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| Autor |
 * Arithmetische Pushups am Morgen |
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DerEinfaeltige
Senior 
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 |  Themenstart: 2023-02-07
|
Gesucht ist eine Multimenge aus N natürlichen Zahlen, mit der sich eine möglichst lange Folge aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen (1,2,...,n) durch arithmetische Ausdrücke (Grundrechenarten und Klammern) darstellen lässt.
Bspw. kann man
für N = 2 mit [1,3] die Zahlen
1 = 1
2 = 3 - 1
3 = 3
4 = 1 + 3
darstellen,
für N = 3 mit [3,3,3] die Zahlen
1 = 3 : 3
2 = (3 + 3) : 3
3 = 3
4 = 3 + 3 : 3
darstellen und
mit [2,3,8] die Zahlen
1 = 3 - 2
2 = 2
3 = 3
4 = 8 : 2
5 = 2 + 3
6 = 2 * 3
7 = 2 + 8 - 3
8 = 8
9 = 8 + 3 - 2
10 = 2 + 8
11 = 3 + 8
12 = 8 : 2 * 3
13 = 2 + 3 + 8
14 = 2 * 3 + 8
darstellen.
Für gegebenes N ist die Länge der Folge zu maximieren.
Viel Spaß beim Knobeln!
Gute Funde dürfen natürlich hier im Thread voller Stolz präsentiert werden. :-)
PS.: Für N > 2 sind mir keine optimalen Lösungen bekannt.
Die reine Additions-/Subtraktionslösung aus übernächsten Fibonaccizahlen wird asymptotisch betrachtet mutmaßlich optimal sein.
Lokal ist sie im Allgemeinen nicht optimal, wie das Beispiel [2,3,8] -> (1,...,14) demonstriert, das besser ist als die "Triviallösung" [1,3,8] -> (1,...,12).
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Bei dieser Aufgabe kann ein öffentlicher Austausch über Lösungen, Lösungswege und Ansätze erfolgen. Hier musst Du keine private Nachricht schreiben! |
cramilu
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-07
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Für N=3 ist das 'schlankere' Set {2,3,7} 'stärker':
1 = 3 - 2 = 7 - (2×3)
2 = 7 - 3 - 2 = (7-3) / 2
3 = (7+2) / 3
4 = 7 - 3
5 = 3 + 2 = (7+3) / 2
6 = 7 + 2 - 3 = 2 × 3
7 = 7 × (3-2)
8 = 7 + 3 - 2 = 2 × (7-3)
9 = 7 + 2
10 = 7 + 3
11 = 2 × 7 - 3
12 = 7 + 3 + 2
13 = 2 × 3 + 7
14 = 2 × 7
15 = 3 × (7-2)
16 = 2^(7-3) = (7-3)^2 ; MIST
17 = 2 × 7 + 3
... und mit {2,3,10} schafft man sogar:
1 = 3 - 2
2 = 10 / (3+2)
3
4 = 10 - (3×2) = (10+2) / 3
5 = 3 + 2 = 10 / 2
6 = 3 × 2
7 = 10 - 3
8 = 10 - 2
9 = 10 + 2 - 3
10 = 10 / (3-2)
11 = 10 + 3 - 2
12 = 10 + 2
13 = 10 + 3
14 = 2 × (10-3)
15 = 10 × 3 / 2
16 = 10 + 3 × 2
17 = 10 × 2 - 3
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DerEinfaeltige
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-07
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Potenzen wollte ich eigentlich nicht erlauben.
Ist aber trotzdem eine Steigerung auf (1,...,15)! :-)
Edit: Und sogar noch etwas besseres hast du direkt ausgecramilut! :-D
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Kitaktus
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-07
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(10,3,2) wollte ich doch sagen, menno!
Dann werfe ich (30,16,3,2) in den Ring, mit denen man die Zahlen von 1 bis 54 darstellen kann.
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cramilu
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-02-07
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@Kitaktus: Nicht schlecht, Herr Specht! 😉
Ob OEIS - A001585 insgesamt das Problem beschreibt?
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querin
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-02-07
|
\quoteon(2023-02-07 12:57 - cramilu in Beitrag No. 4)
Ob OEIS - A001585 insgesamt das Problem beschreibt?
\quoteoff
das glaube ich nicht, denn mit (2,3,15,16) kann man die Zahlen von 1 bis 59 darstellen.
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Kitaktus
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-02-07
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Eine verbesserte Programmversion sagt, dass man
mit (33, 5,3,2) von 0 bis 79 kommt.
mit (60,14,3,2) von 1 bis 86 kommt.
Mit fünf Zahlen bin ich wahrscheinlich noch ein ganzes Stück vom Optimum entfernt.
Mit (28,11,10,9,3) kommt man von 0 bis 385.
Mit (22,15, 9,8,2) kommt man von 0 bis 393.
Mit (27,14,13,8,2) kommt man von 0 bis 408.
Das von Hand zu verifizieren ist schon mühsam.
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cramilu
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-02-07
|
@Kitaktus: Chapeau!
Dann eben OEIS - A056542 😉
So sollte man für \(n=5\) auf \(517\) kommen können; also stets
die Spanne des nächstkleineren optimalen Sets mit seiner um
\(2\) erhöhten Mächtigkeit malnehmen, und dann noch \(1\) dazu:
\(s_1=1\) ; \(s_{n+1}=1+(n+2)\cdot s_n\)
Im Herbeiphantasieren von Folgenfortsetzungen bin ich kreativ!
n = 3
n = 4
Intuitive Mutmaßungen für n=5:
Nehmen wir an, obige OEIS-Folge wiese zumindest grob die
Richtung... Dann sollte für \(n=5\) die größte Zahl im Set
ca. \(517×(1-\Phi))\approx323\) sein. Sie sollte mindestens \((n-1)\)
Primfaktoren aufweisen und dabei am besten mindestens
\((n-2)\) verschiedene. Infrage kämen dann 312, 315, 318,
322, 330 und 336. Die größte Zahl sollte etwas mehr als \(n\)
mal so groß sein wie die zweite. Mit dieser sollte sie sowohl
mindestens einen Primfaktor gemeinsam haben als auch sich
um mindestens einen von ihr unterscheiden. \(\{330,65,...\}\)
schiene mir hier eine gute Konstellation.
Die beiden kleinsten Zahlen sollten 2 und 3 oder 2 und 5
oder 3 und 5 sein. Blieben für die mittlere Zahl 'aus dem
Bauch heraus' 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21 oder 22 \(-\) die 21
brächte mit 7 einen 'neuen' Primfaktor mit...
@Kitaktus, wie 'weit' kommt man z.B. mit \(\{2,3,21,65,330\}\) ?
\(4=(330+2)/(65+21-3)\) ; \(8=(330-2)/(65-21-3)\) ...
Oder eben mit Sets, deren Elemente nahe an jenen liegen?
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Kitaktus
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-02-08
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\quoteon(2023-02-07 21:47 - cramilu in Beitrag No. 7)
@Kitaktus, wie 'weit' kommt man z.B. mit \(\{2,3,21,65,330\}\) ?
\(4=(330+2)/(65+21-3)\) ; \(8=(330-2)/(65-21-3)\) ...
Oder eben mit Sets, deren Elemente nahe an jenen liegen?
\quoteoff
Mein Rechner hat viel mehr Zeit zum Rechnen, als ich zum Programmieren und zum Nachsinnen über die Ergebnisse. Mein früherer Chef nannte das immer den 1+23-Modus -- eine Stunde menschliche Denkarbeit und dann macht der Rechner 23 Stunden das, was man sich ausgedacht hat.
Für n=4 habe ich im wesentlichen die Fälle abgesucht "größte Zahl bis 100 und zweitgrößte bis 20" und "alle Zahlen bis 60". Dazu noch die Annahmen "keine 0" und "keine zwei gleichen".
Für n=5 bin ich bisher nur im Bereich "größte Zahl bis 100 und zweitgrößte bis 20" unterwegs gewesen.
Das von Dir vorgeschlagene Beispiel scheitert bereits an der 75.
Ich habe davon ausgehend eine händische lokale Suche gestartet. Die Verbesserungsschritte waren
(210, 65, 21, 3, 2) womit man bis 281 kommt.
(210, 53, 21, 3, 2) womit man bis 305 kommt.
Das ist nicht ganz schlecht, aber eben 25% unter den besten bekannten Werten.
Eine automatisierte lokale Suche, könnte man mal programmieren, aber Fragen wie "findet das Programm überhaupt alle darstellbaren Zahlen", "lässt sich der Algorithmus beschleunigen", "würde das in einer performanten Programmiersprache nicht sowieso viel schneller gehen und "wen interessiert das überhaupt" stehen auch noch im Raum.
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Kitaktus
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-02-08
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Noch eine theoretische Anmerkung:
Wenn man mit dem Tupel $(c_1,\dots,c_k)$ die Zahlen von $1$ bis $N$ darstellen kann, dann kann man mit den Zahlen $(c_1,\dots,c_k, 2N+1)$ die Zahlen von $1$ bis $3N+1$ darstellen. Der darstellbare Bereich wächst also mindestens mit Faktor 3.
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cramilu
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| Beitrag No.10, eingetragen 2023-02-08
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Und schon sind wir beim CrossOver mit AnnaKaths https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=261542&start=0
Dort hatte ich bereits die bekannten Wägesets thematisiert,
also \(\{1,3\}\) , \(\{1,3,9\}\) , \(\{1,3,9,27\}\) usw. Da verdreifacht sich
auch jeweils der 'Wiegeraum'.
Außerdem sind viele 'perfect sets' beim »Countdown Number
Game« auch heiße Kandidaten für \(n=6\) ; \(\{2,3,4,5,6,75\}\) z.B.
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Kitaktus
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-02-09
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Ich denke, dass ich den gesamten Lösungsraum vom Countdown-Number-Game (erlaubt sind 6 Zahlen aus {1 ... 10, 25, 50, 75, 100}) durchsucht habe.
Meine beste Kombination ist (75, 25, 10, 8, 3, 2), die bis 1992 funktioniert.
Ohne diese Einschränkung hätte ich (19, 14, 12, 9, 8, 7) im Angebot, was 2266 liefert.
Nicht viel schlechter ist (88, 7, 6, 5, 4, 3) mit dem Wert 2223(*).
Wie man sieht, ist die Struktur guter Lösung nicht so klar, wie man hoffen könnte.
(*) Es kann sein, dass meine Werte in manchen Fällen um 1 zu hoch sind. Mein Programm zählt die Anzahl aufeinanderfolgender darstellbarer natürlicher Zahlen. Wenn die Folge mit 0 beginnt, ist das eine mehr. Ich versuche daran zu denken, das beim Schreiben hier im Faden immer anzugleichen.
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cramilu
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Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.12, eingetragen 2023-02-09
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Schön! \(\{2,3,8,10,25,75\}\) ist also beinahe 'double perfect'. 😉
Ich bin es noch einmal 'von unten her' angegangen... schau, schau:
n = 3
Dazu ist \(\{2,3,14,60\}\) für \(n=4\) eine reine 'Oben-Erweiterung'.
Aktuell überlege ich eher konstruktiv-intuitiv...
\showon
Wie erweitert man \(\{1\}\) für \(n=1\) ?
Klar: Nach oben. Die \(3\) ist offensichtlich, denn durch sie 'erschlägt'
man mit ihr selbst und ihren beiden Nachbarzahlen gleich \(3\) neue.
Jede größere Erweiterungszahl 'verdirbt' einem die \(2\).
Allerdings wäre selbige auch als Teiler gewinnbringend...
Wie erweitert man \(\{1,3\}\) für \(n=2\) ?
Durch schlichte 'Oben-Erweiterung' bremst man sich selber aus,
weil die \(1\) kein zusätzliches Teilerpotenzial hat, jedoch vielfältig
als Differenz anderer Zahlen dargestellt werden kann.
Also \(\{2,3,m\}\) . \(1=3-2\) ; so weit, so gut. Bloß \(2\) und \(3\) ergeben
eine 'Lücke' bei \(4\), sodass \(m\) selbige schließen muss:
\(4=(5+3)/2=6-2=7-3=8/2=9-3-2=10-3×2=...\)
\(...=(10+2)/3=(11-3)/2=12/3=(14-2)/3=14/2-3=...\)
\(...=18/3-2=20/(3+2)=24/(3×2)\)
Bei \(4+m-1\) wird Schluss sein, also sei \(m\) möglichst groß...
So hätte man 'von oben her' probieren können und wäre dann
für \(n=3\) bei obigem \(\{2,3,14\}\) gelandet. Wobei \(\{2,3,10\}\)
'schlanker' ist. Die Anschlussfrage wäre dann wohl, nach welchen
ähnlichen Überlegungen für \(n=4\) zu erweitern sein könnte, um
auf \(\{2,3,14,60\}\) oder ein ggf. gleichermaßen 'starkes' Set zu
kommen. Und entsprechend später für \(n>4\)...
\showoff
EDIT - Rückfrage beim Themenstarter:
Als Multimenge dürfte jedes 'set' auch Zahlen mehrfach enthalten?!
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tactac
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 | Beitrag No.13, eingetragen 2023-02-10
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Mit (19,16,12,9,2) kommt man bis 418.
Und mit (21,19,15,10,2) bis 420.
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tactac
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| Beitrag No.14, eingetragen 2023-02-10
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
\quoteon(2023-02-07 14:22 - Kitaktus in Beitrag No. 6)
Mit (27,14,13,8,2) kommt man von 0 bis 408.
\quoteoff
Es geht weiter: $409 = 27\cdot (13-2) + 14\cdot 8$. Wenn ich mich nicht irre, gar bis $421 = (27 + 8/2)\cdot 14 - 13$\(\endgroup\)
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DerEinfaeltige
Senior
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-10
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\quoteon(2023-02-09 08:02 - cramilu in Beitrag No. 12)
EDIT - Rückfrage beim Themenstarter:
Als Multimenge dürfte jedes 'set' auch Zahlen mehrfach enthalten?!
\quoteoff
So war es gedacht.
PS.: Tolle Lösungen! :-)
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Kitaktus
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| Beitrag No.16, eingetragen 2023-02-10
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\quoteon(2023-02-10 02:30 - tactac in Beitrag No. 13)
Mit (19,16,12,9,2) kommt man bis 418.
Und mit (21,19,15,10,2) bis 420.
\quoteoff
Wie stellst Du mit (19,16,12,9,2) die 367 dar?
und mit (21,19,15,10,2) die 119 und 179?
Das wäre für mich wichtig zu wisse, weil mein Programm dann eine Lücke hätte.
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Kitaktus
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| Beitrag No.17, eingetragen 2023-02-10
|
Für $n=6$ habe ich in der Nacht die 2500er-Marke überschritten. Ein Ende ist da noch nicht in Sicht.
$2520 = f(112, 16, 15, 12, 11, 2).$
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cramilu
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| Beitrag No.18, eingetragen 2023-02-10
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(12 + 9) × 19 - 16 × 2 = 367
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]
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tactac
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| Beitrag No.19, eingetragen 2023-02-10
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
\quoteon(2023-02-10 09:58 - Kitaktus in Beitrag No. 16)
\quoteon(2023-02-10 02:30 - tactac in Beitrag No. 13)
Mit (19,16,12,9,2) kommt man bis 418.
Und mit (21,19,15,10,2) bis 420.
\quoteoff
Wie stellst Du mit (19,16,12,9,2) die 367 dar?
und mit (21,19,15,10,2) die 119 und 179?
Das wäre für mich wichtig zu wisse, weil mein Programm dann eine Lücke hätte.
\quoteoff
$367 = 19\cdot (12+9)-16\cdot 2$
$119 = (21-15)\cdot 19+10\div 2$
$179 = (21-10)\cdot 19-15\cdot 2$\(\endgroup\)
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cramilu
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| Beitrag No.20, eingetragen 2023-02-10
|
Allein der Übersicht halber...
\quoteon(2023-02-07 14:22 - Kitaktus in Beitrag No. 6)
[...] Mit (27,14,13,8,2) kommt man von 0 bis 408. [...]\quoteoff
409 = (27 + (8 / 2)) × 14 - 13
410 = (27 + 13 × 2) × 8 - 14 = (27 + 14) × (8 + 2)
411 = (13 + 2) × 27 + 14 - 8 = (14 + 2) × 27 - 13 - 8 = ...
... = (27 + 2) × 14 + 13 - 8
412 = 27 × 14 + 13 × 2 + 8
413 = (13 + 2) × 27 + 8
414 = (27 + 2) × 14 + 8 = (27 + 2) × 8 + 14 × 13 = ...
... (27 + 13) × (8 + 2) + 14
415 = (27 + 8 - 2) × 13 - 14
416 = (27 + 14 + 13 - 2) × 8 = (27 + 13 - 14) × 8 × 2
417 = (27 + (8 / 2) × 13 + 14
418 = 27 × 8 × 2 - 14
419 = 27 × 8 × 2 - 13 = (27 + 2) × 14 + 13 = ...
... = (13 + 2) × 27 + 14 = (14 + 2) × 27 - 13
420 = (27 + 13 - 8 - 2) × 14 = (27 - (14 / 2)) × (13 + 8)
421 = (27 + (8 / 2)) × 14 - 13
Letztere hatte tactac ja bereits genannt.
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tactac
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| Beitrag No.21, eingetragen 2023-02-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
Mit [27,14,13,6,2] kommt man bis 449.
Interessant ist, dass (mindestens) eine der Zahlen nur durch Rechnen mit rationalen Zahlen darstellbar ist. Nämlich: $276 = (13+2/14)\cdot(27-6)$. \(\endgroup\)
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
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| Beitrag No.22, eingetragen 2023-02-11
|
Mit [32,15,12,11,2] kommt man bis 452.
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Kitaktus
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| Beitrag No.23, eingetragen 2023-02-13
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Da habe ich leider einen Bock geschossen. Meinem Programm fehlten tatsächlich ein paar Kombinationen (bei 5 oder mehr Elementen).
Blöderweise habe ich auch Schwierigkeiten mit der Erkennung von Ganzzahligkeit. Mein Programm erkennt (13-14/3)*27 nicht als 225. Damit sind meine Ergebnisse leider nur untere Schranken für die tatsächlich möglichen Werte.
EDIT: Aufgrund dieser Problemati teste ich nicht mehr auf Ganzzahligkeit, sondern schaue, ob der Abstand zur nächsten ganzen Zahl "klein genug" ist. Das is natürlich eine potentielle Fehlerquelle
Ich stelle meine Ergebnisse hier ein, vielleicht nützt es jemandem etwas.
Hier eine Tabelle mit 5er-Kombinationen, mit denen man mindestens bis 410 kommt, sowie einige weitere "interessante" Kombinationen.
Außerdem habe ich noch eine Tabelle mit 6er-Kombinationen angehängt, die aber unsystematisch entstanden ist.
\sourceon Tabelle 5er
452 | 32 15 12 11 2
449 | 27 14 13 6 2
444 | 139 40 5 3 2 unsystematisch gefunden
443 | 26 16 15 7 2
438 | 127 50 5 3 2 unsystematisch gefunden
438 | 145 66 5 3 2 unsystematisch gefunden
436 | 66 37 6 5 2 NEU
430 | 25 14 12 9 2
429 | 76 25 5 4 3
426 | 43 9 8 6 4
425 | 70 39 6 5 2 NEU
424 | 149 42 5 3 2 unsystematisch gefunden
421 | 27 14 13 8 2
420 | 21 19 15 10 2
419 | 69 50 6 5 2 NEU
418 | 19 16 12 9 2
418 | 56 10 7 5 4
418 | 149 36 7 3 2 unsystematisch gefunden
418 | 118 30 7 3 2 NEU_5
417 | 120 14 5 3 2 NEU_5
415 | 100 65 4 3 2 NEU_4
414 | 30 13 11 6 2
414 | 38 9 6 5 2
414 | 123 50 5 3 2 NEU_7
413 | 125 19 5 3 2 NEU_8
412 | 37 9 7 5 2
412 | 101 71 4 3 2 NEU_6
412 | 123 75 5 3 2 NEU_7
412 | 145 42 5 3 2 unsystematisch gefunden
411 | 148 36 5 3 2 unsystematisch gefunden
410 | 23 15 13 4 3
410 | 28 19 13 8 2
410 | 111 71 4 3 2 NEU_6
410 | 122 19 5 3 2 NEU_7
-----------------------------------
409 | 34 27 12 9 8
408 | 96 55 5 4 3 NEU_3
407 | 104 28 5 3 2 NEU_4
406 | 24 23 15 10 2
400 | 97 72 4 3 2 NEU_5
\sourceoff
\sourceon Tabelle 6er
3435 | 136 23 21 16 6 2
3379 | 134 23 18 11 8 2 NEU_3
3373 | 126 23 19 13 8 2 NEU_3
3360 | 118 26 22 15 5 2 NEU_8
3356 | 136 23 15 12 8 2 NEU_3
3356 | 120 26 21 17 6 2 NEU_8
3340 | 89 33 26 18 3 2 NEU_8
3337 | 156 19 15 10 7 2
3328 | 132 24 19 13 8 2 NEU_3
3326 | 180 17 14 11 8 2
3323 | 125 23 18 14 10 2 NEU_9
3318 | 125 24 21 10 8 2 NEU_7
3313 | 148 20 17 13 8 2
3308 | 124 25 21 14 10 2 NEU_9
3304 | 132 23 19 12 8 2 NEU_3
3297 | 120 25 19 14 3 2 NEU_2
3293 | 113 22 19 14 10 2 NEU_8
3284 | 142 20 17 13 8 2
3270 | 114 25 20 13 8 2 NEU_6
3264 | 174 17 13 12 8 2 NEU
3260 | 156 19 14 11 6 2
3258 | 165 18 14 11 6 2 NEU
3252 | 158 18 15 11 6 2 NEU_4
3251 | 120 23 20 11 8 2 NEU_3
3238 | 152 21 17 14 10 2 NEU_8
3237 | 103 26 23 15 7 2 NEU_8
3237 | 175 17 14 11 8 2 NEU
3234 | 128 23 19 10 8 2 NEU_3
3228 | 116 23 22 13 6 2
3228 | 155 20 17 13 8 2 NEU_4
3217 | 168 17 13 12 8 2 NEU
3214 | 150 19 16 13 7 2 NEU_4
3213 | 112 26 20 11 3 2 NEU_8
3208 | 116 22 21 13 6 2
3208 | 103 26 24 19 3 2 NEU_6
3207 | 119 24 18 13 7 2
3207 | 120 23 19 14 10 2 NEU_8
3202 | 96 29 25 12 3 2
3201 | 156 19 16 12 9 2 NEU_3
3200 | 158 18 13 10 7 2 NEU_4
Weitere ausgewählte Lösungen mit extremen Werten
3185 | 87 34 26 21 3 2
3147 | 120 25 19 14 4 3
3136 | 181 16 13 10 7 2
3120 | 150 19 18 13 10 2
3118 | 86 32 21 15 3 2
3116 | 110 24 17 7 4 2
3088 | 96 28 27 13 3 2
3075 | 203 14 11 9 6 2
3055 | 126 22 19 15 12 2
3051 | 86 34 27 19 3 2
3046 | 167 17 14 11 8 4
3043 | 81 30 18 17 5 2
3036 | 220 17 13 10 6 2
3010 | 132 21 16 10 7 3
3001 | 90 29 21 10 4 3
\sourceoff
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Profil
|
Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
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Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.24, eingetragen 2023-02-17
|
Persönliches Fazit:
Ich glaube für n=2,3,4 sind die optimalen Lösung gefunden worden.
Für n=2 und 3 sollte das leicht beweisbar sein. Für n=4 bekäme man das auch hin.
Ich glaube auch für n=5 ist die optimale Lösung bereits gefunden worden.
Für einen Nachweis der Optimalität fehlt mir eine Idee, wie man die Größe der größten Zahl genügend stark beschränken kann.
Ich habe den Bereich bis 100 durchsucht, die Lösung $408=f(96,55,5,4,3)$ zeigt aber, dass man sich nicht zu sicher sein sollte, dass danach nichts mehr kommt.
Für n=6 würde ich nicht unbedingt darauf wetten, dass 3435 schon optimal ist. Da die Berechnung des Funktionswertes ja relativ aufwändig ist, habe ich alle ermittelten Werte (in einem gewissen Bereich) abgespeichert und eine nette Variante der lokalen Suche programmiert, die bevorzugt in Richtungen läuft, in denen man noch nicht gewesen ist. Das ist ganz nett, wenn man in einer graphischen Darstellung sieht, wie sich so langsam die Lücken schließen. Die Abdeckung ist aber zu niedrig, um eine Prognose zu stellen. Neue Kombinationen mit Funktionswerten über 3200 habe ich bis zuletzt gefunden.
Es besteht ein prinzipielles Problem mit der Ganzzahligkeit. Verwendet man Gleitkommazahlen, kann man sich nicht sicher sein, alle ganzzahligen Lösungen auch zu finden.
EDIT: Wer sich wundert, dass alle hier angegebenen Lösungen als kleinste Zahl die 2 haben:
Das hat mich auch gewundert. Ich bin der Sache nachgegangen und habe einen Bug beim Abspeichern der Ergebisse gefunden. Im Endeffekt hat mein Programm keine Werte für Kombinationen abgespeichert, bei denen die kleinste Zahl nicht 2 war. Das ist dann gelinde gesagt "Mist".
Ich habe den Fehler zwar behoben, aber die Motivation das Programm nochmal laufen zu lassen ist nicht da.
Ich werde die laufenden Programme (für n=5) noch austrudeln lassen und dann die Suche beenden.
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
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Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.25, eingetragen 2023-02-27 09:15
|
Nachtrag:
Wer die Tabellen in Beitrag #23 verfolgt hat, dem wird aufgefallen sein, dass hier noch einige Werte dazugekommen sind.
Fazit:
Für n=5 habe ich systematisch gesucht. Das ist zwar "schön systematisch", aber ich habe das Gefühl, viel Rechenzeit in "uninteressanten" Bereichen verbraucht zu haben, während einige interessante Bereiche nicht untersucht wurden.
Abgesucht habe ich den Bereich "größte Zahl $\leq 125$, alle anderen Zahlen $\leq 75$. Darüber hinaus habe ich nur sporadisch gesucht und dabei immer noch viele sehr gute Werte gefunden. Da ist also durchaus noch Luft. Mit einer effizienten Programmiersprache könnte man da durchaus noch einiges erforschen.
Beim nächsten Mal würde ich aber alle Ergebnisse abspeichern und nicht nur ein paar Dutzend gute.
Für n=6 habe ich eine lokale Suche programmiert, mich dabei aber auf einen festen Bereich beschränkt, hauptsächlich, um das Array mit den Ergebnissen zu beschränken. Die sechs Zahlen sind dabei absteigend der Größe nach:
$\leq 230$, $\leq 34$, $\leq 27$, $\leq 21$, $\leq 15$, $\leq 4$.
Das sind also alles Kombinationen mit einer großen und fünf eher kleinen Zahlen.
Nach meiner Erfahrung für n=5 halte ich aber durchaus auch gute Lösung mit zwei großen Zahlen für denkbar.
In diesem Bereich habe ich ca. 7.4% der Kombinationen untersucht. Ergebnisse sind in Beitrag #23 zu finden.
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