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Analysis » Maßtheorie » f, g: IR -> IR monoton dann f - g Borel-messbar?
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Universität/Hochschule J f, g: IR -> IR monoton dann f - g Borel-messbar?
JamesNguyen
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 300
  Themenstart: 2023-02-04

Hallo, ich soll beweisen oder widerlegen. Seien $f,g:\IR\rightarrow\IR$ monoton. Dann ist die Funktion $f-g$ Borel-messbar. Ich komme da nicht weiter. Die Voraussetzung scheint mir zu schwach. Aber ich bin mir nicht sicher. Hat jemand einen Tipp für mich. Vielen Dank, James

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Lavendeltee
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 04.12.2022
Mitteilungen: 23
  Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-04

Hallo, weißt du bereits, dass Differenzen messbarer Funktionen messbar sind? In dem Fall genügt es zu zeigen, dass monotone Funktionen messbar sind. Überlege dir dazu, dass Urbilder von Intervallen Intervalle sind. Weshalb genügt das? Viele Grüße Lavendeltee

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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2000
  Beitrag No.2, eingetragen 2023-02-04

Hey JamesNguyen, Wenn du versuchen willst die Aussage zu beweisen oder zu widerlegen, solltest du dir zunächst einmal überlegen, ob es nicht reichen würde zu beweisen oder zu widerlegen, ob eine monotone Funktion Borel-messbar ist. Kannst du denn eine Aussage über \(f^{-1}(I)\) tätigen, wenn \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) monoton und \(I \subset \mathbb{R}\) ein Intervall ist? [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

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JamesNguyen
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 300
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-04

Vielen Dank Lavendeltee und Kampfnudel. Dass, das Urbild eines Intervalls unter einer monotonen Funktion ein Intervall ist hatten wir in Analysis 1 mal im Beweis der Stetigkeit von monotonen Funktionen. Damit bekommt man hier nun, dass das Urbild jedes Elements aus dem Mengenring der endlichen Intervallsummen in $\IR$ wieder ein Element aus diesem Mengenring ist. Da dieser Mengenring ein Erzeugenden-System der Borel-Algebra ist haben wir Messbarkeit der Funktion. Damit ist dann auch $f-g$ messbar.

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