2(\frac{3}{4} - \frac{1}{4})\pi i = -1\pi i = -\pi i$$
In unserer Ursprungsformel eingsetzt:
$$\frac{1}{\pi i}* -\pi i = -1$$
Vielen Dank für den Hinweis!
LG Bibi
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