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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Menge aller Mengen in ZFC
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Universität/Hochschule Menge aller Mengen in ZFC
carlox
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  Themenstart: 2023-02-21

Hallo Allerseits, ZFC lässt die Bildung der Menge aller Mengen nicht zu. Dies will ich beweisen. Leider ist mein Beweis nicht vollständig. Kann jemand weiterhelfen ? Ich beziehe mich im Folgenden auf das Buch „Einführung in die mathematische Logik“ Ebbinghaus, Flum, Thomas 5. Auflage und auf sein Buch über Mengenlehre. Das neue Funktionssymbol $\{z \mid z \equiv z\}$ (für die Menge aller Mengen) wird mit Hilfe der definitorischen Erweiterung eingeführt: $\forall y \; (\{z \mid z \equiv z\} \equiv y \quad .\leftrightarrow. \quad \forall z (z \in y \leftrightarrow z \equiv z))$ wobei zusätzlich noch gelten muss : $ZFC \vdash \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow z \equiv z))$ Wenn man also Folgendes zeigt: $ZFC \vdash \neg \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow z \equiv z))$ dann hat man gezeigt, dass die Allmenge nicht existiert. Beweis: Es gilt: $ZFC \vdash \neg \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow z \equiv z)$ $\quad \Leftrightarrow \quad$ $ZFC \vdash \forall y \exists z \; \neg (z \in y \leftrightarrow z \equiv z)$ $\quad \Leftrightarrow \quad$ $ZFC \vdash \forall y \exists z \; z \not \in y $ Es genügt also zu zeigen: $ZFC \vdash \forall y \exists z \; z \not \in y $ Es gilt nach (AUS): $ZFC \vdash \forall x \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \neq z)$ Ausserdem gilt: $\vdash \forall z (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \neq z) \quad .\rightarrow. \quad (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \neq z)$ $\vdash \forall z (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \neq z) \quad .\rightarrow. \quad (x \in y \leftrightarrow x \in x \land x \neq x)$ $\quad Substitution [x/z]$ Da gilt: $\vdash (x \in y \leftrightarrow x \in x \land x \neq x) \quad .\rightarrow. \quad x \not \in y$ $\quad$ folgt mit Kettenschluss: $\vdash \forall z (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \neq z) \quad .\rightarrow. \quad x \not \in y$ $\vdash \forall z (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \neq z) \quad .\rightarrow. \quad \exists x(x \not \in y)$ $\quad Ph$ $\vdash \forall y \forall z (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \neq z) \quad .\rightarrow. \quad \exists x(x \not \in y)$ $\quad Gv$ $\vdash \forall y \forall z (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \neq z) \quad .\rightarrow. \quad \forall y \exists x(x \not \in y)$ $\quad$ $y \not \in Fr(A)$ und $Gh$ Jetzt komme ich nicht mehr weiter, denn wie kann man nun zeigen, dass gilt: $ZFC \vdash \forall y \forall z (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \neq z)$ Wer weiss weiter? mfg cx

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carlox
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-26

Habe jetzt einen Beweis gefunden. Ist er richtig? Behauptung: Die Allmenge $\{z \mid z \equiv z\}$ existiert nicht. Beweis Das neue Funktionssymbol $\{z \mid z \equiv z\}$ wird mit Hilfe der definitorischen Erweiterung eingeführt: $\forall y \; (\{z \mid z \equiv z\} \equiv y \quad .\leftrightarrow. \quad \forall z (z \in y \leftrightarrow z \equiv z))$ wobei zusätzlich noch gelten muss : $ZFC \vdash \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow z \equiv z))$ Wenn man also Folgendes zeigt: $ZFC \vdash \neg \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow z \equiv z))$ dann hat man gezeigt, dass die Allmenge nicht existiert. Es gilt: $ZFC \vdash \neg \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow z \equiv z)$ $\quad \Leftrightarrow \quad$ $ZFC \vdash \forall y \exists z \; \neg (z \in y \leftrightarrow z \equiv z)$ $\quad \Leftrightarrow \quad$ $ZFC \vdash \forall y \exists z \; z \not \in y $ Es genügt also zu zeigen: $ZFC \vdash \forall y \exists z \; z \not \in y $ Dies gilt aber nach Z-Korrolar 2 Hier die fehlenden Korrolare: Z-Korrolar 2 Behauptung: $ZFC \vdash \forall x \exists y \; y \not \in x $ Beweis 1) Es gilt nach dem (Aus): $ZFC \vdash \forall x \exists y \; \forall z \; (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \not \in z)$ , also $ZFC \vdash \exists y \; \forall z \; (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \not \in z)$ $\quad (*1)$ Nach dem P-Korrolar 6 gilt: $\vdash \forall y(\forall z (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \not \in z) \quad .\rightarrow. \quad y \not \in x)$ $\quad (*2)$ Mit P-Korrolar 1: $\vdash \forall y (A \rightarrow B) \land \exists y A \rightarrow \exists y (A \land B)$ folgt dann aus (*1) und (*2): $ZFC \vdash \exists y (y \not \in x) $ also: $ZFC \vdash \forall x \exists y (y \not \in x) $ P-Korrolar 6 $\vdash \forall y (\forall z (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \not \in z) \; .\rightarrow. \; y \not \in x) $ Beweis Es gilt: $\vdash \forall z (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \not \in z) \quad .\rightarrow. \quad (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \not \in z)$ $\vdash \forall z (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \not \in z) \quad .\rightarrow. \quad (y \in y \leftrightarrow y \in x \land y \not \in y)$ $\quad Subst. \; [y/z] $ Da gilt: $\vdash (y \in y \leftrightarrow y \in x \land y \not \in y) \quad .\rightarrow. \quad y \not \in x$ folgt mit Kettenschluss: $\vdash \forall z (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \not \in z) \quad .\rightarrow. \quad (y \not \in x)$ Da gilt: $\vdash A \leftrightarrow\forall y A$ $\quad$ folgt: $\vdash \forall y(\forall z (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \not \in z) \quad .\rightarrow. \quad y \not \in x)$ P-Korrolar 1 $\vdash \forall y (A \rightarrow B) \land \exists y A \quad .\rightarrow. \quad \exists y (A \land B)$ Beweis: $\vdash A \rightarrow B \quad .\rightarrow. \quad A \rightarrow B$ $\vdash \forall y(A \rightarrow B) \quad .\rightarrow. \quad A \rightarrow B$ $\quad$ Gv $\vdash A \land \forall y(A \rightarrow B) \quad .\rightarrow. \quad A \land (A \rightarrow B)$ $\quad$ Aussagenlogik $\vdash A \land \forall y(A \rightarrow B) \quad .\rightarrow. \quad B$ $\quad$ Aussagenlogik $\vdash A \land \forall y(A \rightarrow B) \quad .\rightarrow. \quad \exists y B$ $\quad$ Ph $\vdash \exists y(A \land \forall y(A \rightarrow B)) \quad .\rightarrow. \quad \exists y B$ $\quad$ $y \not \in Fr(S)$ und Pv $\vdash \exists y A \land \forall y(A \rightarrow B) \quad .\rightarrow. \quad \exists y B$ $\quad$ y nicht frei in $\forall y(A \rightarrow B)$ PS: Fr(S) = Menge der freien Variablen im Sukzedenz mfg cx

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