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 Pythagoras im Viereck, zwei Seiten und zwei Winkel sind gegeben |
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Ritter
Aktiv 
Dabei seit: 16.06.2009
Mitteilungen: 639
Wohnort: Dunkler Ort
 |  Themenstart: 2023-02-15
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Hallo
In diesem Viereck sind x und y gesucht.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/26313_ViereckPythagoras.png
Sinus ist leider nicht bekannt, aber Pythagoras. Ebenso die Winkelsumme im Dreieck. Eventuell auch Strahlensätze, da bin ich mir aber nicht sicher.
Die beiden gelben Linien sind nicht eingezeichnet gewesen, aber ein paar rechtwinklige Dreiecke können ja nicht schaden. ;)
Was ich bisher habe:
x^2 = (27-a)^2 + b^2
y^2 = a^2 + (24-b)^2
a/(24-b) = b/(27-a)
Damit habe ich etwas jongliert, aber mit vier Unbekannten und drei Gleichungen habe ich nicht viel Hoffnung, dass man es damit lösen kann.
Die beiden Winkel rufen für mich ein bisschen nach gleichseitigen Dreiecken, aber erkennen konnte ich keins.
Man könnte noch eine lange Diagonale zwischen dem beien 60-Grad-Winkeln einzeichnen, die wäre dann sqrt(27^2 + 24^2) lang. Aber inwiefern das hilft, sehe ich gar nicht.
Oder die Diagonale von der Ecke, in der sich a und b treffen rechts runter. Aber damit hätte man ja auch nur noch eine weitere Unbekannte eingeführt.
Hat jemand noch einen weiteren Hinweis für mich?
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10672
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-15
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Ritter,
ich bin mir hier recht sicher, dass auch wenn die Winkelfunktionen noch nicht eingeführt sind, man hier doch \(\sin(30^{\circ})=1/2\) verwenden darf. Und zwar in Form der Erkenntnis, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit einem 60°-Winkel die Hypotenuse doppelt so groß ist wie die kleinere Kathete.
Damit sollte sich eine weitere Gleichung bilden lassen.
Das macht man sich ja schon relativ früh anhand des Zusammenfügens zweier solcher (kongruenter) Dreiecke zu einem gleichseitigen Dreieck klar.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Geometrie' von Diophant]\(\endgroup\)
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Ritter
Aktiv
Dabei seit: 16.06.2009
Mitteilungen: 639
Wohnort: Dunkler Ort
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-15
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\quoteon(2023-02-15 13:47 - Diophant in Beitrag No. 1)
Und zwar in Form der Erkenntnis, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit einem 60°-Winkel die Hypotenuse doppelt so groß ist wie die kleinere Kathete.
\quoteoff
Ah, ok.
Ich werde mal nachfragen, ob man das bekannt ist.
Danke!
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2566
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-15
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Huhu Ritter,
ergänze zu einem großen gleichseitigen Dreieck. Die Höhenformel \(h=\frac{a}{2}\sqrt{3}\) überlegt man sich mit Pythagoras.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/45489_Bildschirmfoto_2023-02-15_um_15.19.01.png
Danach folgt einfach \(y=\frac{54}{2}\sqrt{3}-24\) und \(x=54-z\) mit \(y=\frac{2}{3}\cdot\frac{z}{2}\sqrt{3} \iff z=\sqrt{3}y\). Für die erste Rechnung nutzt man noch die Gleichschenkligkeit von Dreieck \(FDC\), für die zweite Rechnung nutzt man, dass \(D\) Schwerpunkt im oberen gleichseitigen Dreieck ist.
Gruß,
Küstenkind
Edit sagt noch: Bei deinem Bild sind \(a\) und \(b\) die Höhen zweier gleichseitiger Dreiecke. Es ergibt sich nach Höhenformel das LGS:
\((1):\quad \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{y}{2}=24\)
\((2):\quad \frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{x}{2}=27\)
Das noch als Alternative.
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haribo
Senior 
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4341
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-02-15
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https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_pythagoimviereck.png
einige kleine gleichseitige dreiecke hingeblaut, von der idee her wohl recht ähnlich wie küstenkind´s konstrukt, aber mit pythagoras...
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.5, eingetragen 2023-02-15
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Hallo
Mein Ansatz würe so
27=sqrt(y^2-(y/2)^2)+x/2
24=sqrt(x^2-(x/2)^2)+y/2
Den Term x/2 und den Term y/2 kann man durch Spiegelung eines rechtwinkligen Dreiecks begründen. Dadurch entsteht ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge x.
Durch Wurzelgesetze ist es ein einfaches LGS.
Hier wurde eine ähnliche Aufgabe sehr ausführlich diskutiert:
Gruß Caban
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=51710&start=0#p386119
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cramilu
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Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.6, eingetragen 2023-02-15
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Guten Abend @Ritter,
den Zusammenhang, den Diophant schon wegweisend
aufgezeigt hat, darfst Du Dir selber mittels Pythagoras
herleiten! Stelle Dir ein regelmäßiges Sechseck vor, das
auf einer seiner Ecken steht - mit der gegenüberliegenden
exakt senkrecht oberhalb. Teile es rund um seine Mitte
in sechs gleiche gleichseitige Dreiecke ein. Verbinde die
oberen Enden der beiden Seiten ganz links und ganz rechts
durch eine Strecke und danach die unteren Enden durch
eine zweite, zur ersten parallelen. Diese Strecken schneiden
nun oben und unten insgesamt vier solcher fraglichen
Dreiecke mit den Winkeln 30°, 60° und 90° heraus.
Die lange Dreiecksseite ist Sechseckseite und heiße \(c\).
Die Gesamthöhe des Sechseckes beträgt \(2c\), und wenn man
davon die Länge \(c\) der seitlich parallel zur Gesamthöhe ver-
laufenden Seiten abzieht, bleibt für zwei kurze Katheten \(2a\)
in den besagten Dreiecken eine Restlänge von \(c\). Wegen der
Symmetrie halbiert sich das, und so hat eine kurze Kathete
\(a\) im nämlichen Dreieck genau die Länge \(\frac{c}{2}\).
Die Länge der langen Kathete \(b\) erhalten wird dann mittels
Pythagoras: \(b^2=c^2-a^2=c^2-\frac{c^2}{4}=\frac{3c^2}{4}\) \(\Rightarrow\) \(b=c\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\)
In einem solchen Dreieck gelten also \(c=2a\) und \(b=a\sqrt{3}\)
- Strahlensatz, Sinus, Kosinus, Tangens etc. braucht man
nicht einmal begrifflich!
Jetzt betrachten wir das \(x\) und das \(y\) jeweils als Grundseiten
(Hypotenusen) solcher Dreiecke und als Diagonalen zweier
Rechtecke, welche aus je zwei kongruenten Dreiecken
zusammengesetzt sind.
Dann hat das gedachte Rechteck unten links eine Breite von
\(\frac{x}{2}\) und eine Höhe von \(\frac{x\sqrt{3}}{2}\). Das gedachte Rechteck oben rechts
hat entsprechend eine Breite von \(\frac{y\sqrt{3}}{2}\) und eine Höhe von \(\frac{y}{2}\).
Daraus folgen zwei Gleichungen:
(1) \(\frac{x}{2}\;+\;\frac{y\sqrt{3}}{2}\;=\;27\)
(2) \(\frac{x\sqrt{3}}{2}\;+\;\frac{y}{2}\;=\;24\)
Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten - (2) nach \(y\) auflösen,
(2*) in (1) einsetzen, \(x\) ausrechnen, \(y\) ausrechnen, fertig! 😉
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Ritter
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Dabei seit: 16.06.2009
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Wohnort: Dunkler Ort
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-17
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Hallo
Ich hatte zwischendurch schon kurz gesehen, dass Küstenkind eine Antwort geschrieben hatte, auf die ich noch reagieren wollte. Mittlerweile sind ja noch einige andere Antworten hinzugekommen. 😮
Vielen Dank euch allen! 👍
Das ist offenbar eine beliebte Aufgabe, die es doch in sich hat. 😎
Schönes Wochenende
Ritter
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
ebikerni
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Mitteilungen: 272
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-02-17
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Hallo haribo,
in Deinem Beitrag Nr.4 v.15.2.war für mich die graphische Darstellung sehr
interessant und ich konnte ein kleines Programm für alle zu berechneten
Elemente erstellen.
Als Ergebnis die gesuchten Werte und wie immer kontrolliert:
x = 14.569219381653053
y = 22.765371804359685
Gruß ebikerni
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cramilu
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Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-02-17
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Das Problem lässt sich natürlich auch verallgemeinern:
Quasi-normativ würde man da zunächst \(a\geq b\) fordern.
Die Winkelfunktionen sind dann unabdingbar, zumal sich
gleich die Frage stellt, für welche oben rechts und unten
links gleiche Winkel \(\varphi\) es überhaupt geht.
\(d(a,b,\varphi)\;=\;x(a,b,\varphi)\;=\;?\) \(c(a,b,\varphi)\;=\;y(a,b,\varphi)\;=\;?\)
Und dabei steht auch noch eine Fallunterscheidung an...
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ebikerni
Aktiv
Dabei seit: 17.10.2020
Mitteilungen: 272
| Beitrag No.10, eingetragen 2023-02-17
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Hallo cramilu,
Du hast dich geäußert:
***
(1) x2+y3√2=27
(2) x3√2+y2=24
Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten - (2) nach y auflösen,
(2*) in (1) einsetzen, x ausrechnen, y ausrechnen, fertig!
Das Problem lässt sich natürlich auch verallgemeinern:
***
deshalb meine Frage :
1. kann a oder b beliebig sein
2. muß der Winkel in B 90° sein
Danke für Deine Mitteilungen
von ebikerni
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Caban
Senior
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.11, eingetragen 2023-02-17
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Hallo ebikerni
Wenn du die aufgabe verallgemeinern willst, ist es dir überlassen, welche Größe du ändern willst und welche nicht.
Gruß Caban
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.12, eingetragen 2023-02-17
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Guten Abend ebikerni,
(1) und (2) galten speziell für \(\varphi=60°\) .
Der Winkel bei \(B\) soll stets \(90°\) betragen, ja.
Im verallgemeinerten Fall können \(a\) und \(b\) grundsätzlich
beliebig sein. Die Einschränkung \(a\geq b\) dient lediglich
einer 'Normierung', damit die betrachtete Figur niemals
höher ist als breit. Entscheidend ist das Verhältnis \(\frac{a}{b}\).
Für \(\varphi=90°\) entsteht ein Rechteck mit \(x=d=b\) und
\(y=c=a\).
Du kannst ja einmal für verschiedene \(\varphi\) die Punkte \(D_\varphi\)
konstruieren und schauen, auf welcher Art Linie sie liegen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
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 | Beitrag No.13, eingetragen 2023-02-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Ich weiß ja nicht, ob schon das Lösen von Gleichungen bekannt ist.
Die Gleichungen lauten
$y=\tan(\pi/3)*x$ und
$y=\tan(\pi/6)*(x-27)+24$
Das ergibt die Koordinaten des Schnittpunktes mit
$(x,y)=\left(12 \cdot \sqrt{3}-\frac{27}{2}, 36-\frac{27 \cdot \sqrt{3}}{2}\right)\approx(7.284609690,12.61731409)$
Der Rest ist Pythagoras.
\(\endgroup\)
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.14, eingetragen 2023-02-18
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Hallo Viertel
Winkelfunktionen sind bei ihm noch nicht dran. Genauso wie in dem von mir verlinkten Thread wo du auch beteiligt warst.
Gruß Caban
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Knaaxx
Senior
Dabei seit: 06.05.2006
Mitteilungen: 2730
| Beitrag No.15, eingetragen 2023-02-19
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Ortslinie Schnittpunkte ( a > b, Bezeichner Post 9)
Die Punkte liegen auf einer Hyperbel mit der Mittelsenkrechten BC als Hauptachse, der Mittelsenkrechten AB als Nebenachse, dem Scheitelabstand sqrt(a^2-b^2) und den Asymptoten-Winkeln (gegen Hauptachse) + - 45°
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