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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Potenzen einer Matrix
Autor
Universität/Hochschule Potenzen einer Matrix
luis52
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Mitteilungen: 999
  Themenstart: 2023-02-10

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) Moin allerseits, ich bitte darum, dass man mir bei einer Aufgabe auf die Spruenge hilft. Geben ist \[A= \left( \begin{array}{rrr} \sin(2)& \cos(2)&0\\[1ex] -\cos(2)&\sin(2) &0\\[1ex] 0&0&1\\[1ex] \end{array} \right)\,.\] Die Aufgabe lautet: Aeussern Sie eine Vermutung ueber $A^k$, $k\in\IN$. Ich errechne \[A^2= \left( \begin{array}{ccc} \sin^2(2)-\cos^2(2)& 2\sin(2)\cos(2) &0 \\ -2\sin(2)\cos(2) & \sin^2(2)-\cos^2(2) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \] Ich sehe leider kein Bildungsgesetz bspw. fuer $k=3$. Danke im Voraus. vg Luis \(\endgroup\)

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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-10

Das Ding sieht doch wie eine Drehmatrix aus, und beim Drehen addieren sich bekanntlich die Winkel. Wenn wir die von den ersten beiden Basisvektoren aufgespannte Ebene mit $\mathbb C$ identifizieren, wirkt $A$ ja wie die Multiplikation mit $i\exp(2i)=\exp\left[(2+\frac\pi2)i\right]$. Also wirkt $A^k$ wie die Multiplikation mit $\exp\left[k(2+\frac\pi2)i\right]$. --zippy

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thureduehrsen
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  Beitrag No.2, eingetragen 2023-02-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) Und da stehen ja auch schöne Dinge drin wie \[ \begin{array}{rcl} 2\sin(2)\cos(2)&=&\sin(2\cdot2)\\ \sin^2(2)-\cos^2(2)&=&-\cos(2\cdot2) \end{array} \] Nutze die Additionstheoreme. mfg thureduehrsen\(\endgroup\)

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luis52
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-10

Vielen Dank zippy und thureduehrsen. vg Luis

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