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 Wurzel aus 2 ist irrational | Beweis von Euklid |
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MartinAusD
Neu 
Dabei seit: 08.02.2023
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2023-02-08
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Hallo Leute ich habe ein Verständnisproblem bei besagtem Beweis.
Warum darf ich einfach annehmen, dass p und q bereits gekürzt sind, sprich Teilerfremd sind? Wahrscheinlich bin ich einfach zu blöd um es zu verstehen.
Was passiert wenn ich annehme das dies nicht der Fall ist? Dann habe ich am Ende keinen Widerspruch und könnte annehmen, dass sqrt(2) eben doch rational ist!?
Beste Grüße
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10506
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-08
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Hallo und willkommen hier im Forum!
\quoteon(2023-02-08 14:47 - MartinAusD im Themenstart)
Warum darf ich einfach annehmen, dass p und q bereits gekürzt sind, sprich Teilerfremd sind?
\quoteoff
Ganz einfach: weil sich jede rationale Zahl, also jeder Bruch, durch Kürzen auf diese Form bringen lässt, oder schon diese Form besitzt.
Also kann man das auch für die angenommenen Zahl \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) voraussetzen, ohne dass man irgendeine Möglichkeit übersieht bzw. außer Acht lässt.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Zwerg_Allwissend
Senior 
Dabei seit: 02.12.2013
Mitteilungen: 323
| Beitrag No.2, eingetragen 2023-02-10
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\quoteon(2023-02-08 14:47 - MartinAusD im Themenstart)
Was passiert wenn ich annehme das dies nicht der Fall ist? Dann habe ich am Ende keinen Widerspruch und könnte annehmen, dass sqrt(2) eben doch rational ist!?
\quoteoff
Nein, man muß nicht kürzen. Den Widerspruch erhält man auch ohne. Man beweist
∀x,y:ℕ y ≠ 0 → 2⋅y² ≠ x²
ohne anzunehmen, daß x und y keinen gemeinsamen Teiler ≠ 1 haben.
Es funktioniert im übrigen für alle Primzahlwurzeln, d.h.
∀x,y,p:ℕ ℙ(p) ∧ y ≠ 0 → p⋅y² ≠ x² .
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