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 primdichte Folgen |
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Bekell
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Es ist unzweifelbar, dass sie PZ-Dichte mit steigendem N stetig abnimmt. Trotzdem findet man Folgen, die einen doch erstaunen. Ich möchte diese vorstellen.
Startzahl ist 9803. Die nächste Zahl ist 408 entfernt, die übernächste 416.. u.s.w.
9803, 10211, 10627, 11051.....
etc. etc.
pr= primes npr = nonprimes
Hier die Werte:
Nr. 100 pr 70 npr 30
Nr. 200 pr 131 npr 69
Nr. 300 pr 191 npr 109
Nr. 400 pr 246 npr 154
Nr. 500 pr 297 npr 203
Nr. 600 pr 353 npr 247
Nr. 700 pr 405 npr 295
Nr. 800 pr 446 npr 354
Nr. 900 pr 496 npr 404
Nr. 1000 pr 546 npr 454
Nr. 1100 pr 590 npr 510
Nr. 1200 pr 633 npr 567
Nr. 1300 pr 680 npr 620
Nr. 1400 pr 728 npr 672
Nr. 1500 pr 779 npr 721
Nr. 1600 pr 819 npr 781
Nr. 1700 pr 855 npr 845
Nr. 1800 pr 905 npr 895
Nr. 1900 pr 953 npr 947
Nr. 2000 pr 1000 npr 1000
Nr. 2100 pr 1039 npr 1061
Erstaunlich: Erst ab dem 2000. Glied befinden sich mehr zZ in der Folge als PZ. Bis dahin sind also mehr als 50 % PZ enthalten. Ich nenne eine primdichte arithmetische Folge eine Folge, bei welcher die maximale Primakkumulation Zweck der Bildung war. Kennt jemand eine noch bessere solche Folge?
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OlgaBarati
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-20
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Hallo Bekell,
das ist ja interessant.
Suche auch mal danach, noch habe ich keine bessere Folge als deine $(9803, 408, 8)$ gefunden.
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querin
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| Beitrag No.2, eingetragen 2023-02-20
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Hallo Bekell,
Deine Folge ist nicht linear sondern quadratisch, nämlich $a_n=4\,n^2+396\,n+9403$ für $n=1,2,3,...$
Unter den ersten 1930 Folgengliedern befinden sich 964 Primzahlen und 966 zusammengesetzte Zahlen. Wie ich es verstehe ist damit die Länge Deiner Folge 1929, d.h. jede Menge $\{a_1,\dots,a_n\}$ enthält mindestens 50% Primzahlen für $1\le n\le 1929$.
In diesem Sinne hat die Folge $b_n=2\,n^2+40\,n+1$ die Länge 3265.
Grüße
querin
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OlgaBarati
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-21
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Bekell
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-27
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\quoteon(2023-02-20 21:36 - querin in Beitrag No. 2)
Deine Folge ist nicht linear sondern quadratisch, nämlich $a_n=4\,n^2+396\,n+9403$ für $n=1,2,3,...$
\quoteoff
Hallo Querin,
Ja, Du hast recht, ich möchte bloss mal wissen, warum ein Folge mit linear ansteigender Folgengliederdifferenz arithmetisch heisst, eine mit quadratisch ansteigendender Folgegliederdifferenz aber nicht. Deswegen verwechsel ich das andauernd, denn arithmetisch kommt von griechisch ἀριθμός, was einfach Zahl bedeutet. Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetik.
Bezeichnungs-logisch wäre der Satz: lineare und quadratische Folgen sind beides arithmetische Folgen, denn die Attribute linear und quadratische beziehen sich auf die Folgegliederdifferenz, also auf die Art der Bildung.
Wer hat diesen Bezeichnungs-Schwachsinn, bzw. Irrsinn (also kein Un-Sinn, sondern nur Irr-sinn) bloss eingeführt, und zur Norm erklärt? "Arithmetische Folge" heisst einfach Zahlenfolge, ohne eine Aussage bezüglich der Art der Bildung.
\quoteon(2023-02-20 21:36 - querin in Beitrag No. 2)
Unter den ersten 1930 Folgengliedern befinden sich 964 Primzahlen und 966 zusammengesetzte Zahlen. Wie ich es verstehe ist damit die Länge Deiner Folge 1929, d.h. jede Menge $\{a_1,\dots,a_n\}$ enthält mindestens 50% Primzahlen für $1\le n\le 1929$.
In diesem Sinne hat die Folge $b_n=2\,n^2+40\,n+1$ die Länge 3265.
Grüße
querin
\quoteoff
Aus technischen Gründen hab ich die Folge nicht an ihrer ersten Stelle gefunden. In Wirklichkeit ist ihr erstes Glied die 43, und die Differenz zum Folgeglied ($n_1$ = 11*8), so dass das Folgeglied 131 ist, und erst das 41. Glied ist 9803, wobei dort der n-Wert schon $n_41$ = 400 ist.
Ich würde daher schreiben:
$a_n=43+n*8\,$ für $n=11,12,13,...$
Ist das nicht einfacher ausgedrückt?
Hier ist das Listing:
1 43 + 88 PR-Nr. 1 0 mod43
2 131 + 96 PR-Nr. 2 2 mod43
3 227 + 104 PR-Nr. 3 12 mod43
4 331 + 112 PR-Nr. 4 30 mod43
5 443 + 120 PR-Nr. 5 13 mod43
6 563 + 128 PR-Nr. 6 4 mod43
7 691 + 136 PR-Nr. 7 3 mod43
8 827 + 144 PR-Nr. 8 10 mod43
9 971 + 152 PR-Nr. 9 25 mod43
10 1123 + 160 PR-Nr. 10 5 mod43
11 1283 + 168 PR-Nr. 11 36 mod43
12 1451 + 176 PR-Nr. 12 32 mod43
13 1627 + 184 PR-Nr. 13 36 mod43
14 1811 + 192 PR-Nr. 14 5 mod43
15 2003 + 200 PR-Nr. 15 25 mod43
16 2203 + 208 PR-Nr. 16 10 mod43
17 2411 + 216 PR-Nr. 17 3 mod43
18 2627 + 224 zZ-Nr. 1 [37, 71] 4 mod43
19 2851 + 232 PR-Nr. 18 13 mod43
20 3083 + 240 PR-Nr. 19 30 mod43
21 3323 + 248 PR-Nr. 20 12 mod43
22 3571 + 256 PR-Nr. 21 2 mod43
23 3827 + 264 zZ-Nr. 2 [43, 89] 0 mod43
24 4091 + 272 PR-Nr. 22 6 mod43
25 4363 + 280 PR-Nr. 23 20 mod43
26 4643 + 288 PR-Nr. 24 42 mod43
27 4931 + 296 PR-Nr. 25 29 mod43
28 5227 + 304 PR-Nr. 26 24 mod43
29 5531 + 312 PR-Nr. 27 27 mod43
30 5843 + 320 PR-Nr. 28 38 mod43
31 6163 + 328 PR-Nr. 29 14 mod43
32 6491 + 336 PR-Nr. 30 41 mod43
33 6827 + 344 PR-Nr. 31 33 mod43
34 7171 + 352 zZ-Nr. 3 [71, 101] 33 mod43
35 7523 + 360 PR-Nr. 32 41 mod43
36 7883 + 368 PR-Nr. 33 14 mod43
37 8251 + 376 zZ-Nr. 4 [37, 223] 38 mod43
38 8627 + 384 PR-Nr. 34 27 mod43
39 9011 + 392 PR-Nr. 35 24 mod43
40 9403 + 400 PR-Nr. 36 29 mod43
41 9803 + 408 PR-Nr. 37 42 mod43
42 10211 + 416 PR-Nr. 38 20 mod43
43 10627 + 424 PR-Nr. 39 6 mod43
Bemerkenswert ist, dass der kleinste auftauchende Primteiler 37 ist. Kann man das beweisen? Ick krieg das nicht zusammengedacht mit der Tatsache, dass bei unserer ersten BekellFolge43 die QuirinNumber0 nach Primorial 37 auftritt.
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querin
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-02-27
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\quoteon(2023-02-27 15:03 - Bekell in Beitrag No. 4)
Ich würde daher schreiben:
an=43+n*8 für n=11,12,13,...
Ist das nicht einfacher ausgedrückt?
\quoteoff
Nein, das wäre eine lineare Folge (nur die ersten beiden Werte stimmen mit Deinem Listing überein).
Du meinst die rekursive Darstellung
$a_0=43$, $a_n=a_{n-1}+8\cdot (n+10)$ für $n>0$
oder explizit
$a_n=4\,k^2+84\,k+43$ für $n\ge 0$
Diese Folge hat (in Deinem Sinne) die Länge 2230.
Mit größeren Koeffizienten gibt es auch längere Folgen, z.B.
$a_n=n^2+1735\,n+263$, $n\ge 0$, mit der Länge 8044.
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Bekell
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-28
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\quoteon(2023-02-27 23:19 - querin in Beitrag No. 5)
Mit größeren Koeffizienten gibt es auch längere Folgen, z.B.
$a_n=n^2+1735\,n+263$, $n\ge 0$, mit der Länge 8044.
\quoteoff
Ja, es gibt von den primdichten geom. Folgen wohl unendlich, die ihren 50-% Wert immer später haben. Hast du danach gesucht, oder stehen die schon in OEIS?
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DerEinfaeltige
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 | Beitrag No.7, eingetragen 2023-02-28
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\quoteon(2023-02-27 15:03 - Bekell in Beitrag No. 4)
Ja, Du hast recht, ich möchte bloss mal wissen, warum ein Folge mit linear ansteigender Folgengliederdifferenz arithmetisch heisst, eine mit quadratisch ansteigendender Folgegliederdifferenz aber nicht.
\quoteoff
Steigt die Folgengliederdifferenz linear an, handelt es sich um eine quadratische Folge.
Das sind gerade die Linien der Ulam-Spirale und als Spezialfälle bspw. die Folgen von Euler und Co. oder auch hier im Thread.
Steigt die Folgengliederdifferenz quadratisch an, handelt es sich um eine kubische Folge.
Bei einer arithmetischen Folge ist die Folgengliederdifferenz konstant.
Die arithmetischen Folgen entsprechen somit den linearen Funktionen.
Bei einer geometrischen Folge ist das Verhältnis aufeinanderfolgender Glieder konstant.
Die geometrischen Folgen entsprechen somit den Exponentialfunktionen.
Die Bezeichnungen stammen laut Wikipedia mutmaßlich daher, dass sich die Folgenglieder jeweils als arithmetisches bzw. geometrisches Mittel ihrer Nachbarn (bzw. allgemein ihrer symmetrischen Umgebung) ergeben.
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querin
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-02-28
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@Bekell
Deine Folge 43, 131, 227, 331,... ist in OEIS https://oeis.org/A356727 mit Hinweis auf den relativ hohen Anteil an Primzahlen (aber nicht direkt Deine 50%-Länge). Die Folgen mit Länge 3265 und 8044 habe ich interessehalber selbst gesucht.
PS: ich würde im Betreff das Wort "geometrische" weglassen.
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Bekell
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-28
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\quoteon(2023-02-28 10:50 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 7)
\
1. Steigt die Folgengliederdifferenz nicht an, sondern bleibt konstant, handelt es sich um eine arithmetische Folge. (lineare Funktion - Exponent: 1; y=nx)
2. Steigt die Folgengliederdifferenz linear an, handelt es sich um eine quadratische Folge. (exponentiale Funktion, Exponent > 1; y=nx^2)
3. Steigt die Folgengliederdifferenz quadratisch an, handelt es sich um eine kubische Folge. (exponentiale Funktion, Exponent > 2; y=nx^3)
Die Bezeichnungen "geometrische Folge" und "arithmetische Folge" stammen laut Wikipedia mutmaßlich daher, dass sich die Folgenglieder jeweils als arithmetisches bzw. geometrisches Mittel ihrer Nachbarn (bzw. allgemein ihrer symmetrischen Umgebung) ergeben.
\quoteoff
Danke, Einfältiger!
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Bekell
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-01
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Hallo Querin und Einfältiger
hab besagte Folge mal geplottet, um den Schnittpunkt zwischen Rot=PZ und Blau=zZ darzustellen. Der Schnittpunkt bei 2230 (1115 im Bild) wäre eine wichtige, zu merkende Kenngrösse der Folge.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/23651_Folge4kq_84k_43.png
Man kann diese Folge 4k^2+84k+43 nämlich auf die arithmetische Folge 8n+3 aufmodulieren.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/23651_Aufmodulation.png
Man kann statt der natürlichen Zahlen im Bild diese noch mal 8+3 denken. Das wäre dann die arithmetische Folge x8+3 und dann sind die grünen Felder die Glieder der geometrischen Folge. Blau ist, wo es einen Treffer gibt, rot, wo keinen.
Ich hab das mal geplottet, wenn man das messen würde, indem man so eine Zahlenkette hinlegt. Rot = Anzahl der Stellungen (Zahlen oben + unten), wo es keinen Treffer innerhalb der geometrischen Folge gäbe, Blau, wo es Treffer gibt. Wohlgemerkt, diese Treffer wären keine PZ-PZ Treffer, sondern nur Treffer innerhalb der geometrischen Folge mit ihren 2230 Gliedern.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/23651_Stetiges_Wachstum_der_Beru_hrungen.png
Es gibt ja in der arithmetischen Folge y=8x+3 für x=5,6,7... bis zum Ende der quadr. Folge (zZNr 1115 = 20061043) 2507630-4 = 2507626 Glieder, wovon 318683 PZ und 2188943 zZ
Kannst Du Dir vorstellen, warum es in der quadrat. Folge keine PZ mit Primteiler kleiner 37 gibt?
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querin
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-03-01
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\quoteon(2023-03-01 13:18 - Bekell in Beitrag No. 10)
Kannst Du Dir vorstellen, warum es in der quadrat. Folge keine PZ mit Primteiler kleiner 37 gibt?
\quoteoff
Ja, wegen $4\,k^2+84\,k+43 = (2\,k+21)^2-398$
Du musst also nur für alle Primzahlen $p<37$ überprüfen, dass 398 quadratischer Nichtrest modulo $p$ ist (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratischer_Rest ).
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Bekell
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-01
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\quoteon(2023-03-01 15:06 - querin in Beitrag No. 11)
Ja, wegen $4\,k^2+84\,k+43 = (2\,k+21)^2-398$
Du musst also nur für alle Primzahlen $p<37$ überprüfen, dass 398 quadratischer Nichtrest modulo $p$ ist (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratischer_Rest ).
\quoteoff
Du meinst also deshalb:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/23651_QuadratischeRestefertig1.png
weil zu 398 alle Reste der PZ < 37 quadratische Nichtreste sind?
Nr: 1 398 = 2 mod 3
Nr: 2 398 = 3 mod 5
Nr: 3 398 = 6 mod 7
Nr: 4 398 = 2 mod 11
Nr: 5 398 = 8 mod 13
Nr: 6 398 = 7 mod 17
Nr: 7 398 = 18 mod 19
Nr: 8 398 = 7 mod 23
Nr: 9 398 = 21 mod 29
Nr: 10 398 = 26 mod 31
Nr: 11 398 = 28 mod 37
Es muss also einen Satz geben: Wenn alle Primreste einer Zahl x nichtquadratisch sind,
Achtung:
Es gibt unter den PZ-Resten einen Anteil identischer PZ-Reste, der wesentlich langsamer wächst, als die Anzahl der sonstigen q. Reste, die immer die Hälfte der (PZ-1 - minus eins, weil die Null raus muss) ist. (Die schwarz eingerahmten gelben Reste)
Wie kommst Du übrigens auf 398, wozu soll das kongruent sein? Die Zahl ist doch nicht Glied unserer Folge!
Umformung:
A: $(2\,k+21)^2-398$
B: $(2 k−21)⋅(2 k−21)−398$
C: $4 k^2−42 k−42 k+441−398$
D: $4 k^2−84 k+43$
Plott nach A
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/23651_Plott2.png
Plott nach D
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/23651_Plott1.png
Kann mir mal jemand verraten, warum die Graphen so unterschiedlich sind? Ist A von der Seite und D von vorn?
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querin
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| Beitrag No.13, eingetragen 2023-03-01
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\quoteon(2023-03-01 20:49 - Bekell in Beitrag No. 12)
Wie kommst Du übrigens auf 398, wozu soll das kongruent sein? Die Zahl ist doch nicht Glied unserer Folge!
\quoteoff
$(2\,k+21)^2$ − 398
Zum Beispiel p=11:
Du hast richtig erkannt, dass 398 = 2 mod 11 ist.
In der Wikipedia-Tabelle stehen die quadratischen Reste
mod 11: (0, 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1),
das ist einfach $\{0^2\mod 11,\;1^2\mod 11,\;\dots,\; 10^2\mod 11\}$
In dieser Menge ist 2 nicht enthalten, daher ist 398 ein quadratischer Nichtrest mod 11.
Keine Ahnung was Du in der Exceltabelle machst, jedenfalls sind Deine "Reste 11" nicht die quadratischen Reste mod 11.
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Bekell
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-01
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MartinN
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| Beitrag No.15, eingetragen 2023-03-02
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Dafür brauchst du keinen Satz...
Angenommen \(z = (2k+21)^2 - 398\) wäre für ein \(k\in\IZ\) durch eine Primzahl \(p\in\mathbb{P}, p\leq 31, \gcd(p, 398) = 1\) teilbar, dann gelte:
\(0 \equiv z \equiv (2k+21)^2 - 398 \mod p\Leftrightarrow (2k+21)^2 \equiv 398 \mod p\)
Es müsste also eine Quadratzahl \(x^2 = (2k+21)^2; x = 2k+21 \in \IZ\) geben, so dass \(x^2 \equiv 398 \mod p\) - dies widerspricht aber der Feststellung, dass 398 bzgl. dem p ein quadratischer Nichtrest ist.
Da für \(p = 2\) dies nicht teilerfremd zu 398, muss man dafür gesondert argumentieren... hier ist \(z = (2k+21)^2 - 398\) für alle \(k\in\IZ\) immer ungerade, und damit nicht durch 2 teilbar.
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Bekell
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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\quoteon(2023-03-02 09:07 - MartinN in Beitrag No. 15)
\(0 \equiv z \equiv (2k+21)^2 - 398 \mod p\Leftrightarrow (2k+21)^2 \equiv 398 \mod p\)
\quoteoff
Ich lese das so: "0 ist kongruent zu z und z ist kongruent zu (2k+21)^2 - 398"
Dann machst Du etwas wie eine Umstellung (obwohl keine Gleichheitszeichen, sondern nur Kongruenz), indem Du die -389 auf die rechte Seite stellst und positiv machst. Wie aber liest man dieses Zeichen:
\(Leftrightarrow \) Es ist dieser hohle Pfeil nach links und rechts.
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MartinN
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| Beitrag No.17, eingetragen 2023-03-02
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Das ist ein Äquivalenzpfeil und bedeutet "genau dann, wenn". Also \(0 \equiv a-b \mod n\) genau dann, wenn \(b \equiv a \mod n\). Du addierst auf beiden Seiten der ersten Gleichung einfach die Restklasse \(\overline{b}\in \IZ/n\IZ\) und das ist eine Äquivalenzumformung.
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Bekell
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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\quoteon(2023-03-02 09:07 - MartinN in Beitrag No. 15)
\(0 \equiv z \equiv (2k+21)^2 - 398 \mod p\Leftrightarrow (2k+21)^2 \equiv 398 \mod p\)
\quoteoff
OK Danke MartinN,
Ich lese den Satz jetzt so: "0 ist kongruent zu z und z ist zu \((2k+21)^2 - 398 mod p\) genau dann kongruent, wenn \((2k+21)^2\) kongruent zu \(398 mod p\) ist."
Kongruenz meint im Zusammenhang Reste: Zwei Zahlen x und y sind kongruent mod z, wenn beide den gleichen Rest zu z haben, wenn also x/z = d mod z und y/z = d mod z.
ab hier geht es wohl schief, wegen Latech...
$\left(\frac{x}{z}\right) \equiv \left(\frac{y}{z}\right) \Leftrightarrow \frac{x}{z} \equiv dmodz$ und $\frac{y}{z} \equiv dmodz$
\[\left(\frac{x}{z}\right) \equiv \left(\frac{y}{z}\right) \Leftrightarrow \frac{x}{z} \equiv dmodz\] und \[\frac{y}{z} \equiv dmodz\]
geht das so?
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MartinN
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| Beitrag No.19, eingetragen 2023-03-02
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Was genau meinst du mit \((\frac{x}{z})\)?
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Bekell
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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\quoteon(2023-03-02 20:45 - MartinN in Beitrag No. 19)
Was genau meinst du mit \((\frac{x}{z})\)?
\quoteoff
Hab eben gelernt, dass Bruch im Legendresymbol meint: "Legendre x z ist definitionsgemäss Legendre y z"
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MartinN
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| Beitrag No.21, eingetragen 2023-03-03
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Aber beim Legendresymbol kann nur +1, -1 oder 0 herauskommen und keine Restklasse. Oder was meinst du dann mit: \(\frac{x}{z} = d \mod z\)
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Bekell
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-03
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\quoteon(2023-03-03 09:39 - MartinN in Beitrag No. 21)
Aber beim Legendresymbol kann nur +1, -1 oder 0 herauskommen und keine Restklasse. Oder was meinst du dann mit: \(\frac{x}{z} = d \mod z\)
\quoteoff
Danke für Dein Dabeibleiben!
ich meine: "wenn x durch z den Rest d mod x hat."
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MartinN
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| Beitrag No.23, eingetragen 2023-03-03
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Also gehst du davon aus, dass x durch z teilbar ist? Oder warum soll da was ganzzahliges rauskommen?
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Bekell
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| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-03
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\quoteon(2023-03-03 10:39 - MartinN in Beitrag No. 23)
Also gehst du davon aus, dass x durch z teilbar ist? Oder warum soll da was ganzzahliges rauskommen?
\quoteoff
formal teilbar, wenn man einen allfälligen Rest mit einbezieht....
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MartinN
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| Beitrag No.25, eingetragen 2023-03-04
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Keine Ahnung was du mit "formal teilbar" und "allfällige Reste mit einbeziehen" meinst. Du hattest zwischen \(\frac{x}{z}\) und dem \(d\) ein Gleichheitszeichen geschrieben - und dann geht man davon aus, dass du auch Gleichheit meinst xD Wenn da noch iwas dazuerfunden werden soll, dann musst du das auch so schreiben.
Warum auch immer hattest du geschrieben:
\((\frac{x}{z}) = (\frac{y}{z}) \Leftrightarrow \frac{x}{z} \equiv d \equiv \frac{y}{z} \mod z\) (Nr. 18)
Links vom Äquivalenzpfeil meinst du eine Gleichheit mit Legendre-Symbolen, rechts jene von Restklassen modulo einem \(z\). Vermutlich sind \(x,y,z\in \IZ\). Damit die Rechteseite einen Sinn ergibt (Oder vielleicht gibt es aber auch Restklassen von gebrochenen Zahlen?), so muss \(\frac{x}{z},\frac{y}{z}\in\IZ\) gelten auf der rechten Seite, also \(z|x\) und \(z|y\).
Man kann leicht \(\Leftarrow\) zeigen: Da \(z|x\) und \(z|y\) dann gelte, sind \(x,y\) Vielfache von \(z\) und folglich die Legendre-Symbole: \((\frac{x}{z}) = 0 = (\frac{y}{z})\). Dies zeigt die linke Seite.
Möchte man \(\Rightarrow\) zeigen... das geht mMn nicht. Wenn x und y beides quadratische Reste oder quadratische Nichtreste modulo z sind, stimmt die Gleichheit der Legendre-Symbole. Aber dann ist x/z und y/z keine ganze Zahl und die rechte Seite ergibt mMn keinen Sinn.
Die Rechte Seite oben bedeutet btw...
\(\frac{x}{z} \equiv d \equiv \frac{y}{z} \mod z\\
\Leftrightarrow \exists k,l \in \IZ: \frac{x}{z} + kz = d = \frac{y}{z} + lz\)
(was auch immer das \(d\) hier aussagen soll)
\(\Leftrightarrow \frac{x-y}{z} = (l-k)z\)
Also: \(x-y\) ist zudem durch \(z^2\) teilbar.
Ich vermute, dass du iwas anderes ausdrücken möchtest. Aber kA worauf du hinaus wolltest.
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Zu meinem ursprünglichen (sehr einfachen) Aussage:
\(0 \equiv z \equiv (2k+21)^2 - 398 \mod p\Leftrightarrow (2k+21)^2 \equiv 398 \mod p\)
Die "sprachliche Übersetzung" ist ganz einfach:
\(z = (2k+21)^2 - 398\) ist durch \(p\) teilbar [also: \(0 \equiv (2k+21)^2 - 398 \mod p\)] genau dann, wenn \((2k+21)^2\) und \(398\) modulo \(p\) in derselben Restklasse liegen [also: \((2k+21)^2 \equiv 398 \mod p\)].
Mit ist schleierhaft, wie du damit zu einem "Formelwirrwarr" wie in Nr. 18 kommst. Wenn dir Restklassen oder Rechenregeln dafür nicht geläufig sind, dann solltest du dich darin etwas einlesen.
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