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 Taylorreihe einer Funktion, welche nicht zwangsweise glatt ist (Wärmeleitungsgleichung) |
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sulky
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 |  Themenstart: 2023-02-08
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Hallo Zusammen,
Gemäss Wikipedia besitzen "glatte" Funktionen Taylorreihen.
Im Zusammenhang mit numerischen Verfahren zur Lösung von DGs haben wir es aber mit Funktionen zu tun, die vielleicht schon glatt sind, wir es aber nicht wissen.
Weiter werden Überlegungen der Taylorreihe auch für diskrete Funktionswerte angewendet.
Gegeben ist folgendes Problem (Wäreleitungsgleichung)
$\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial t}-a\frac{\partial^2u}{\partial x^2} =0& (x,t)\in ]0;1[\times]0,T[ \\
u(0,x) =u_0(x)& x\in ]0;1[
\end{cases}$
Aufgrund der Formulierung gehe ich davon aus, dass $u(\cdot,t)\in \mathcal{C}^2$ und $u(x,\cdot )\in \mathcal{C}^1$.
Wenn ich nun $u(\cdot,t)$ als Taylorreihe um den Nullpunkt entwickle, so erhalte ich:
$u(x,t)=u(0,t)+\frac{\partial u(0,t)}{\partial x}x+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u(0,t)}{\partial x^2}x^2+o(x^2)$
Ich bin mir aber unsicher, ob die Verwendung dieses Restgliedes $o(x^2)$ korrekt ist. Den Abbruch der Taylorreihe haben wir sonst nur zur Vereinfachung von Rechnungen verwendet, wenn durch die ausgedrückten Glieder eine ausreichende Genauigkeit erreicht ist.
In diesem Fall geht es aber nicht um das Mass an Genauigkeit, sondern ich schreibe das Glied 3.Ordnung deswegen nicht, weil ich nicht weiss, ob die dritte Ableitung von $u$ am Punkt $0$ überhaupt existiert.
Ist die Verwendung von $o(x^2)$ unter diesen Umständen trotzdem korrekt?
Bezüglich der (diskreten!)Taylorentwicklung in $t$ lese ich in einer Musterlösung sogar:
$u(x_j,t)=u(x_j,t)+\frac{\partial u(x_j,t)}{\partial t}t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u(x_j,t)}{\partial t^2}t^2+o(t^2)$
Darf man das? Ich sehe keinen Hinweis, dass $\frac{\partial^2 u(x_j,t)}{\partial t^2}$ existiert.
Ich will nichts behaupten, aber ich vermute, dass je nach Wahl der Zwangsbedingung $u_0$ es sein kann, dass $u$ glatt ist oder auch nicht.
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-08
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sulky
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-08
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vielen Dank Nico,
Gemäss der qualitativen Tylorformel wäre, wenn $u(\cdot,t)\in \mathcal{C}^2$
$u(x,t)=u(0,t)+\frac{\partial u(0,t)}{\partial x}x+\frac{1}{2}\frac{\partial u^2(0,t)}{\partial x^2}x^2+o(x^2)$
Die qualitative Tylorformel beantwortet also meine Frage ganz klar damit, dass die Landaunotation für das Restglied auch angewendet werden darf, wenn die Funktion keine höheren Ableitungen besitzt.
Aber wie ist es im anderen Fall?
Warum darf man schreiben:
$u(x_j,t)=u(x_j,t)+\frac{\partial u(x_j,t)}{\partial t}t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u(x_j,t)}{\partial t^2}t^2+o(t^2)$?
Geht die Aufgabenstellung aus physikalischen Überlegungen stillschweigend davon aus, dass zweimal nach $t$ abgeleitet werden darf?
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-12
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
das kommt ein bisschen auf den Kontext an. Wenn man sich mit dieser PDGL beschäftigt und nach klassischen Lösungen sucht, dann sucht man meist (ohne das explizit zu betonen) eine $C^2$ Lösung. Aus der PDGL alleine ergibt sich das in diesem Fall sicherlich nicht.
Wenn man sich mit schwachen Lösungen beschäftigt, dann spielt das natürlich gar keine Rolle, weil hier alle partiellen Ableitungen beliebiger Ordnung existieren.
LG Nico\(\endgroup\)
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sulky
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-13
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Hallo Nico und vielen Dank für die Antwort,
Was meinst du mit "schwache Lösung"?
Ich bin einer ähnlichen Situation begegnet.
$\begin{cases}
\frac{dy}{dt}=f(t,y(t))& t\in ]0,T[ \\
y(0) =y_0&
\end{cases}$
auch dort wurde geschrieben:
$y(t_0+h)=y(t_0)+y'(t_0)\cdot h+\frac{1}{2}y''(t_0)\cdot h^2 +o(h^2)$
Allerdings wurde sofort auf die Problematik aufmerksam gemacht. Es wurde dort vorausgesetzt dass $f\in \mathcal{C}^1$ und auf eine Übungsaufgabe verwiesen, wo beweisen wird, dass bei diesem Cauchyproblem gilt: $f\in\mathcal{C}^p\Rightarrow y\in \mathcal{C}^{p+1}$.
Bei der Wärmeleitungsgleichung weiss ich nut, dass $u_{xx}$ existiert. Ich sehe die Parallele zum Cauchyproblem nicht.
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-02-13
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
ja bei dieser speziellen DGL ist das mehr oder weniger offensichtlich. Bei der Wärmeleitungsgleichung stellt sich unter bestimmten Voraussetzungen aber auch heraus, dass Lösungen sogar glatt sein müssen (der Operator $\partial_t-\alpha \Delta_x$ ist hypoelliptisch für $\alpha>0$). Das sieht man der PDGL aber nicht so ohne weiteres direkt an.
LG Nico\(\endgroup\)
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