| Autor |
  Fourierreihe |
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TheBibiaon
Junior 
Dabei seit: 04.02.2023
Mitteilungen: 17
 |  Themenstart: 2023-02-06
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Hallo miteinander
Ich habe folgende Aufgabe:
Sei $f(t):= |t| , \ t \in [-2, 2], \ 4periodisch$.
Finde den Koeffizienten $a_{3}$ der Fourier-Reihe:
$$\frac{1}{2}a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty}(a_{n}cos(\frac{n \pi}{L}t) + b_{n}sin(\frac{n \pi}{L}t))$$ der Funktion $f(t)$.
Die Lösung ist $\frac{-8}{9 \pi^2}$.
Kann mir jemand eine Starthilfe geben?
Danke und Gruss
Bibi
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PeterMeier123
Aktiv 
Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 193
|  Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-06
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Hallo,
wie ist $f(t)$ denn genau definiert? Meinst du vielleicht $f(t) = |t|$?
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TheBibiaon
Junior
Dabei seit: 04.02.2023
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-06
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Hallo Peter
Ja, genau. Sorry - da ging ein Betragsstrich verloren.
Habe den Beitrag angepasst.
LG
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PeterMeier123
Aktiv
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Mitteilungen: 193
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-06
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Gut! Dann wissen wir schon mal, dass die Funktion f(t) eine gerade Funktion ist. Damit wird es uns etwas leichter fallen die Fourier-Reihe zu berechnen, da die Komponenten $b_n$ hier wegfallen.
Ich würde jetzt den Ansatz einer T-periodischen Funktion für die Fourier-Reihe wählen, d.h. $a_0$ und $a_n$ berechnen, das sind hier im Wesentlichen Standard-Integrale die über die Periode $T$ gehen.
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TheBibiaon
Junior
Dabei seit: 04.02.2023
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-06
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Bin ich richtig wenn ich sage, dass die Funktion gerade ist, weil die Definition einer geraden Funktion: $f(-t) = f(t)$ und da wir den Betrag haben, ist dies erfüllt?
Was hat es dann mit dem "4-periodisch" auf sich - ist dies überhaupt relevant für die Aufgabe?
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PeterMeier123
Aktiv
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-02-06
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Also bei den Fourier-Reihen gibt es häufig eine Unterscheidungen in z.B. $2\pi$ periodische und T-periodische. Wichtig ist nur, dass man die Periode kennt und dann auch den richtigen Integral-Ansatz wählt.
Uns interessieren die $a_n$, diese lassen sich über den Ansatz:
$$a_n = \frac{1}{I}\int_{-I}^{I}f(t)\cdot \cos(\frac{n \pi t}{I}) dt$$
berechnen, wobei $I = 2$ aus dem Intervall $\left[-I,I\right]$ ist.
Damit haben wir jetzt, wenn ich das Integral mal berechne:
$$a_n = \dfrac{4{\pi}n\sin\left({\pi}n\right)+4\cos\left({\pi}n\right)}{{\pi}^2n^2}-\dfrac{4}{{\pi}^2n^2}$$
mit $n=3$ folgt $\frac{-8}{\pi^2 3^2}$
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TheBibiaon
Junior
Dabei seit: 04.02.2023
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-06
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Dann versuch ich das mal.
Für $a_{0}$:
$$a_{0} = \frac{1}{2 \pi} \int_{-L}^{L}f(t)cos(kt)dt$$
(es gilt: k = 0)
$$= \frac{1}{2 \pi} \int_{-2}^{2}f(t)cos(0)dt =$$
$$ \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2}|t|dt =$$
$$\frac{1}{\pi} \frac{t|t|}{2}=$$ (von 0 bis 2) $$ \frac{2}{\pi} = a_{0}$$
für $a_{k}$:
$$a_{k} = \frac{1}{2 \pi} \int_{-L}^{L}f(t)cos(kt)dt =$$
$$ \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2}f(t)cos(kt)dt=$$
$$\frac{1}{\pi}\dfrac{t\cdot\left(k\left|t\right|\sin\left(k\left|t\right|\right)+\cos\left(k\left|t\right|\right)-1\right)}{k^2\left|t\right|}
=$$
$$ \frac{1}{\pi} \dfrac{2k\sin\left(2k\right)+\cos\left(2k\right)-1}{k^2}
$$
Bin ich da auf dem richtigen Weg?
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PeterMeier123
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Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 193
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-02-06
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Du musst folgendes Integral (Ansatz: T-periodische Funktion):
$$a_n = \frac{1}{2}\int_{-2}^{2} |t|\cos(\frac{n\pi t}{2})\, dt $$
lösen.
PS: Die Antwort steht hier
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TheBibiaon
Junior
Dabei seit: 04.02.2023
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-06
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Jetzt hab ichs, danke!
Ist es richtig zu sagen, das I = "Der Abstand von 0 zu einer der Grenzen im Intervall" oder wie bestimme ich das korrekt?
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PeterMeier123
Aktiv
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Mitteilungen: 193
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-02-06
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Ja, das könnte man sagen.
Es gibt aber unterschiedliche Formeln dafür, das hängt immer davon ab wie das I bzw. das T bzw. das Intervall in der Literatur definiert sind. Am besten ist es hier bei den Formeln zu bleiben, die in eurer Vorlesung definiert worden sind.
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TheBibiaon
Junior
Dabei seit: 04.02.2023
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-07
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Hallo Peter
Vielen Dank für deine Hilfe!
Ich hätte noch eine Frage. Ich tue mich ein wenig schwer an der partiellen Integration dieser Aufgabe...
Es gilt ja: $\int f^{'}g = fg - \int fg^{'}$
$f(t) = |t|; \ f^{'}(t) = \frac{t}{|t|}; \ F(t) = \frac{t|t|}{2}$
$g(t) = cos(\frac{n \pi t}{L}); \ f^{'}(t) = -\frac{\pi nsin(\frac{\pi nt}{L})}{L}; \ F(t) = \frac{Lsin(\frac{\pi n t}{L})}{\pi n}$
Hast du einen Tipp?
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lula
Senior
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11464
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.11, eingetragen 2023-02-07
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Hallo
es ist sehr viel einfacher von -2 bis0 über -t*cos und von 0 bis 2 über t*cos zu integrieren als sich mit |t| zu plagen
Gruß lula
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TheBibiaon
Junior
Dabei seit: 04.02.2023
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-07
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Definitiv einfacher! Jetzt hats geklappt, vielen Dank.
LG
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