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 Transformation von Zufallsvariablen Y=0.5*cos(π*X)-0.5, Kompressorkennlinie |
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Sinnfrei
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1)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Screenshot_2023-02-21_170536.png
Die Aufgabe 1) ist klar.
2)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Screenshot_2023-02-21_170627.png
Bei der Aufgabe 2) hänge ich mich auf und weiss nicht wie man in der Musterlösung darauf gekommen ist, dass man die PDF von Y mit 4 multiplizieren kann. Ebenso weiss ich nicht, wie die PDF von X dazu führt, dass man bei der Funktion von Y nur das Intervall zwischen 0 und +4 betrachtet. Es muss da irgendeine Verbindung geben, daher hat es für mich den Anschein, dass man das so immer machen kann.
Auch wird hierbei nicht auf die Betragsbildung eingegangen, obwohl der $\cos$ auch nicht-bijektiv ist, in dem skizzierten Intervall.
3)
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Bei der Aufgabe 3) wie man schnell ohne partiell zu integrieren auf das Integral kommt und wie sich die Integrationsgrenzen ergeben. Laut der PDF von Y aus Aufgabe 2) hat der Verlauf für positive Y Werte keine Funktionswerte. Also warum hier von -1 bis 1 und nicht von -1 bis 0 integriert wird.
4)
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Screenshot_2023-02-21_170713.png
Bei der Aufgabe 4) weiss ich zu Beginn nicht, warum die Symmetrie-Linie bei $-0.5$ liegt. Ebenso weiss ich nicht wie sich die darauf folgenden Integrale ergeben - Auch die Integrationsgrenzen, was mit "Betrachtung nur rechte Hälfte" gemeint ist und warum das Ergebnis der Integration mit ${k\over 8}$ gleichgesetzt werden muss.
5)
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Die Kompressorkennlinie soll wie der Name vielleicht andeuten lässt, entwas kleiner machen vielleicht? Bin da nicht sicher und ja wie kommt man auf den Verlauf der Kompressor- und Expanderkennlinie.
Viele Grüße
Sinnfrei
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PeterMeier123
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| Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-21
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Hey,
also ich hätte bei der 2.) so angefangen:
$F_X(x) = \frac{x}{4}$, für $0 \leq x \leq 4$ außerdem $f_Y(y) = \frac{d}{dy}F_Y(y) = \frac{d}{dy}P(Y
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Sinnfrei
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-21
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Guten Abend PeterMeier123
Nachtrag/Edit:
Ich musste beim integrieren substituieren, daher passt das und ich komme dann ebenfalls auf den selben Wert für $c$.
Den Rest von deinem Beitrag für die 2) habe ich soweit auch verstanden
Dankeschön 🙂
Dann habe ich da doch noch eine Frage, wie hast du bereits vor der Integration festgestellt, dass das Integral nicht den Wert 1 ergibt? Aus der Skizze könnte ich das nicht erkennen.
Viele Grüße
Sinnfrei
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PeterMeier123
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-22
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\quoteon
Dann habe ich da doch noch eine Frage, wie hast du bereits vor der Integration festgestellt, dass das Integral nicht den Wert 1 ergibt?
\quoteoff
Ich mache immer die Probe, wenn ich solche PDFs berechne, ob diese dann auch wirklich gültige PDFs sind, daher hatte ich dazwischen noch eine solche Probe "geschummelt" 😉
Viele Grüße,
Peter
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Sinnfrei
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-22
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\quoteon(2023-02-22 07:29 - PeterMeier123 in Beitrag No. 3)
\quoteon
Dann habe ich da doch noch eine Frage, wie hast du bereits vor der Integration festgestellt, dass das Integral nicht den Wert 1 ergibt?
\quoteoff
Ich mache immer die Probe, wenn ich solche PDFs berechne, ob diese dann auch wirklich gültige PDFs sind, daher hatte ich dazwischen noch eine solche Probe "geschummelt" 😉
Viele Grüße,
Peter
\quoteoff
Im Rahmen der Codierungstheorie wurden bei nicht-bijektiven Funktionen die folgende Herangehensweise, in der Veranstaltung, thematisiert. Vielleicht kann das jemand zu dieser Aufgabe in Verbindung setzen und wie es nach der Herangehensweise vielleicht doch irgendwie geht.
nicht-bijektive Abbildung von Zufallsvariablen
Dort wird auch die Betragsbildung erwähnt, indem die Anteile der Dichtefunktion für negative Abszissen Werte (z.B. $X$ Werte) in zwei Schritten graphisch zerlegt und überlagert werden.
Viele Grüße
Sinnfrei
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rlk
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Dabei seit: 16.03.2007
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-02-28
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Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2023-02-21 17:38 - Sinnfrei im Themenstart)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Screenshot_2023-02-21_170520.png
Die Aufgabe 1) ist klar.
\quoteoff
Angesichts der Schwierigkeiten, die Du mit dem Wertebereich von $X$ zu haben scheinst, denke ich, dass Du Dich noch genauer mit der Bedeutung der Dichtefunktion beschäftigen solltest.
\quoteon
Bei der Aufgabe 2) hänge ich mich auf und weiss nicht wie man in der Musterlösung darauf gekommen ist, dass man die PDF von Y mit 4 multiplizieren kann.
\quoteoff
Der Faktor 4 kommt daher, dass es zu jedem Wert $y$ der Zufallsvariablen $Y = g(X)$ 4 Urbilder gibt:
$$\begin{align*}
x_1 &= \frac{1}{\pi}\arccos(2(y + 0.5)) \\
x_2 &= 2 - x_1 \\
x_3 &= x_1 + 2 \\
x_4 &= 4 - x_1
\end{align*}$$
Jedes der Urbilder liefert den Beitrag
$$ \left|\frac{\dd y}{\dd x}\right| p_X(x_i) \qquad(5.1)$$
zur Dichte $p_Y(y)$. Weil diese hier denselben Wert haben, kann man einen dieser Beiträge mit 4 multiplizieren.
\quoteon
Ebenso weiss ich nicht, wie die PDF von X dazu führt, dass man bei der Funktion von Y nur das Intervall zwischen 0 und +4 betrachtet. Es muss da irgendeine Verbindung geben, daher hat es für mich den Anschein, dass man das so immer machen kann.
\quoteoff
Was bedeutet denn "auf $[0,4]$ gleichverteilt"? Wie lassen sich die Wahrscheinlichkeiten $P\{X < 0\}$ und $P\{X > 4\}$ aus der Dichtefunktion $p_X$ berechnen?
\quoteon
Auch wird hierbei nicht auf die Betragsbildung eingegangen, obwohl der $\cos$ auch nicht-bijektiv ist, in dem skizzierten Intervall.
\quoteoff
Welche Betragsbildung meinst Du hier? Die von PeterMeier123 erwähnte in $(5.1)$ oder die als Zwischenschritt bei einer quadratischen Funktion in
https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257674
verwendete?
Erstere gehört zu der für bijektive Funktionen $Y=g(X)$ gültigen Transformationsformel
$$ p_Y(y) = \left|\frac{\dd y}{\dd x}\right| p_X(g^{-1}(y)) \qquad(5.2),$$
letztere war ein Zwischenschritt, um $(5.2)$ auf die nicht bijektive Funktion $\IR \to \IR_+, Y = X^2$ anwenden zu können. Diese Methode ist hier nicht anwendbar, und wie StefanVogel in
https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257674
ausführlich erklärt hat, auch nicht notwendig.
\quoteon
3)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Screenshot_2023-02-21_170646.png
Bei der Aufgabe 3) wie man schnell ohne partiell zu integrieren auf das Integral kommt und wie sich die Integrationsgrenzen ergeben.
\quoteoff
Das erste Integral kannst Du auch mit der Substitution $2y \color{green}{+ 1} = \sin(u)$ bestimmen, die Integrationsgrenzen sind $-1$ und $0$. Ob das einfacher als die partielle Integration ist, kannst Du am besten selbst herausfinden, indem Du beide Wege versuchst.
\quoteon
Laut der PDF von Y aus Aufgabe 2) hat der Verlauf für positive Y Werte keine Funktionswerte.
\quoteoff
Die Dichtefunktion hat für alle reellen Zahlen $y$ Werte, aber für $y < -1$ und für $y > 0$ gilt $p_Y(y) = 0$. Aber Du hast recht, dass im ursprünglichen Integral von $-1$ bis $0$ integriert wird, weil die anderen Werte von $y$ wegen $p_Y(y) = 0$ keinen Beitrag zum Integral (über $\IR$) leisten.
\quoteon
Also warum hier von -1 bis 1 und nicht von -1 bis 0 integriert wird.
\quoteoff
Im dritten Integral hat $y$ eine andere Bedeutung als in den ersten beiden, anscheinend wurde eine Transformation $y \mapsto 2(y + 0.5) = 2y + 1$ angewandt und dabei die Beziehung zwischen $E\{(X+m)^2\}$ und $E\{X^2\}$ verwendet, in der $X$ eine mittelwertfreie Zufallsvariable darstellt, die Du nicht mit dem gleichverteilten $X$ aus Aufgaben 1 und 2 verwechseln darfst.
Ob diese Umformung die Rechnung vereinfacht, habe ich nicht nachgerechnet, aber auf jeden Fall wären etwas mehr Erklärungen hilfreich gewesen.
Zu den Aufgaben 4 und 5 werde ich später etwas schreiben.
Servus,
Roland
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Sinnfrei
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Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 585
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-14
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\quoteon(2023-02-28 23:00 - rlk in Beitrag No. 5)
Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2023-02-21 17:38 - Sinnfrei im Themenstart)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Screenshot_2023-02-21_170520.png
Die Aufgabe 1) ist klar.
\quoteoff
Angesichts der Schwierigkeiten, die Du mit dem Wertebereich von $X$ zu haben scheinst, denke ich, dass Du Dich noch genauer mit der Bedeutung der Dichtefunktion beschäftigen solltest.
\quoteoff
Ich habe doch geschrieben, dass mir diese Aufgabe klar ist. Warum denkst du das ich Probleme mit dem Wertebereich von $X$ habe? Mein Problem ist eher das was in der Aufgabe danach kommt, mit den 4 Teilintervallen.
Wenn eine Zufallsvariable gleichverteilt ist, dann hat die Fläche seiner PDF den auf 1 normierten Wert, also ist die Zufallsvariable X von 0 bis +4 gleichverteilt, meint es damit, dass die PDF von X die Höhe $1/4$ haben muss, da ansonsten die Fläche, in dem Wertebereich nicht $1$ wird.
\quoteon
\quoteon
Bei der Aufgabe 2) hänge ich mich auf und weiss nicht wie man in der Musterlösung darauf gekommen ist, dass man die PDF von Y mit 4 multiplizieren kann.
\quoteoff
Der Faktor 4 kommt daher, dass es zu jedem Wert $y$ der Zufallsvariablen $Y = g(X)$ 4 Urbilder gibt:
$$\begin{align*}
x_1 &= \frac{1}{\pi}\arccos(2(y + 0.5)) \\
x_2 &= 2 - x_1 \\
x_3 &= x_1 + 2 \\
x_4 &= 4 - x_1
\end{align*}$$
Jedes der Urbilder liefert den Beitrag
$$ \left|\frac{\dd y}{\dd x}\right| p_X(x_i) \qquad(5.1)$$
zur Dichte $p_Y(y)$. Weil diese hier denselben Wert haben, kann man einen dieser Beiträge mit 4 multiplizieren.
\quoteoff
Gut aber das wusste ich bereits auch schon, weil unser Prof. das auch mal so ähnlich, zu einer Übungsaufgabe gesagt hat, nur kann ich mir das nicht vorstellen. Ein Bild würde an dieser Stelle eher helfen. Das mit den Beiträgen verstehe ich in dem Zusammenhang mit der PDF von Y ebenfalls nicht.
\quoteon
\quoteon
Ebenso weiss ich nicht, wie die PDF von X dazu führt, dass man bei der Funktion von Y nur das Intervall zwischen 0 und +4 betrachtet. Es muss da irgendeine Verbindung geben, daher hat es für mich den Anschein, dass man das so immer machen kann.
\quoteoff
Was bedeutet denn "auf $[0,4]$ gleichverteilt"? Wie lassen sich die Wahrscheinlichkeiten $P\{X < 0\}$ und $P\{X > 4\}$ aus der Dichtefunktion $p_X$ berechnen?
\quoteoff
Das mit der Gleichverteilung habe ich bereits oben erklärt.
Soweit ich weiss kann man für die beiden Intervalle die Integrale nur angeben, weil die CDF so die Eigenschaften hat. Für $P_X\{X > 4\}$ hätte die CDF den Wert $1$ und für $P_X\{X < 0\}$ wäre die CDF von X $0$.
Wie die CDF für die beiden Intervalle anders berechnet werden, weiss ich jetzt nicht.
Die Ableitung müsste aber auch andersherum sein, also $|{dx\over dy}|$.
\quoteon
Welche Betragsbildung meinst Du hier? Die von PeterMeier123 erwähnte in $(5.1)$ oder die als Zwischenschritt bei einer quadratischen Funktion in
https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257674
verwendete?
Erstere gehört zu der für bijektive Funktionen $Y=g(X)$ gültigen Transformationsformel
$$ p_Y(y) = \left|\frac{\dd y}{\dd x}\right| p_X(g^{-1}(y)) \qquad(5.2),$$
letztere war ein Zwischenschritt, um $(5.2)$ auf die nicht bijektive Funktion $\IR \to \IR_+, Y = X^2$ anwenden zu können. Diese Methode ist hier nicht anwendbar, und wie StefanVogel in
https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257674
ausführlich erklärt hat, auch nicht notwendig.
\quoteoff
Ich sehe gerade keine Betragsbildung, die PeterMeier123 durchgeführt hat. Und die Betragsbildung von StefanVogel ist so gemeint, da hier der Wertebereich der Zufallsvariable $X$ mit $[0,+4]$ nicht negativ ist. Da wollte ich nur sichergehen ob ich das an der Stelle richtig verstanden habe oder nicht? Hättest du darauf nicht einfach so antworten können?
Damit hättest du dir und jetzt auch mir die Schreiberei an der Stelle erspart denke ich aber das bleibt letztendlich dir überlassen, wie du das machst.
\quoteon
3)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Screenshot_2023-02-21_170646.png
\quoteon
\quoteon
Also warum hier von -1 bis 1 und nicht von -1 bis 0 integriert wird.
\quoteoff
Im dritten Integral hat $y$ eine andere Bedeutung als in den ersten beiden, anscheinend wurde eine Transformation $y \mapsto 2(y + 0.5) = 2y + 1$ angewandt und dabei die Beziehung zwischen $E\{(X+m)^2\}$ und $E\{X^2\}$ verwendet, in der $X$ eine mittelwertfreie Zufallsvariable darstellt, die Du nicht mit dem gleichverteilten $X$ aus Aufgaben 1 und 2 verwechseln darfst.
Ob diese Umformung die Rechnung vereinfacht, habe ich nicht nachgerechnet, aber auf jeden Fall wären etwas mehr Erklärungen hilfreich gewesen.
\quoteoff
\quoteoff
Das sieht für mich nach einer Substitution aus wo aber wieder $y$ vorkommt.
In Aufgabe 2) heisst es ja ${1\over \pi}\cos(2(y + 0.5)) = {1\over\pi}\cos(2y + 1)$
Dann ist die PDF, aus einem Grund den ich bei 2) noch nicht verstehe, von $$p_Y(y) = {2\over\pi}{1\over \sqrt{1 - (2y + 1)^2}}$$
Substituiere ich z.B. $y'= 2y + 1$
erhalte ich $dy' = 2dy$
Die Grenzen werden dadurch zu $2(0) + 1 = 1$ (obere Grenze)
und $2(-1) + 1 = -1$ (untere Grenze)
Aber was danach mit der 2 als Vorfaktor passiert, keine Ahnung.
Woher weiss ich denn, dass die die Zufallsvariable $X$ mittelwertfrei ist?
Den Rest was du geschrieben hast verstehe ich auch nicht. Kannst du darauf genauer eingehen?
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rlk
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-03-23
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Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2023-03-14 00:21 - Sinnfrei in Beitrag No. 6)
\quoteon(2023-02-28 23:00 - rlk in Beitrag No. 5)
Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2023-02-21 17:38 - Sinnfrei im Themenstart)
Die Aufgabe 1) ist klar.
\quoteoff
Angesichts der Schwierigkeiten, die Du mit dem Wertebereich von $X$ zu haben scheinst, denke ich, dass Du Dich noch genauer mit der Bedeutung der Dichtefunktion beschäftigen solltest.
\quoteoff
Ich habe doch geschrieben, dass mir diese Aufgabe klar ist. Warum denkst du das ich Probleme mit dem Wertebereich von $X$ habe?
\quoteoff
Wenn Du die Aufgabe auf die Skizze der Dichtefunktion $p_X(x)$ reduzierst, hast Du sie richtig gelöst. Wegen Deiner Aussage
\quoteon(2023-02-21 17:38 - Sinnfrei im Themenstart)
Ebenso weiss ich nicht, wie die PDF von X dazu führt, dass man bei der Funktion von Y nur das Intervall zwischen 0 und +4 betrachtet.
\quoteoff
habe ich vermutet, dass Dir die Bedeutung der Dichtefunktion noch nicht klar geworden ist. Das bestätigst Du weiter unten in Beitrag No. 6.
\quoteon
Mein Problem ist eher das was in der Aufgabe danach kommt, mit den 4 Teilintervallen.
Wenn eine Zufallsvariable gleichverteilt ist, dann hat die Fläche seiner PDF den auf 1 normierten Wert, also ist die Zufallsvariable X von 0 bis +4 gleichverteilt, meint es damit, dass die PDF von X die Höhe $1/4$ haben muss, da ansonsten die Fläche, in dem Wertebereich nicht $1$ wird.
\quoteoff
Das ist richtig, aber die wichtige Tatsache, dass $X$ nur Werte aus dem Intervall $[0,4]$ annimmt, fehlt.
\quoteon
\quoteon
\quoteon
Bei der Aufgabe 2) hänge ich mich auf und weiss nicht wie man in der Musterlösung darauf gekommen ist, dass man die PDF von Y mit 4 multiplizieren kann.
\quoteoff
Der Faktor 4 kommt daher, dass es zu jedem Wert $y$ der Zufallsvariablen $Y = g(X)$ 4 Urbilder gibt:
$$\begin{align*}
x_1 &= \frac{1}{\pi}\arccos(2(y + 0.5)) \\
x_2 &= 2 - x_1 \\
x_3 &= x_1 + 2 \\
x_4 &= 4 - x_1
\end{align*}$$
Jedes der Urbilder liefert den Beitrag
$$ \left|\frac{\dd y}{\dd x}\right| p_X(x_i) \qquad(5.1)$$
zur Dichte $p_Y(y)$. Weil diese hier denselben Wert haben, kann man einen dieser Beiträge mit 4 multiplizieren.
\quoteoff
Gut aber das wusste ich bereits auch schon, weil unser Prof. das auch mal so ähnlich, zu einer Übungsaufgabe gesagt hat, nur kann ich mir das nicht vorstellen.
\quoteoff
Hier weiß ich nicht, was Du mit "das" meinst. Kannst Du die 4 Urbilder $x_1, \ldots, x_4$ nachvollziehen? Verstehst Du die Transformationsformel
$$\left|\frac{\dd x}{\dd y}\right| p_X(x_i) \qquad(7.1)?$$
Wie Du richtig festgestellt hast, sind in $(5.1)$ $\dd x$ und $\dd y$ vertauscht.
\quoteon
Ein Bild würde an dieser Stelle eher helfen.
Das mit den Beiträgen verstehe ich in dem Zusammenhang mit der PDF von Y ebenfalls nicht.
\quoteoff
https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/uploads/c/17466_RV-tr1.png
In diesem Bild betrachte ich die Transformation $Y = g(X)$ der gleichverteilten Zufallsvariablen $X$. Sie hat eine stückweise konstante Ableitung, daher haben Differenzquotienten und Differentialquotienten denselben Wert. Ich rechne im folgenden mit Differenzquotienten, verwende aber das Symbol $\frac{\dd y}{\dd x}$, weil das Ergebnis $(7.8)$ durch den Grenzübergang $\dd y\to 0$ auf differenzierbare Funktionen erweitert werden kann.
Für den markierten Wert $y$ hat die Funktion $g$ vier Urbilder $x_1, \ldots, x_4$, die in dem Wertebereich von $X$ liegen.
Um den Wert $p_Y(y)$ der Dichtefunktion an dieser Stelle zu bestimmen, rufen wir uns in Erinnerung, was dieser Wert bedeutet: $p_Y(y) \dd y$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y$ Werte im Intervall $[y, y + \dd y]$ annimmt. Das ist der Fall, wenn $X$ in einem der Intervalle
$$\begin{align*}
I_1 = [x_1, x_1 + \dd x_1] \\
I_2 = [x_2 + \dd x_2, x_2] \\
I_3 = [x_3, x_3 + \dd x_3] \\
I_4 = [x_4 + \dd x_4, x_4]
\end{align*}$$
liegt (beachte, dass $\dd x_2$ und $\dd x_4$ negativ sind). An den Steigungsdreiecken kann man die Beziehung
$$ \dd x_i = \frac{\dd x}{\dd y}(x_i) \dd y = \frac{1}{g'(x_i)} \dd y \qquad(7.2)$$
ablesen. Die nichtnegativen Breiten der Intervalle $I_i$ sind daher wegen $\dd y > 0$
$$ |I_i| = |\dd x_i| = \left|\frac{\dd x}{\dd y}(x_i) \dd y\right| = \left|\frac{1}{g'(x_i)}\right| \dd y \qquad(7.3).$$
Die Wahrscheinlichkeiten der disjunkten Ereignisse $X \in I_i$ haben die Werte
$$P\{X \in I_i\} = p_X(x_i) |\dd x_i| \qquad(7.4) $$
sie entsprechen im Bild den Flächen der schraffierten oder gefärbten Rechtecke unterhalb des Graphen der Dichtefunktion $p_X$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit
$$P\{Y \in [y, y + \dd y]\} = P\{ (X \in I_1) \vee (X \in I_2) \vee (X \in I_3) \vee (X \in I_4)\} \qquad(7.5) $$
ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der disjunkten Ereignisse $\{X \in I_i\}$
$$P\{Y \in [y, y + \dd y]\} = P\{X \in I_1\} + P\{X \in I_2\} + P\{X \in I_3\} + P\{X \in I_4\} \qquad(7.6).$$
Setzt man die Wahrscheinlichkeiten aus $(7.3)$ und $(7.4)$ in $(7.6)$ ein, so erhält man
$$P\{Y \in [y, y + \dd y]\} = p_Y(y) \dd y = \frac{p_X(x_1)}{|g'(x_1)|} \dd y + \frac{p_X(x_2)}{|g'(x_2)|} \dd y + \frac{p_X(x_3)}{|g'(x_3)|} \dd y + \frac{p_X(x_4)}{|g'(x_r)|} \dd y\qquad(7.7).$$
Die Summanden auf der rechten Seite von $(7.7)$ habe ich "Beiträge" genannt, im Bild entsprechen sie den Flächen der schraffierten bzw. gefärbten Rechtecke, die nebeneinander gelegt die Fläche $p_Y(y) \dd y$ zwischen dem Graphen der gesuchten Dichtefunktion $p_Y$ und der $t$-Achse ergeben.
In der Rechnung ist $\dd y$ eine positive reelle Zahl, daher können wir $(7.7)$ durch $\dd y$ teilen, um die Erweiterung von $(7.1)$ auf nicht-bijektive Funktionen zu erhalten:
$$p_Y(y) = \sum_{i = 1}^n \frac{p_X(x_i)}{|g'(x_i)|} \qquad(7.8)$$
wobei $n$ die Anzahl der Urbilder $x_i$ von $y$ ist. In der gezeichneten Kurve kommen die Fälle $n = 1$, $n = 2$, $n = 3$ und der eingezeichnete Fall $n = 4$ vor.
Für differenzierbare Funktionen, bei denen die Ableitung $g'(x)$ nicht konstant ist wie die Kosinusfunktion in dem Beispiel muss man den Grenzübergang $\dd y \to 0$ bilden, aber $(7.8)$ gilt auch dann.
In der Aufgabe mit der Kosinusfunktion ist $n = 4$, weil die Beträge $|g'(x_i)|$ der Ableitungen dort alle den gleichen Wert haben, kann man die Summe durch $4 \frac{p_X(x_i)}{|g'(x_i)|}$ ersetzen und erhält so die gesuchte Dichtefunktion.
\quoteon
\quoteon
\quoteon
Ebenso weiss ich nicht, wie die PDF von X dazu führt, dass man bei der Funktion von Y nur das Intervall zwischen 0 und +4 betrachtet. Es muss da irgendeine Verbindung geben, daher hat es für mich den Anschein, dass man das so immer machen kann.
\quoteoff
Was bedeutet denn "auf $[0,4]$ gleichverteilt"? Wie lassen sich die Wahrscheinlichkeiten $P\{X < 0\}$ und $P\{X > 4\}$ aus der Dichtefunktion $p_X$ berechnen?
\quoteoff
Das mit der Gleichverteilung habe ich bereits oben erklärt.
Soweit ich weiss kann man für die beiden Intervalle die Integrale nur angeben, weil die CDF so die Eigenschaften hat. Für $P_X\{X > 4\}$ hätte die CDF den Wert $1$ und für $P_X\{X < 0\}$ wäre die CDF von X $0$.
\quoteoff
Hier bringst Du die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse ${X < 0}$ und ${X>4}$ mit den Werten der Verteilungsfunktion (CDF) an den Stellen $a = 0$ und $b = 4$ durcheinander. Sie hängen über
$$P\{X < 0\} = P_X(a) = P_X(0) =0 \qquad(7.9)$$
und
$$P\{X > 4\} = 1 - P\{X \leq 4\} = 1 - P_X(b) = 1 - P_X(4) =0 \qquad(7.10)$$
zusammen. Daraus folgt, dass $X$ nur Werte aus $[0,4]$ annimmt, daher muss die Funktion $Y=g(X)$ nur für Argumente aus diesem Intervall untersucht werden.
\quoteon
Wie die CDF für die beiden Intervalle anders berechnet werden, weiss ich jetzt nicht.
\quoteoff
Wieso denkst Du, dass Du Werte der CDF anders berechnen sollst? Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten kannst Du auch durch Integration der Dichtefunktion über die entsprechenden Intervalle bestimmen, weil dort $p_X(x) = 0$ gilt, ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten $P\{X < 0\} = 0$ und $P\{X > 4\} = 0$.
\quoteon
Die Ableitung müsste aber auch andersherum sein, also $|{dx\over dy}|$.
\quoteoff
Ja, da hatte ich einen Fehler, sorry!
\quoteon
\quoteon
Welche Betragsbildung meinst Du hier? Die von PeterMeier123 erwähnte in $(5.1)$ oder die als Zwischenschritt bei einer quadratischen Funktion in
https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257674
verwendete?
Erstere gehört zu der für bijektive Funktionen $Y=g(X)$ gültigen Transformationsformel
$$ p_Y(y) = \left|\frac{\dd y}{\dd x}\right| p_X(g^{-1}(y)) \qquad(5.2),$$
letztere war ein Zwischenschritt, um $(5.2)$ auf die nicht bijektive Funktion $\IR \to \IR_+, Y = X^2$ anwenden zu können. Diese Methode ist hier nicht anwendbar, und wie StefanVogel in
https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257674
ausführlich erklärt hat, auch nicht notwendig.
\quoteoff
Ich sehe gerade keine Betragsbildung, die PeterMeier123 durchgeführt hat.
\quoteoff
Ich hatte seine Bemerkung
\quoteon(2023-02-21 20:40 - PeterMeier123 in Beitrag No. 1)
Der Betrag erschließt sich mir aktuell auch
(noch) nicht... 🤔
\quoteoff
so verstanden, dass ihm die Betragsstriche um den Differentialquotienten in $(7.1)$ unklar sind, er hat das in seiner Rechnung mit der negativen Konstanten $c = -4$ korrigiert.
\quoteon
Und die Betragsbildung von StefanVogel ist so gemeint, da hier der Wertebereich der Zufallsvariable $X$ mit $[0,+4]$ nicht negativ ist.
\quoteoff
Hier verstehe ich nicht, was Du meinst. In diesem Beispiel wird $X$ nicht negativ, daher wäre die Bildung des Betrags $|X|$ wirkungslos (für $X\geq 0$ ist $|X|=X$).
\quoteon
Da wollte ich nur sichergehen ob ich das an der Stelle richtig verstanden habe oder nicht?
\quoteoff
Es klingt für mich nicht danach, dass Du verstanden hast
1. Warum in dem in https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257674 besprochenen Beispiel die Abbildung $X' = |X|$ betrachtet wird.
2. Warum dieser Schritt kein Allheilmittel für nicht-bijektive Abbildungen von Zufallsvariablen ist.
\quoteon
Hättest du darauf nicht einfach so antworten können?
\quoteoff
Ich hatte nicht verstanden, wonach Du gefragt hast, auch jetzt bin ich noch unsicher. Welche einfache Antwort hätte ich da geben können?
Servus,
Roland
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rlk
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-25
|
Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2023-03-14 00:21 - Sinnfrei in Beitrag No. 6)
\quoteon(2023-02-28 23:00 - rlk in Beitrag No. 5)
Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2023-02-21 17:38 - Sinnfrei im Themenstart)
3)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Screenshot_2023-02-21_170646.png
Also warum hier von -1 bis 1 und nicht von -1 bis 0 integriert wird.
\quoteoff
Im dritten Integral hat $y$ eine andere Bedeutung als in den ersten beiden, anscheinend wurde eine Transformation $y \mapsto 2(y + 0.5) = 2y + 1$ angewandt und dabei die Beziehung zwischen $E\{(X+m)^2\}$ und $E\{X^2\}$ verwendet, in der $X$ eine mittelwertfreie Zufallsvariable darstellt, die Du nicht mit dem gleichverteilten $X$ aus Aufgaben 1 und 2 verwechseln darfst.
Ob diese Umformung die Rechnung vereinfacht, habe ich nicht nachgerechnet, aber auf jeden Fall wären etwas mehr Erklärungen hilfreich gewesen.
\quoteoff
Das sieht für mich nach einer Substitution aus wo aber wieder $y$ vorkommt.
\quoteoff
Das ist richtig.
\quoteon
In Aufgabe 2) heisst es ja ${1\over \pi}\cos(2(y + 0.5)) = {1\over\pi}\cos(2y + 1)$
Dann ist die PDF, aus einem Grund den ich bei 2) noch nicht verstehe, von $$p_Y(y) = {\color{red}{2}\over\pi}{1\over \sqrt{1 - (2y + 1)^2}}$$
\quoteoff
Ist Dir schon klarer geworden, wie die Dichtefunktion $p_Y$ zustande kommt?
\quoteon
Substituiere ich z.B. $y'= 2y + 1$
erhalte ich $dy' = \color{cyan}{2}dy$
Die Grenzen werden dadurch zu $2(0) + 1 = 1$ (obere Grenze)
und $2(-1) + 1 = -1$ (untere Grenze)
Aber was danach mit der 2 als Vorfaktor passiert, keine Ahnung.
\quoteoff
Welchen Faktor 2 meinst Du, den $\color{red}{\mathrm{rot}}$ markierten oder den in $\color{cyan}{\mathrm{cyan}}$?
Es handelt sich um eine einfache Anwendung der Substitutionsregel mit $y'=h(y)=2y+1$, $y=h^{-1}(y')=\frac{y'-1}{2}$, $\dd y=\frac{\dd y'}{2}$:
$$\operatorname{E}(Y^2) = \int_{-1}^{0} y^2 p_Y(y)\,\dd y = \int_{-1}^{1} \left(\frac{y'-1}{2}\right)^2 p_Y\left(\frac{y'-1}{2}\right) \frac{1}{2} \,\dd y'= \frac{1}{4}\int_{-1}^{1}(y'^2-2y'+1) \frac{1}{2} p_Y\left(\frac{y'-1}{2}\right)\,\dd y' \qquad(8.1)$$
Der Term
$$\frac{1}{2} p_Y\left(\frac{y'-1}{2}\right) = \frac{1}{h'(y')} p_Y\left(\frac{y'-1}{2}\right) = \cases{\frac{1}{\pi} \frac{1}{\sqrt{1-y'^2}}, \quad |y'| < 1 \\
0, \qquad |y'| > 1} \qquad(8.2)$$
ist die Dichtefunktion der Zufallsvariablen $Y' = h(Y)$. Sie ist gerade, $p_{Y'}(y') = p_{Y'}(-y')$, was die Symmetrie von $p_Y$ zu der Geraden $y = h^{-1}(0)=-0.5$ zeigt. Setzt man $p_{Y'}(y')$ aus $(8.2)$ in $(8.1)$ ein, erhält man
$$\operatorname{E}(Y^2) = \frac{1}{4}\int_{-1}^{1}(y'^2-2y'+1) p_{Y'}(y')\,\dd y'= \frac{1}{4}\int_{-1}^{1} y'^2 p_{Y'}(y')\,\dd y' - \frac{1}{2}\int_{-1}^{1}y' p_{Y'}(y')\,\dd y' + \frac{1}{4}\int_{-1}^{1} 1\cdot p_{Y'}(y')\,\dd y' =\\
= \frac{1}{4}\operatorname{E}(Y'^2) - \frac{1}{2}\operatorname{E}(Y') + \frac{1}{4}\operatorname{E}(1) \qquad(8.3)$$
\quoteon
Woher weiss ich denn, dass die die Zufallsvariable $X$ mittelwertfrei ist?
\quoteoff
Die Zufallsvariable habe ich $Y'$ genannt, um Verwechslungen mit dem auf $[0,4]$ gleichverteilten $X$ aus Aufgaben 1 und 2 zu vermeiden. Dass $Y'$ mittelwertfrei ist, folgt aus der Symmetrie der Dichtefunktion $p_{Y'}$: der Integrand ist das Produkt aus der ungeraden Funktion $y' \mapsto y'$ und der geraden Funktion $y' \mapsto p_{Y'}(y')$, also ungerade. Das Integral einer ungeraden Funktion über das symmetrisch um Null liegende Intervall $[-1, 1]$ hat den Wert Null.
$$\operatorname{E}(Y') = \int_{-1}^{1}y' p_{Y'}(y')\,\dd y' = 0 $$
\quoteon
Den Rest was du geschrieben hast verstehe ich auch nicht. Kannst du darauf genauer eingehen?
\quoteoff
Was genau verstehst Du nicht?
\quoteon(2023-03-14 00:21 - Sinnfrei in Beitrag No. 6)
\quoteon(2023-02-28 23:00 - rlk in Beitrag No. 5)
Im dritten Integral hat $y$ eine andere Bedeutung als in den ersten beiden, anscheinend wurde eine Transformation $y \mapsto 2(y + 0.5) = 2y + 1$ angewandt
\quoteoff
\quoteoff
Hier beschreibe ich die Substitution und weise darauf hin, dass auch die substituierte Variable ($y'$ in unserer Rechnung) in der Musterlösung ungünstigerweise wieder $y$ genannt wurde.
\quoteon
\quoteon
und dabei die Beziehung zwischen $E\{(X+m)^2\}$ und $E\{X^2\}$ verwendet, in der $X$ eine mittelwertfreie Zufallsvariable darstellt, die Du nicht mit dem gleichverteilten $X$ aus Aufgaben 1 und 2 verwechseln darfst.
\quoteoff
\quoteoff
Das $X$ in der Musterlösung habe ich $Y'$ genannt, in Gleichung $(8.3)$ ist $m = 1$.
\quoteon
\quoteon
Ob diese Umformung die Rechnung vereinfacht, habe ich nicht nachgerechnet, aber auf jeden Fall wären etwas mehr Erklärungen hilfreich gewesen.
\quoteoff
\quoteoff
Ich hoffe, dass meine Erklärung Dir weiterhilft.
Servus,
Roland
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-28
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\quoteon(2023-03-23 23:15 - rlk in Beitrag No. 7)
Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2023-03-14 00:21 - Sinnfrei in Beitrag No. 6)
\quoteon(2023-02-28 23:00 - rlk in Beitrag No. 5)
Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2023-02-21 17:38 - Sinnfrei im Themenstart)
Die Aufgabe 1) ist klar.
\quoteoff
Angesichts der Schwierigkeiten, die Du mit dem Wertebereich von $X$ zu haben scheinst, denke ich, dass Du Dich noch genauer mit der Bedeutung der Dichtefunktion beschäftigen solltest.
\quoteoff
Ich habe doch geschrieben, dass mir diese Aufgabe klar ist. Warum denkst du das ich Probleme mit dem Wertebereich von $X$ habe?
\quoteoff
Wenn Du die Aufgabe auf die Skizze der Dichtefunktion $p_X(x)$ reduzierst, hast Du sie richtig gelöst. Wegen Deiner Aussage
\quoteon(2023-02-21 17:38 - Sinnfrei im Themenstart)
Ebenso weiss ich nicht, wie die PDF von X dazu führt, dass man bei der Funktion von Y nur das Intervall zwischen 0 und +4 betrachtet.
\quoteoff
habe ich vermutet, dass Dir die Bedeutung der Dichtefunktion noch nicht klar geworden ist. Das bestätigst Du weiter unten in Beitrag No. 6.
\quoteon
Mein Problem ist eher das was in der Aufgabe danach kommt, mit den 4 Teilintervallen.
Wenn eine Zufallsvariable gleichverteilt ist, dann hat die Fläche seiner PDF den auf 1 normierten Wert, also ist die Zufallsvariable X von 0 bis +4 gleichverteilt, meint es damit, dass die PDF von X die Höhe $1/4$ haben muss, da ansonsten die Fläche, in dem Wertebereich nicht $1$ wird.
\quoteoff
Das ist richtig, aber die wichtige Tatsache, dass $X$ nur Werte aus dem Intervall $[0,4]$ annimmt, fehlt.
\quoteon
\quoteon
\quoteon
Bei der Aufgabe 2) hänge ich mich auf und weiss nicht wie man in der Musterlösung darauf gekommen ist, dass man die PDF von Y mit 4 multiplizieren kann.
\quoteoff
Der Faktor 4 kommt daher, dass es zu jedem Wert $y$ der Zufallsvariablen $Y = g(X)$ 4 Urbilder gibt:
$$\begin{align*}
x_1 &= \frac{1}{\pi}\arccos(2(y + 0.5)) \\
x_2 &= 2 - x_1 \\
x_3 &= x_1 + 2 \\
x_4 &= 4 - x_1
\end{align*}$$
Jedes der Urbilder liefert den Beitrag
$$ \left|\frac{\dd y}{\dd x}\right| p_X(x_i) \qquad(5.1)$$
zur Dichte $p_Y(y)$. Weil diese hier denselben Wert haben, kann man einen dieser Beiträge mit 4 multiplizieren.
\quoteoff
Gut aber das wusste ich bereits auch schon, weil unser Prof. das auch mal so ähnlich, zu einer Übungsaufgabe gesagt hat, nur kann ich mir das nicht vorstellen.
\quoteoff
Hier weiß ich nicht, was Du mit "das" meinst. Kannst Du die 4 Urbilder $x_1, \ldots, x_4$ nachvollziehen? Verstehst Du die Transformationsformel
$$\left|\frac{\dd x}{\dd y}\right| p_X(x_i) \qquad(7.1)?$$
Wie Du richtig festgestellt hast, sind in $(5.1)$ $\dd x$ und $\dd y$ vertauscht.
\quoteon
Ein Bild würde an dieser Stelle eher helfen.
Das mit den Beiträgen verstehe ich in dem Zusammenhang mit der PDF von Y ebenfalls nicht.
\quoteoff
https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/uploads/c/17466_RV-tr1.png
In diesem Bild betrachte ich die Transformation $Y = g(X)$ der gleichverteilten Zufallsvariablen $X$. Sie hat eine stückweise konstante Ableitung, daher haben Differenzquotienten und Differentialquotienten denselben Wert. Ich rechne im folgenden mit Differenzquotienten, verwende aber das Symbol $\frac{\dd y}{\dd x}$, weil das Ergebnis $(7.8)$ durch den Grenzübergang $\dd y\to 0$ auf differenzierbare Funktionen erweitert werden kann.
Für den markierten Wert $y$ hat die Funktion $g$ vier Urbilder $x_1, \ldots, x_4$, die in dem Wertebereich von $X$ liegen.
Um den Wert $p_Y(y)$ der Dichtefunktion an dieser Stelle zu bestimmen, rufen wir uns in Erinnerung, was dieser Wert bedeutet: $p_Y(y) \dd y$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y$ Werte im Intervall $[y, y + \dd y]$ annimmt. Das ist der Fall, wenn $X$ in einem der Intervalle
$$\begin{align*}
I_1 = [x_1, x_1 + \dd x_1] \\
I_2 = [x_2 + \dd x_2, x_2] \\
I_3 = [x_3, x_3 + \dd x_3] \\
I_4 = [x_4 + \dd x_4, x_4]
\end{align*}$$
liegt (beachte, dass $\dd x_2$ und $\dd x_4$ negativ sind). An den Steigungsdreiecken kann man die Beziehung
$$ \dd x_i = \frac{\dd x}{\dd y}(x_i) \dd y = \frac{1}{g'(x_i)} \dd y \qquad(7.2)$$
ablesen. Die nichtnegativen Breiten der Intervalle $I_i$ sind daher wegen $\dd y > 0$
$$ |I_i| = |\dd x_i| = \left|\frac{\dd x}{\dd y}(x_i) \dd y\right| = \left|\frac{1}{g'(x_i)}\right| \dd y \qquad(7.3).$$
Die Wahrscheinlichkeiten der disjunkten Ereignisse $X \in I_i$ haben die Werte
$$P\{X \in I_i\} = p_X(x_i) |\dd x_i| \qquad(7.4) $$
sie entsprechen im Bild den Flächen der schraffierten oder gefärbten Rechtecke unterhalb des Graphen der Dichtefunktion $p_X$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit
$$P\{Y \in [y, y + \dd y]\} = P\{ (X \in I_1) \vee (X \in I_2) \vee (X \in I_3) \vee (X \in I_4)\} \qquad(7.5) $$
ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der disjunkten Ereignisse $\{X \in I_i\}$
$$P\{Y \in [y, y + \dd y]\} = P\{X \in I_1\} + P\{X \in I_2\} + P\{X \in I_3\} + P\{X \in I_4\} \qquad(7.6).$$
Setzt man die Wahrscheinlichkeiten aus $(7.3)$ und $(7.4)$ in $(7.6)$ ein, so erhält man
$$P\{Y \in [y, y + \dd y]\} = p_Y(y) \dd y = \frac{p_X(x_1)}{|g'(x_1)|} \dd y + \frac{p_X(x_2)}{|g'(x_2)|} \dd y + \frac{p_X(x_3)}{|g'(x_3)|} \dd y + \frac{p_X(x_4)}{|g'(x_r)|} \dd y\qquad(7.7).$$
Die Summanden auf der rechten Seite von $(7.7)$ habe ich "Beiträge" genannt, im Bild entsprechen sie den Flächen der schraffierten bzw. gefärbten Rechtecke, die nebeneinander gelegt die Fläche $p_Y(y) \dd y$ zwischen dem Graphen der gesuchten Dichtefunktion $p_Y$ und der $t$-Achse ergeben.
In der Rechnung ist $\dd y$ eine positive reelle Zahl, daher können wir $(7.7)$ durch $\dd y$ teilen, um die Erweiterung von $(7.1)$ auf nicht-bijektive Funktionen zu erhalten:
$$p_Y(y) = \sum_{i = 1}^n \frac{p_X(x_i)}{|g'(x_i)|} \qquad(7.8)$$
wobei $n$ die Anzahl der Urbilder $x_i$ von $y$ ist. In der gezeichneten Kurve kommen die Fälle $n = 1$, $n = 2$, $n = 3$ und der eingezeichnete Fall $n = 4$ vor.
Für differenzierbare Funktionen, bei denen die Ableitung $g'(x)$ nicht konstant ist wie die Kosinusfunktion in dem Beispiel muss man den Grenzübergang $\dd y \to 0$ bilden, aber $(7.8)$ gilt auch dann.
In der Aufgabe mit der Kosinusfunktion ist $n = 4$, weil die Beträge $|g'(x_i)|$ der Ableitungen dort alle den gleichen Wert haben, kann man die Summe durch $4 \frac{p_X(x_i)}{|g'(x_i)|}$ ersetzen und erhält so die gesuchte Dichtefunktion.
\quoteoff
Die Rechnung habe ich auf den einen Bereich verstanden aber die gesamte PDF von Y ergibt dadurch für mich, irgendwie keinen Sinn. Ich habe mal markiert was ich nicht verstehe
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_17466_RV-tr1_1_.png
Und ausserdem wirkt das auf mich so, als hätte man schon im voraus die PDF von Y gekannt. Also ich verstehe nicht warum du dir die Mühe machst und dir eine Lineare Funktion nimmst, anstelle das du es an der Aufgabe zeigst. Ich finde das Beispiel, dass du skizziert hast, schlecht. Wir haben hier parabelförmige Verläufe. Das Beispiel mit den Intervallen habe ich verstanden aber die PDF von Y immer noch nicht. Wir haben hier parabelförmige Verläufe und was heisst denn wenn ich schreibe $p_X(y = 0.5cos(\pi X) - 0.5)$
Ich weiss nur das mit $p_X(x)$ die Funktion ein $\operatorname{rect}$ gemeint ist aber ich setze ja für $x$ den Wert für $y$ ein und das verwirrt mich. Wie z.B. in der folgenden Aufgabe
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Unbenannt.png
Das was ich in rot markiert habe verstehe ich nicht. Bei $f_X(ln(y))$ denke ich, dass muss doch derselbe Verlauf der Dichtefunktion von X sein aber irgendwie klappt es nicht und dann sind wir wieder bei dem Beispiel mit $Y = X^2$. Dort sah die PDF von Y ja wie folgt aus.
$$p_Y(y) = {p_X(\sqrt{y}) + p_X(-\sqrt{y})\over 2\sqrt{y}}$$
\quoteon
\quoteon
\quoteon
\quoteon
Ebenso weiss ich nicht, wie die PDF von X dazu führt, dass man bei der Funktion von Y nur das Intervall zwischen 0 und +4 betrachtet. Es muss da irgendeine Verbindung geben, daher hat es für mich den Anschein, dass man das so immer machen kann.
\quoteoff
Was bedeutet denn "auf $[0,4]$ gleichverteilt"? Wie lassen sich die Wahrscheinlichkeiten $P\{X < 0\}$ und $P\{X > 4\}$ aus der Dichtefunktion $p_X$ berechnen?
\quoteoff
Das mit der Gleichverteilung habe ich bereits oben erklärt.
Soweit ich weiss kann man für die beiden Intervalle die Integrale nur angeben, weil die CDF so die Eigenschaften hat. Für $P_X\{X > 4\}$ hätte die CDF den Wert $1$ und für $P_X\{X < 0\}$ wäre die CDF von X $0$.
\quoteoff
Wieso denkst Du, dass Du Werte der CDF anders berechnen sollst? Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten kannst Du auch durch Integration der Dichtefunktion über die entsprechenden Intervalle bestimmen, weil dort $p_X(x) = 0$ gilt, ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten $P\{X < 0\} = 0$ und $P\{X > 4\} = 0$.
\quoteoff
Das denke ich gar nicht. Ich bin davon ausgegangen das du das so meinst.
Ansonsten hatte ich mich da nur den Index vertan, obwohl das die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse bzw. einer Menge/Intervalls ist.
Wenn ich doch sage, dass $P\{X\leq 4\} = 1$ ist, dann sehe ich doch im Verlauf der CDF, dass ab $X = 4$ der Verlauf konstant auf $1$ bleibt, also wenn doch $P\{X \leq 4\} = 1$ dann müsste doch auch $P\{X > 4\} = 1$ sein oder nicht?
Ansonsten habe ich diese Formeln auch schon einmal gesehen. Klingt nach der Wahrscheinlichkeit des Komplements eines Ereignisses.
Z.B. $P\{\bar{A}\} = 1 - P\{A\}$
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rlk
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Mitteilungen: 11603
Wohnort: Wien
| Beitrag No.10, eingetragen 2023-03-30
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Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2023-03-28 05:55 - Sinnfrei in Beitrag No. 9)
\quoteon(2023-03-23 23:15 - rlk in Beitrag No. 7)
Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2023-03-14 00:21 - Sinnfrei in Beitrag No. 6)
\quoteon(2023-02-28 23:00 - rlk in Beitrag No. 5)
Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2023-02-21 17:38 - Sinnfrei im Themenstart)
Bei der Aufgabe 2) hänge ich mich auf und weiss nicht wie man in der Musterlösung darauf gekommen ist, dass man die PDF von Y mit 4 multiplizieren kann.
\quoteoff
Der Faktor 4 kommt daher, dass es zu jedem Wert $y$ der Zufallsvariablen $Y = g(X)$ 4 Urbilder gibt:
$$\begin{align*}
x_1 &= \frac{1}{\pi}\arccos(2(y + 0.5)) \\
x_2 &= 2 - x_1 \\
x_3 &= x_1 + 2 \\
x_4 &= 4 - x_1
\end{align*}$$
Jedes der Urbilder liefert den Beitrag
$$ \left|\frac{\dd y}{\dd x}\right| p_X(x_i) \qquad(5.1)$$
zur Dichte $p_Y(y)$. Weil diese hier denselben Wert haben, kann man einen dieser Beiträge mit 4 multiplizieren.
\quoteoff
Gut aber das wusste ich bereits auch schon, weil unser Prof. das auch mal so ähnlich, zu einer Übungsaufgabe gesagt hat, nur kann ich mir das nicht vorstellen.
\quoteoff
Hier weiß ich nicht, was Du mit "das" meinst. Kannst Du die 4 Urbilder $x_1, \ldots, x_4$ nachvollziehen? Verstehst Du die Transformationsformel
$$\left|\frac{\dd x}{\dd y}\right| p_X(x_i) \qquad(7.1)?$$
\quoteoff
\quoteoff
Warum beantwortest Du diese Fragen nicht?
\quoteon
\quoteon
\quoteon
Ein Bild würde an dieser Stelle eher helfen.
Das mit den Beiträgen verstehe ich in dem Zusammenhang mit der PDF von Y ebenfalls nicht.
\quoteoff
$$p_Y(y) = \sum_{i = 1}^n \frac{p_X(x_i)}{|g'(x_i)|} \qquad(7.8)$$
wobei $n$ die Anzahl der Urbilder $x_i$ von $y$ ist. In der gezeichneten Kurve kommen die Fälle $n = 1$, $n = 2$, $n = 3$ und der eingezeichnete Fall $n = 4$ vor.
Für differenzierbare Funktionen, bei denen die Ableitung $g'(x)$ nicht konstant ist wie die Kosinusfunktion in dem Beispiel muss man den Grenzübergang $\dd y \to 0$ bilden, aber $(7.8)$ gilt auch dann.
In der Aufgabe mit der Kosinusfunktion ist $n = 4$, weil die Beträge $|g'(x_i)|$ der Ableitungen dort alle den gleichen Wert haben, kann man die Summe durch $4 \frac{p_X(x_i)}{|g'(x_i)|}$ ersetzen und erhält so die gesuchte Dichtefunktion.
\quoteoff
Die Rechnung habe ich auf den einen Bereich verstanden aber die gesamte PDF von Y ergibt dadurch für mich, irgendwie keinen Sinn.
\quoteoff
Kannst Du schreiben, wass genau keinen Sinn zu machen scheint? Solange ich nicht weiß, wo Deine Schwierigkeiten liegen, fällt es mir schwer, Dir zu helfen.
\quoteon
Ich habe mal markiert was ich nicht verstehe
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_17466_RV-tr1_1_.png
\quoteoff
Ich sehe nur rot markiert "1 teile?", weiß aber nicht, was Du damit meinst.
Du hast die Wahrscheinlichkeit $P\{6Bestimmung der Dichtefunktion $p_Y$ aus dem Beispiel klar wird. Wir betrachten ein Intervall $[y,y+\dd y]$ auf der $y$-Achse, in meinem Bild habe ich $y = 7$ und $\dd y = 2$ skizziert. Aus den Schnittpunkten der Geraden $y = 7$ mit dem Graphen der Funktion $g$ ergeben sich die Urbilder $x_1, \ldots, x_4$, aus denen mit der Geraden $y = 7 + \dd y = 9$ die Urbilder $x_1 + \dd x_1, \ldots, x_4 + \dd x_4$ und daraus die Intervalle $I_1, \ldots, I_4$. Die Wahrscheinlichkeiten $P_i = P\{X \in I_i\} = p_X(x_i) \dd x_i$ werden durch die eingefärbten bzw. schraffierten Flächen unterhalb des Graphen der Dichtefunktion $p_X$ bestimmt. Diese Flächen werden addiert, um das Rechteck mit der Fläche $p_Y(7) \dd y$ zu bilden, so habe ich den Wert $p_Y(7)$ bestimmt.
In welcher Reihenfolge hast Du die Flächen schraffiert und was hast Du Dir dabei gedacht?
\quoteon
Also ich verstehe nicht warum du dir die Mühe machst und dir eine Lineare Funktion nimmst, anstelle das du es an der Aufgabe zeigst.
\quoteoff
Ich habe diese Funktion konstruiert, um den Faktor $n = 4$ zu erklären, der ja eine Deiner Verständnisschwierigkeiten zu sein scheint. Bei dieser Funktion kommen auch die Fälle $n = 1$, $n = 2$ und $n = 3$ vor, dadurch ergeben sich die Stufen im Graph der Dichtefunktion $p_Y$. Der stückweise affin-lineare Verlauf von $g$ erlaubt es, mit großen Werten von $\dd y$ und $\dd x_i$ zu arbeiten und die Wahrscheinlichkeiten als konkrete Flächen anzugeben, die man durch Zählen von Kästchen ermitteln kann.
\quoteon
Ich finde das Beispiel, dass du skizziert hast, schlecht.
\quoteoff
Ohne Begründung wirkt diese Behauptung auf mich nur demotivierend.
\quoteon
Wir haben hier parabelförmige Verläufe. Das Beispiel mit den Intervallen habe ich verstanden aber die PDF von Y immer noch nicht.
\quoteoff
Die PDF $p_Y(y)$ ergibt sich, indem man die Gleichung $p_Y(y) \dd y = p_X(x) \dd x$ nach $p_Y(y)$ umstellt, das habe ich rechnerisch und graphisch vorgeführt. Welchen Schritt kannst Du nicht nachvollziehen?
\quoteon
Wir haben hier parabelförmige Verläufe
\quoteoff
Genauer sind es (ko)sinusförmige Verläufe. Die Ableitung $g'$ ist dann nicht stückweise konstant und liefert den Verlauf der Dichtefunktion $p_Y$. Mein Ziel ist nicht, Dir ein Beispiel vorzurechnen, sondern das Prinzip zu erklären, mit dessen Hilfe Du dieses und andere Aufgaben lösen kannst.
\quoteon
und was heisst denn wenn ich schreibe $p_X(y = 0.5cos(\pi X) - 0.5)$
\quoteoff
Wie kommst Du denn auf diese Idee? Das Argument der Dichtefunktion $p_X(x)$ ist die relle Zahl $x$, eine Realisierung der Zufallsvariablen $X$, warum willst Du die Zufallsvariable $Y = 0.5\cos(\pi X) - 0.5$ einsetzen? Ist das kleine $y$ ein Tippfehler oder bringst Du hier die Zufallsvariable $Y$ mit ihrer Realisierung $y$ durcheinander?
\quoteon
Ich weiss nur das mit $p_X(x)$ die Funktion ein $\operatorname{rect}$ gemeint ist aber ich setze ja für $x$ den Wert für $y$ ein und das verwirrt mich.
\quoteoff
Die Dichtefunktion ist in diesen Beispielen eine Rechteckfunktion, aber Du solltest Dich nicht darauf fixieren. Sie wird aber niemals an Stellen $y$ ausgewertet, sondern an den Urbildern, also den Lösungen $x_i$ der Gleichung
$$y = g(x_i).$$
\quoteon
Wie z.B. in der folgenden Aufgabe
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Unbenannt.png
Das was ich in rot markiert habe verstehe ich nicht.
\quoteoff
Gehen wir es Satz für Satz durch: mit $W_Y=[1,e^3]$ ist der Wertebereich von $Y=g(X)=\exp(|X|)$ gemeint. Hast Du diese Funktion skizziert?
\showon
Für $x \geq 0$ ist $|x|=x$, die Funktion $g(x)=\exp(|x|)$ wird in diesem Bereich durch $g_1(x)=\exp(x)$ dargestellt. Diese Funktion ist streng monoton wachsend (und daher umkehrbar), für $0 \leq x \leq 3$ liefert sie Werte von $g_1(0)=1$ bis $g_1(3)=e^3$. Sie hat die Umkehrfunktion
$$x_1 = g_1^{-1}(y) = \ln(y) \qquad(10.1),$$
die für
$$ 1 \leq y \leq e^3 \qquad(10.2)$$
Urbilder im Wertebereich $0 \leq X \leq 3$ der Eingangsgröße $X$ liefert.
Für $x \leq 0$ ist $|x|=-x$, die Funktion $g$ wird in diesem Bereich also durch die monoton fallende Funktion $g_2(x) = \exp(-x)$ dargestellt. Sie nimmt Werte zwischen $g_2(0)=1$ und $g_2(-2)=e^2$ an. Für
$$1 \leq y \leq e^2 \qquad(10.3)$$
kann man sie umkehren und erhält das Urbild
$$x_2=g_2^{-1}(y)=-\ln(y) \qquad(10.4).$$
In der Notation von $(7.8)$ gibt es $n=2$ Urbilder $-2 \leq x_2 \leq x_1 \leq 3$ für $1 \leq y \leq e^2$. Für $e^2 < y < e^3$ gibt es nur $n = 1$ Urbild $x_1$.
Um die gesuchte Dichtefunktion $p_Y(y)$ durch Einsetzen in Gleichung $(7.8)$ zu bestimmen, fehlen uns nur noch die Werte $g'(x_1)$ und $g'(x_2)$ der Ableitung.
Für $x>0$ ist $g(x)=\exp(x)$, daher gilt $g'(x)=\exp(x)$ und
$$g'(x_1)=\exp(x_1)= y \qquad(10.5).$$
Auf ähnliche Weise erhält man $g'(x_2)$: wegen $x_2 < 0$ müssen wir $x < 0$ betrachten, dann gilt $|x| = -x$ und damit $g(x)=\exp(-x)$, woraus wir die Ableitung
$$g'(x_2)=-\exp(-x_2)= -y \qquad(10.6)$$
folgern. Mit $(7.8)$, den Bedingungen $(10.2)$ und $(10.3)$ ergibt sich die gesuchte Dichte
$$p_Y(y) = \begin{cases}
\frac{1}{|y|} p_X(\ln y) + \frac{1}{|-y|} p_X(-\ln y) = \frac{1}{y} \frac{1}{5} + \frac{1}{y} \frac{1}{5} = \frac{2}{5y} & 1 \leq y \leq e^2 \\
\frac{1}{|y|} p_X(\ln y) = \frac{1}{y} \frac{1}{5} = \frac{1}{5y} & e^2 < y \leq e^3 \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}$$
Der zweite rot markierte Satz weist darauf hin, dass man entweder die Anzahl $n$ der Urbilder berücksichtigt wie ich erklärt habe oder beim Einsetzen von $x_1$ und $x_2$ in die Dichtefunktion $f_X$ aufpassen muss. Wenn man die beiden rot markieren Bedingungen in den Formeln berücksichtigt, kann man die Terme $f_X(\ln(y))$ und $f_X(-\ln(y))$ in die Formel $(1.49)$ einsetzen und erhält die gesuchte Dichte $f_Y$.
\showoff
\quoteon
Bei $f_X(ln(y))$ denke ich, dass muss doch derselbe Verlauf der Dichtefunktion von X sein aber irgendwie klappt es nicht
\quoteoff
Was klappt nicht? Du scheinst die Faktoren $\frac{1}{|g'(x_i)|}$ zu ignorieren.
\quoteon
und dann sind wir wieder bei dem Beispiel mit $Y = X^2$. Dort sah die PDF von Y ja wie folgt aus.
$$p_Y(y) = {p_X(\sqrt{y}) + p_X(-\sqrt{y})\over 2\sqrt{y}}$$
\quoteoff
Diese Dichte ergibt sich aus der Formel $(7.8)$.
\quoteon
\quoteon
\quoteon
\quoteon
\quoteon
Ebenso weiss ich nicht, wie die PDF von X dazu führt, dass man bei der Funktion von Y nur das Intervall zwischen 0 und +4 betrachtet. Es muss da irgendeine Verbindung geben, daher hat es für mich den Anschein, dass man das so immer machen kann.
\quoteoff
Was bedeutet denn "auf $[0,4]$ gleichverteilt"? Wie lassen sich die Wahrscheinlichkeiten $P\{X < 0\}$ und $P\{X > 4\}$ aus der Dichtefunktion $p_X$ berechnen?
\quoteoff
Das mit der Gleichverteilung habe ich bereits oben erklärt.
Soweit ich weiss kann man für die beiden Intervalle die Integrale nur angeben, weil die CDF so die Eigenschaften hat. Für $P_X\{X > 4\}$ hätte die CDF den Wert $1$ und für $P_X\{X < 0\}$ wäre die CDF von X $0$.
\quoteoff
Wieso denkst Du, dass Du Werte der CDF anders berechnen sollst? Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten kannst Du auch durch Integration der Dichtefunktion über die entsprechenden Intervalle bestimmen, weil dort $p_X(x) = 0$ gilt, ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten $P\{X < 0\} = 0$ und $P\{X > 4\} = 0$.
\quoteoff
Das denke ich gar nicht. Ich bin davon ausgegangen das du das so meinst.
Ansonsten hatte ich mich da nur den Index vertan, obwohl das die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse bzw. einer Menge/Intervalls ist.
\quoteoff
Es ist nicht nur der Index: Ereignisse haben Wahrscheinlichkeiten, die man mit Hilfe der Dichte- oder Verteilungsfunktionen berechnen kann. Weil Ereignisse durch Mengen dargestellt werden, schreibe ich diese in geschwungene Klammern. Die Funktionen CDF und PDF haben eine reelle Zahl als Argument, kein Ereignis und keine Zufallsvariable.
\quoteon
Wenn ich doch sage, dass $P\{X\leq 4\} = 1$ ist, dann sehe ich doch im Verlauf der CDF, dass ab $X = 4$ der Verlauf konstant auf $1$ bleibt,
\quoteoff
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $\{X\leq 4\}$ ist gleich dem Wert der Verteilungsfunktion (CDF) an der Stelle $4$:
$$ P\{X\leq 4\} = P_X(4) = 1.$$
Verteilungsfunktionen sind monoton wachsend, daher folgt aus $P_X(4) = 1$, dass für alle $x > 4$ die Werte $P_X(x) = 1$ sind.
Die Wahrscheinlichkeit $P\{X > 4\}$ ist aber etwas anderes.
\quoteon
also wenn doch $P\{X \leq 4\} = 1$ dann müsste doch auch $P\{X > 4\} = 1$ sein oder nicht?
\quoteoff
Nein, die Ereignisse $A = \{X \leq 4\}$ und $B = \{X > 4\}$ sind zueinander komplementär, denn alle reellen Zahlen sind entweder kleiner oder gleich $4$ oder größer als 4: $A \cup B = \IR$. Es gibt keine Zahl $x$, die $x \leq 4$ und $x > 4$ erfüllt, die Schnittmenge $A \cap B = \{\}$ ist leer. Es gilt daher $B = \bar{A}$.
\quoteon
Ansonsten habe ich diese Formeln auch schon einmal gesehen. Klingt nach der Wahrscheinlichkeit des Komplements eines Ereignisses.
Z.B. $P\{\bar{A}\} = 1 - P\{A\}$
\quoteoff
Du solltest die Formeln auch anwenden können. Aus $P(A) = P\{X \leq 4\} = 1$ und $B = \bar{A}$ folgt die Wahrscheinlichkeit
$$ P\{X > 4\} = P(B) = 1 - P\{A\} = 1 - 1 = 0.$$
Das Komplement $B$ des sicheren Ereignisses $A$ ist ein unmögliches Ereignis. Das sollte auch anschaulich klar sein: $P\{X\leq 4\} = 1$ bedeutet, dass $X$ nur Werte annimt, die nicht größer als $4$ sind.
Servus,
Roland
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-04
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\quoteon(2023-03-30 23:57 - rlk in Beitrag No. 10)
Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2023-03-28 05:55 - Sinnfrei in Beitrag No. 9)
\quoteon(2023-03-23 23:15 - rlk in Beitrag No. 7)
Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2023-03-14 00:21 - Sinnfrei in Beitrag No. 6)
\quoteon(2023-02-28 23:00 - rlk in Beitrag No. 5)
Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2023-02-21 17:38 - Sinnfrei im Themenstart)
Bei der Aufgabe 2) hänge ich mich auf und weiss nicht wie man in der Musterlösung darauf gekommen ist, dass man die PDF von Y mit 4 multiplizieren kann.
\quoteoff
Der Faktor 4 kommt daher, dass es zu jedem Wert $y$ der Zufallsvariablen $Y = g(X)$ 4 Urbilder gibt:
$$\begin{align*}
x_1 &= \frac{1}{\pi}\arccos(2(y + 0.5)) \\
x_2 &= 2 - x_1 \\
x_3 &= x_1 + 2 \\
x_4 &= 4 - x_1
\end{align*}$$
Jedes der Urbilder liefert den Beitrag
$$ \left|\frac{\dd y}{\dd x}\right| p_X(x_i) \qquad(5.1)$$
zur Dichte $p_Y(y)$. Weil diese hier denselben Wert haben, kann man einen dieser Beiträge mit 4 multiplizieren.
\quoteoff
Gut aber das wusste ich bereits auch schon, weil unser Prof. das auch mal so ähnlich, zu einer Übungsaufgabe gesagt hat, nur kann ich mir das nicht vorstellen.
\quoteoff
Hier weiß ich nicht, was Du mit "das" meinst. Kannst Du die 4 Urbilder $x_1, \ldots, x_4$ nachvollziehen? Verstehst Du die Transformationsformel
$$\left|\frac{\dd x}{\dd y}\right| p_X(x_i) \qquad(7.1)?$$
\quoteoff
\quoteoff
Warum beantwortest Du diese Fragen nicht?
\quoteoff
Weil das langsam schwierig/unbersichtlich wird, mit den ganzen quote Befehlen.
Ich verstehe die Urbilder, ja, woher aber die Formel (7.1) herkommt noch nicht. Es fällt mir schwer nachzuvollziehen, warum die Urbilder zur Folge haben, dass man an den Stellen die Dichtefunktion mehrmals zählt. Da fehlt mir der Zwischenschritt mit den Verteilungsfunktionen oder der Bezug zu den Wahrscheinlichkeiten allgemein. Aber ich denke, dass ich es so langsam irgendwie verstehe oder einsehe, weil ich mich sehr lange damit beschäftige.
\quoteon
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Ein Bild würde an dieser Stelle eher helfen.
Das mit den Beiträgen verstehe ich in dem Zusammenhang mit der PDF von Y ebenfalls nicht.
\quoteoff
$$p_Y(y) = \sum_{i = 1}^n \frac{p_X(x_i)}{|g'(x_i)|} \qquad(7.8)$$
wobei $n$ die Anzahl der Urbilder $x_i$ von $y$ ist. In der gezeichneten Kurve kommen die Fälle $n = 1$, $n = 2$, $n = 3$ und der eingezeichnete Fall $n = 4$ vor.
Für differenzierbare Funktionen, bei denen die Ableitung $g'(x)$ nicht konstant ist wie die Kosinusfunktion in dem Beispiel muss man den Grenzübergang $\dd y \to 0$ bilden, aber $(7.8)$ gilt auch dann.
In der Aufgabe mit der Kosinusfunktion ist $n = 4$, weil die Beträge $|g'(x_i)|$ der Ableitungen dort alle den gleichen Wert haben, kann man die Summe durch $4 \frac{p_X(x_i)}{|g'(x_i)|}$ ersetzen und erhält so die gesuchte Dichtefunktion.
\quoteoff
Die Rechnung habe ich auf den einen Bereich verstanden aber die gesamte PDF von Y ergibt dadurch für mich, irgendwie keinen Sinn.
\quoteoff
Kannst Du schreiben, wass genau keinen Sinn zu machen scheint? Solange ich nicht weiß, wo Deine Schwierigkeiten liegen, fällt es mir schwer, Dir zu helfen.
\quoteoff
Ich versuche es. Undzwar wie man durch simple Addition von Teilen einer Dichtefunktion oder allgemein einer Verteilungsfunktion, darauf kommt, dass man die Dichte oder die Verteilungsfunktionen einer unbekannten Größe Y ermitteln kann. Das kann ich noch nicht verstehen bzw. akzeptieren, da wir bisher Funktionen im klassischen Sinne, nicht so betrachtet haben, dass z.B. auch die Größe X z.B. den Wertebereich darstellt und nicht die Domain.
\quoteon
\quoteon
Ich habe mal markiert was ich nicht verstehe
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_17466_RV-tr1_1_.png
\quoteoff
Ich sehe nur rot markiert "1 teile?", weiß aber nicht, was Du damit meinst.
Du hast die Wahrscheinlichkeit $P\{6Bestimmung der Dichtefunktion $p_Y$ aus dem Beispiel klar wird. Wir betrachten ein Intervall $[y,y+\dd y]$ auf der $y$-Achse, in meinem Bild habe ich $y = 7$ und $\dd y = 2$ skizziert. Aus den Schnittpunkten der Geraden $y = 7$ mit dem Graphen der Funktion $g$ ergeben sich die Urbilder $x_1, \ldots, x_4$, aus denen mit der Geraden $y = 7 + \dd y = 9$ die Urbilder $x_1 + \dd x_1, \ldots, x_4 + \dd x_4$ und daraus die Intervalle $I_1, \ldots, I_4$. Die Wahrscheinlichkeiten $P_i = P\{X \in I_i\} = p_X(x_i) \dd x_i$ werden durch die eingefärbten bzw. schraffierten Flächen unterhalb des Graphen der Dichtefunktion $p_X$ bestimmt. Diese Flächen werden addiert, um das Rechteck mit der Fläche $p_Y(7) \dd y$ zu bilden, so habe ich den Wert $p_Y(7)$ bestimmt.
In welcher Reihenfolge hast Du die Flächen schraffiert und was hast Du Dir dabei gedacht?
\quoteoff
Die Reihenfolge ist ja farblich markiert und welche Flächen bei der PDF von Y zu den Flächen der PDF von X zugeordnet werden können, habe ich gestrichelt markiert. Ich habe versucht deine Flächen, die du gezeichnet hast nachzuvollziehen aber bei der letzten Flächen, die ich mit "1 Zeile" in rot geschrieben habe, weiss ich nicht wie du die Flächen aufsummiert hast. Vielleicht erklärst du das mal, weil die PDF von X an der Stelle bzw. in dem Intervall, das ich in rot schraffiert habe 2 Zeilen mit insgesamt 6 Kästchen die PDF von Y an der Stelle aber nur eine Zeile mit insgesamt 6 Kästchen hat.
\quoteon
\quoteon
Wir haben hier parabelförmige Verläufe. Das Beispiel mit den Intervallen habe ich verstanden aber die PDF von Y immer noch nicht.
\quoteoff
Die PDF $p_Y(y)$ ergibt sich, indem man die Gleichung $p_Y(y) \dd y = p_X(x) \dd x$ nach $p_Y(y)$ umstellt, das habe ich rechnerisch und graphisch vorgeführt. Welchen Schritt kannst Du nicht nachvollziehen?
\quoteoff
Ich habe das verstanden, jetzt ist das Problem was denn z.B. $p_X(g^{-1}(Y))$ bedeutet. Also was $p_X({1\over \pi} \arccos{(2Y - 1)})$ für die Dichte und die jeweiligen Intervalle der Dichte bedeuten.
Wie in dem Beispiel $Y = e^{|X|}$
Dann solltest du vielleicht verstehen was ich darüber meinte mit der PDF aus dem Quadratischen Beispiel $Y = X^2$.
Wie die Formel zustande kommt weiss ich ja, nur was bedeutet es für die PDF von Y wenn ich beim quadratischen Beispiel z.B. stehen habe
$p_X(-\sqrt{Y})$ und $p_X(\sqrt{Y})$ und die die Zufallsvariable X ist z.B. gleichverteilt im Intervall von $[-1,3]$. In einem bestimmten Bereich/Fall fällt ja der Term $p_X(-\sqrt{Y})$ weg, sodass nur noch der Term $p_X(\sqrt{Y})$ für die PDF von $Y$ übrig bleibt. Halt ganz genau wie in dem Beispiel, was ich weiter unten gepostet habe.
\quoteon
\quoteon
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Unbenannt.png
Das was ich in rot markiert habe verstehe ich nicht.
\quoteoff
Gehen wir es Satz für Satz durch: mit $W_Y=[1,e^3]$ ist der Wertebereich von $Y=g(X)=\exp(|X|)$ gemeint. Hast Du diese Funktion skizziert?
\quoteoff
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Screenshot_2023-04-04_153653.png
\quoteon
\showon
Für $x \geq 0$ ist $|x|=x$, die Funktion $g(x)=\exp(|x|)$ wird in diesem Bereich durch $g_1(x)=\exp(x)$ dargestellt. Diese Funktion ist streng monoton wachsend (und daher umkehrbar), für $0 \leq x \leq 3$ liefert sie Werte von $g_1(0)=1$ bis $g_1(3)=e^3$. Sie hat die Umkehrfunktion
$$x_1 = g_1^{-1}(y) = \ln(y) \qquad(10.1),$$
die für
$$ 1 \leq y \leq e^3 \qquad(10.2)$$
Urbilder im Wertebereich $0 \leq X \leq 3$ der Eingangsgröße $X$ liefert.
Für $x \leq 0$ ist $|x|=-x$, die Funktion $g$ wird in diesem Bereich also durch die monoton fallende Funktion $g_2(x) = \exp(-x)$ dargestellt. Sie nimmt Werte zwischen $g_2(0)=1$ und $g_2(-2)=e^2$ an. Für
$$1 \leq y \leq e^2 \qquad(10.3)$$
kann man sie umkehren und erhält das Urbild
$$x_2=g_2^{-1}(y)=-\ln(y) \qquad(10.4).$$
In der Notation von $(7.8)$ gibt es $n=2$ Urbilder $-2 \leq x_2 \leq x_1 \leq 3$ für $1 \leq y \leq e^2$. Für $e^2 < y < e^3$ gibt es nur $n = 1$ Urbild $x_1$.
Um die gesuchte Dichtefunktion $p_Y(y)$ durch Einsetzen in Gleichung $(7.8)$ zu bestimmen, fehlen uns nur noch die Werte $g'(x_1)$ und $g'(x_2)$ der Ableitung.
Für $x>0$ ist $g(x)=\exp(x)$, daher gilt $g'(x)=\exp(x)$ und
$$g'(x_1)=\exp(x_1)= y \qquad(10.5).$$
Auf ähnliche Weise erhält man $g'(x_2)$: wegen $x_2 < 0$ müssen wir $x < 0$ betrachten, dann gilt $|x| = -x$ und damit $g(x)=\exp(-x)$, woraus wir die Ableitung
$$g'(x_2)=-\exp(-x_2)= -y \qquad(10.6)$$
folgern. Mit $(7.8)$, den Bedingungen $(10.2)$ und $(10.3)$ ergibt sich die gesuchte Dichte
$$p_Y(y) = \begin{cases}
\frac{1}{|y|} p_X(\ln y) + \frac{1}{|-y|} p_X(-\ln y) = \frac{1}{y} \frac{1}{5} + \frac{1}{y} \frac{1}{5} = \frac{2}{5y} & 1 \leq y \leq e^2 \\
\frac{1}{|y|} p_X(\ln y) = \frac{1}{y} \frac{1}{5} = \frac{1}{5y} & e^2 < y \leq e^3 \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}$$
Der zweite rot markierte Satz weist darauf hin, dass man entweder die Anzahl $n$ der Urbilder berücksichtigt wie ich erklärt habe oder beim Einsetzen von $x_1$ und $x_2$ in die Dichtefunktion $f_X$ aufpassen muss. Wenn man die beiden rot markieren Bedingungen in den Formeln berücksichtigt, kann man die Terme $f_X(\ln(y))$ und $f_X(-\ln(y))$ in die Formel $(1.49)$ einsetzen und erhält die gesuchte Dichte $f_Y$.
\showoff
\quoteon
Bei $f_X(ln(y))$ denke ich, dass muss doch derselbe Verlauf der Dichtefunktion von X sein aber irgendwie klappt es nicht
\quoteoff
Was klappt nicht? Du scheinst die Faktoren $\frac{1}{|g'(x_i)|}$ zu ignorieren.
\quoteoff
Also das was du dort geschrieben hast, was ausgeblendet ist, verstehe ich nicht. Bis auf den Wertebereich von $Y$ kann ich das noch verstehen. Alles andere aus aus den ausgeblendeten Inhalten verstehe ich nicht z.B. das $-2 \leq x_2 \leq x_1 \leq 3$ oder auch alles weitere. Auf den Block müsstest du vielleicht nochmal eingehen. Weiss gerade nicht wo ich da anfangen soll.
\quoteon
\quoteon
und dann sind wir wieder bei dem Beispiel mit $Y = X^2$. Dort sah die PDF von Y ja wie folgt aus.
$$p_Y(y) = {p_X(\sqrt{y}) + p_X(-\sqrt{y})\over 2\sqrt{y}}$$
\quoteoff
Diese Dichte ergibt sich aus der Formel $(7.8)$.
\quoteoff
Darum ging es doch gar nicht. Du hast die Beziehung zu dem Problem auf das Beispiel mit $Y = X^2$ nicht gemerkt, obwohl ich es auch genau so in der Reihenfolge geschrieben habe. Es sollte doch klar sein, was ich damit gemeint habe. Das du wieder auf den Punkt mit $7.8$ zurückkommst gibt mir den Eindruck, dass du dir die Beiträge ebenfalls nicht richtig durchliest. Es geht dabei darum, was $p_X(\sqrt{y})$ bedeutet, wie in der Aufgabe darüber mit $Y = e^{|X|}$.
Ebenso hast du nicht sehen können, was ich mit dem Faktor $2$ meinte.
Bei der Aufgabe, wo es um den quadratischen Mittelwert geht, steht doch ganz oben $$E\{Y^2\} = {2\over\pi}\int_{}^{}{y^2\over\sqrt{1-(2y+1)^2}}dy\quad(1)$$
Danach steht dort $$E\{(X+m)^2\} = \int_{-1}^{1}{y^2\over\sqrt{1-(y)^2}}\quad(2)$$
Wenn ich in (1) $y' = 2y + 1$ substituiere, dann komme ich nicht ganz auf (2)
${1\over 2}dy' = dy$
$y' \rightarrow y$
$${1\over 2}{2\over\pi}\int_{2(-1)+1}^{2(0)+1}{y^2\over\sqrt{1 - (y)^2}}dy = {1\over \color{red}{\pi}}\int_{-1}^{1}{y^2\over\sqrt{1-(y)^2}}dy\quad(3)$$
Wenn man jetzt (3) mit (2) vergleicht, fehlt bei (2) der Vorfaktor ${1\over\pi}$.
Ist das hier vielleicht ein Schreibfehler vom Dozenten oder?
Es war hier als Beispiel zu einer ähnlichen Aufgabe mit gleichem Problem gemeint. Warum du das nicht erkennen konntest ist sehr fragwürdig. Wolltest du den Zusammenhang zu der Aufgabe darüber nicht sehen oder? Ich kanns an der Stelle nicht verstehen. Der Text war auch von mir so geschrieben, dass man es analog dazu hätte betrachten müssen.
Machen wir bitte bei den anderen Aufgaben weiter. Wir haben zu viel Zeit dafür verschwendet. Geh bitte in den nächsten Beiträgen von dir auch auf die anderen Sachen, z.B. Kompandierer und Expander sowie auf die Auflösung, ein.
Viele Grüße
Sinnfrei
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| Beitrag No.12, eingetragen 2023-04-08
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\quoteon(2023-04-04 16:01 - Sinnfrei in Beitrag No. 11)
\quoteon(2023-03-30 23:57 - rlk in Beitrag No. 10)
Warum beantwortest Du diese Fragen nicht?
\quoteoff
Weil das langsam schwierig/unbersichtlich wird, mit den ganzen quote Befehlen.
Ich verstehe die Urbilder, ja, woher aber die Formel (7.1) herkommt noch nicht. Es fällt mir schwer nachzuvollziehen, warum die Urbilder zur Folge haben, dass man an den Stellen die Dichtefunktion mehrmals zählt. Da fehlt mir der Zwischenschritt mit den Verteilungsfunktionen oder der Bezug zu den Wahrscheinlichkeiten allgemein.
\quoteoff
Diese Zwischenschritte habe ich anhand des Bildes zu erklären versucht. Mehr dazu weiter unten.
\quoteon
Aber ich denke, dass ich es so langsam irgendwie verstehe oder einsehe, weil ich mich sehr lange damit beschäftige.
\quoteoff
Ich wünsche Dir, dass Du es richtig und nicht nur irgendwie verstehst, erkenne aber nicht, woran es liegt, dass Du so lange dafür brauchst.
\quoteon
\quoteon
Kannst Du schreiben, wass genau keinen Sinn zu machen scheint? Solange ich nicht weiß, wo Deine Schwierigkeiten liegen, fällt es mir schwer, Dir zu helfen.
\quoteoff
Ich versuche es. Und zwar wie man durch simple Addition von Teilen einer Dichtefunktion oder allgemein einer Verteilungsfunktion, darauf kommt, dass man die Dichte oder die Verteilungsfunktionen einer unbekannten Größe Y ermitteln kann. Das kann ich noch nicht verstehen bzw. akzeptieren, da wir bisher Funktionen im klassischen Sinne, nicht so betrachtet haben, dass z.B. auch die Größe X z.B. den Wertebereich darstellt und nicht die Domain.
\quoteoff
Die Größe $Y$ ist nicht unbekannt, sondern sie entsteht als Bild von $X$ unter der Abbildung (Funktion) $g$. Der Wertebereich von $X$ kann als Definitionsbereich von $g$ verwendet werden. Was ist daran anders als bei Funktionen im klassischen Sinn?
Die Addition kommt daher, dass für disjunkte Ereignisse $A$ und $B$ die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ oder $B$ eintritt gleich der Summe $P(A)+P(B)$ der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $A$ und $B$ ist.
\quoteon
\quoteon
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Ich habe mal markiert was ich nicht verstehe
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_17466_RV-tr1_1_.png
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Ich sehe nur rot markiert "1 teile?", weiß aber nicht, was Du damit meinst.
Du hast die Wahrscheinlichkeit $P\{6Bestimmung der Dichtefunktion $p_Y$ aus dem Beispiel klar wird. Wir betrachten ein Intervall $[y,y+\dd y]$ auf der $y$-Achse, in meinem Bild habe ich $y = 7$ und $\dd y = 2$ skizziert. Aus den Schnittpunkten der Geraden $y = 7$ mit dem Graphen der Funktion $g$ ergeben sich die Urbilder $x_1, \ldots, x_4$, aus denen mit der Geraden $y = 7 + \dd y = 9$ die Urbilder $x_1 + \dd x_1, \ldots, x_4 + \dd x_4$ und daraus die Intervalle $I_1, \ldots, I_4$. Die Wahrscheinlichkeiten $P_i = P\{X \in I_i\} = p_X(x_i) \dd x_i$ werden durch die eingefärbten bzw. schraffierten Flächen unterhalb des Graphen der Dichtefunktion $p_X$ bestimmt. Diese Flächen werden addiert, um das Rechteck mit der Fläche $p_Y(7) \dd y$ zu bilden, so habe ich den Wert $p_Y(7)$ bestimmt.
In welcher Reihenfolge hast Du die Flächen schraffiert und was hast Du Dir dabei gedacht?
\quoteoff
Die Reihenfolge ist ja farblich markiert und welche Flächen bei der PDF von Y zu den Flächen der PDF von X zugeordnet werden können, habe ich gestrichelt markiert.
\quoteoff
Mit der Reihenfolge habe ich gemeint, dass man zuerst die Fläche $p_X(x_i)\dd x_i$ unterhalb des Graphen der Dichtefunktion $p_X$ bestimmt und daraus ein Rechteck der gleichen Fläche mit der Höhe $\dd y$ ermittelt, diese Rechtecke "stapelt" man rechts von der $y$-Achse nebeneinander und erhält so den gesuchten Wert $p_Y(y)$ der Dichtefunktion $p_Y$.
\quoteon
Ich habe versucht deine Flächen, die du gezeichnet hast nachzuvollziehen aber bei der letzten Flächen, die ich mit "1 Zeile" in rot geschrieben habe, weiss ich nicht wie du die Flächen aufsummiert hast. Vielleicht erklärst du das mal, weil die PDF von X an der Stelle bzw. in dem Intervall, das ich in rot schraffiert habe 2 Zeilen mit insgesamt 6 Kästchen die PDF von Y an der Stelle aber nur eine Zeile mit insgesamt 6 Kästchen hat.
\quoteoff
Die "Zeile" entsteht durch die Untersuchung des Intervalls $6 < Y < 7$. Die Wahrscheinlichkeit $P\{6 < Y < 7\}$, dass die Zufallsvariable $Y$ einen Wert $y$ annimmt, der in diesem Intervall liegt, hängt mit dem gesuchten Wert $p_Y(6)$ über
$$p_Y(6) \dd y = p_Y(6) (7 - 6) = P\{6 < Y < 7\}$$
zusammen. Wir müssen uns also überlegen, wie Werte $y = g(x)$, die im Intervall $J=[6,7]$ liegen, entstehen können. Das ist genau dann der Fall, wenn $x$ in einem der Urbilder von $J$ liegt. Um diese Urbilder zu finden, suchen wir die Schnittpunkte der Geraden $y=6$ und $y=7$ mit dem Graphen der Funktion $g$. Aus dem Bild können wir die Ordinaten der Schnittpunkte ablesen (ich nenne sie $x_5, \ldots, x_8$, weil $x_1,\ldots, x_4$ schon für die Urbilder von $y=7$ vergeben sind):
$$\begin{array}{l|l}
y=6 & y = 7 \\
\hline
x_5 = ~2.5 & x_5 + \dd x_5 = ~3 \\
x_6 = 10 & x_6 + \dd x_6 = ~9 \\
x_7 = 15 & x_7 + \dd x_7 = 13 \\
x_8 = 28 & x_8 + \dd x_8 = 25
\end{array}$$
Aus diesen Ordinaten ergeben sich Intervalle $J_5 = [x_5, x_5 + \dd x_5]$ bis $J_8 = [x_8 + \dd x_8, x_8]$. Wenn die Realisierung $x$ der Zufallsvariablen $X$ in einem dieser Intervalle liegt, fällt auch das Bild $y = g(x)$ in das gewünschte Intervall $J$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P\{6 < Y < 7\}$ ergibt sich nach der Rechenregel für disjunkte Ereignisse aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten $P\{X \in J_i\}$: das Ereignis $\{Y \in J \}=\{6 < Y < 7\}$ tritt ein, wenn $(X \in J_5) \vee (X \in J_6) \vee (X \in J_7) \vee (X \in J_8)$ gilt. Das ist der Grund, warum wir die Beiträge $P\{X \in J_i\}$ addieren müssen.
$$P\{Y \in J\} = \sum_{i=5}^{8} P\{X \in J_i\}$$
Die Wahrscheinlichkeiten $P\{X \in J_i\}$ ergeben sich aus den Breiten
$$|\dd x_{i}| = \frac{\dd y}{|g'(x_{i})|}$$
der Intervalle $J_i$ und den Werten der Dichtefunktion an den Urbildern $x_{i}$:
$$P\{X \in J_i\} = p_X(x_{i}) |\dd x_{i}|$$
im Bild entsprechen sie den Flächen unterhalb dem Graphen der Dichtefunktion $p_X$:
$$\begin{array}{c|c|c|l}
i & g'(x_i) & \dd x_{i} & p_X(x_{i}) |\dd x_{i}| \\
\hline
5 & 2 & ~0.5 & 1=2\cdot 0.5~\text{Kästchen (braun)} \\
6 & -1 & -1 & 2=2\cdot 1~\text{Kästchen (violett)} \\
7 & 1/2 & ~2 & 4=2\cdot 2~\text{Kästchen (orange)} \\
8 & -1/3 & -3 & 6=2\cdot 3~\text{Kästchen (rot)}
\end{array}$$
Addiert man die Flächen der Kästchen, so erhält man die Summe $1+2+4+6=13$ Kästchen, wegen $\dd y=1$ ergibt sich der gesuchte Wert der Dichtefunktion $p_Y(6) = 13$ Kästchenseiten.
\quoteon
\quoteon
\quoteon
Wir haben hier parabelförmige Verläufe. Das Beispiel mit den Intervallen habe ich verstanden aber die PDF von Y immer noch nicht.
\quoteoff
Die PDF $p_Y(y)$ ergibt sich, indem man die Gleichung $p_Y(y) \dd y = p_X(x) \dd x$ nach $p_Y(y)$ umstellt, das habe ich rechnerisch und graphisch vorgeführt. Welchen Schritt kannst Du nicht nachvollziehen?
\quoteoff
Ich habe das verstanden, jetzt ist das Problem was denn z.B. $p_X(g^{-1}(Y))$ bedeutet. Also was $p_X({1\over \pi} \arccos{(2Y - 1)})$ für die Dichte und die jeweiligen Intervalle der Dichte bedeuten.
\quoteoff
Diese Ausdrücke kommen hier nicht vor, Du meinst hoffentlich die reellen Zahlen $p_X(g^{-1}(y))$ und $p_X({1\over \pi} \arccos{(2y - 1)})$. Auf den Unterschied zwischen der Zufallsvariablen $Y$ und ihrer Realisierung $y$ habe ich bereits mehrfach hingewiesen. War es nur Unachtsamkeit, dass Du $Y$ statt $y$ geschrieben hast? Falls Dir der Unterschied noch nicht klar geworden ist, empfehle ich Dir, das noch einmal in einem Lehrbuch nachzulesen.
Mit $p_X(g^{-1}(y))$ ist der Wert der Dichtefunktion an der Stelle $x=g^{-1}(y)$ gemeint. Ich habe nicht erwartet, das solche Ausdrücke unklar sein können. Bitte versuche, konkret anzugeben, was Du nicht verstehst.
\quoteon
Wie in dem Beispiel $Y = e^{|X|}$
\quoteoff
Dieses Beispiel habe ich in dem versteckten Block vorgerechnet.
\quoteon
Dann solltest du vielleicht verstehen was ich darüber meinte mit der PDF aus dem Quadratischen Beispiel $Y = X^2$.
\quoteoff
Dieses Beispiel hat StefanVogel in https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257674 schon ausführlich erklärt, aber anscheinend ohne die gewünschte Wirkung zu erzielen. Es scheint, dass Du hier tieferliegende Verständnisschwierigkeiten hast, wenn Du bei diesem Thema trotz Vorlesung, der Lektüre mehrerer Bücher, Skripten, von Videovorträgen und den Bemühungen einiger Helfer hier nicht weiterzukommen scheinst. Ich rate Dir dringend, mit einem Tutor oder im direkten Gespräch mit StudienkollegInnen zu versuchen, Deinem Problem auf den Grund zu gehen.
\quoteon
Wie die Formel zustande kommt weiss ich ja,
\quoteoff
Oben hast Du geschrieben, dass Du nicht verstehen bzw. akzeptieren kannst, wie man auf die Formel kommt.
\quoteon
nur was bedeutet es für die PDF von Y wenn ich beim quadratischen Beispiel z.B. stehen habe
$p_X(-\sqrt{Y})$ und $p_X(\sqrt{Y})$ und die die Zufallsvariable X ist z.B. gleichverteilt im Intervall von $[-1,3]$.
\quoteoff
Ausdrücke wie $p_X(-\sqrt{Y})$ und $p_X(\sqrt{Y})$ sind Zufallsvariablen, die durch die Transformation der Zufallsvariablen $Y$ mit den Funktionen $y \mapsto p_X(-\sqrt{y})$ und $y \mapsto p_X(\sqrt{y})$ entstehen, sie spielen aber hier keine Rolle.
In der Formel für die Dichtefunktion $p_Y(y)$ kommen die Terme $p_X(-\sqrt{y})$ und $p_X(\sqrt{y})$ vor, dabei ist die relle Zahl $y$ das Argument der Dichtefunktion.
Wenn $X$ auf $[-1,3]$ gleichverteilt ist, ist die Dichtefunktion
$$ p_X(x) = \begin{cases} 0, & x < -1 \\
\frac{1}{3 - (-1)} = \frac{1}{4}, & -1 \leq x \leq 3 \qquad(12.1)\\
0, & x > 3
\end{cases}$$
eine Rechteckfunktion, mit der Du in anderen Beispielen anscheinend ohne Probleme rechnen konntest.
\quoteon
In einem bestimmten Bereich/Fall fällt ja der Term $p_X(-\sqrt{Y})$ weg, sodass nur noch der Term $p_X(\sqrt{Y})$ für die PDF von $Y$ übrig bleibt. Halt ganz genau wie in dem Beispiel, was ich weiter unten gepostet habe.
\quoteoff
Wie Du in $(12.1)$ ablesen kannst, wird $p_X(x) =0$, wenn das Argument $x = -\sqrt{y} < -1$ wird. Für welche Werte von $y$ ist das der Fall?
\quoteon
\quoteon
\quoteon
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Unbenannt.png
Das was ich in rot markiert habe verstehe ich nicht.
\quoteoff
Gehen wir es Satz für Satz durch: mit $W_Y=[1,e^3]$ ist der Wertebereich von $Y=g(X)=\exp(|X|)$ gemeint. Hast Du diese Funktion skizziert?
\quoteoff
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Screenshot_2023-04-04_153653.png
\quoteoff
Hier scheinst Du den Sinn einer solchen Skizze missverstanden zu haben. Sie soll Dir helfen, die rot markierten Ungleichungen zu verstehen, aber dazu musst Du die Punkte $(2,e^2)$, $(-2,e^{|-2|})=(-2,e^2)$ und $(3,e^3)$ einzeichnen. Dein Professor hat solche Zahlen in seinen Aufgaben als "charakteristische Werte" bezeichnet.
Analog zu meiner Skizze kannst Du die Urbilder $x_2$ und $x_1$ aus den Schnittpunkten des Graphen mit einer zur $x$-Achse parallelen Geraden ablesen.
\quoteon
\quoteon
\quoteon
Bei $f_X(ln(y))$ denke ich, dass muss doch derselbe Verlauf der Dichtefunktion von X sein aber irgendwie klappt es nicht
\quoteoff
Was klappt nicht? Du scheinst die Faktoren $\frac{1}{|g'(x_i)|}$ zu ignorieren.
\quoteoff
Also das was du dort geschrieben hast, was ausgeblendet ist, verstehe ich nicht. Bis auf den Wertebereich von $Y$ kann ich das noch verstehen. Alles andere aus aus den ausgeblendeten Inhalten verstehe ich nicht z.B. das $-2 \leq x_2 \leq x_1 \leq 3$ oder auch alles weitere. Auf den Block müsstest du vielleicht nochmal eingehen.
\quoteoff
Müssen tue ich hier gar nichts und Dein Verhalten motiviert mich nicht gerade, weiter Zeit zu "verschwenden".
\quoteon
Weiss gerade nicht wo ich da anfangen soll.
\quoteoff
Vielleicht mit dem ersten Satz?
\quoteon
\quoteon
Für $x \geq 0$ ist $|x|=x$, die Funktion $g(x)=\exp(|x|)$ wird in diesem Bereich durch $g_1(x)=\exp(x)$ dargestellt.
\quoteoff
\quoteoff
\quoteon
\quoteon
\quoteon
und dann sind wir wieder bei dem Beispiel mit $Y = X^2$. Dort sah die PDF von Y ja wie folgt aus.
$$p_Y(y) = {p_X(\sqrt{y}) + p_X(-\sqrt{y})\over 2\sqrt{y}}$$
\quoteoff
Diese Dichte ergibt sich aus der Formel $(7.8)$.
\quoteoff
Darum ging es doch gar nicht.
\quoteoff
Sondern worum?
\quoteon
Du hast die Beziehung zu dem Problem auf das Beispiel mit $Y = X^2$ nicht gemerkt, obwohl ich es auch genau so in der Reihenfolge geschrieben habe. Es sollte doch klar sein, was ich damit gemeint habe.
\quoteoff
Warum schreibst Du nicht, was Du meinst?
\quoteon
Das du wieder auf den Punkt mit $7.8$ zurückkommst gibt mir den Eindruck, dass du dir die Beiträge ebenfalls nicht richtig durchliest.
\quoteoff
Was meinst Du mit "ebenfalls"? Ich lese mir Deine Beiträge natürlich durch, warum sollte ich mir die Mühe machen, lange Antworten zu verfassen, ohne zu versuchen, Deine Fragen zu verstehen?
Ich hatte gehofft, dass meine Erklärungen Dir die Formel $(7.8)$ verständlich gemacht hatten und dass Du sie dann auf das Beispiel $Y=X^2$ anwenden kannst.
\quoteon
Es geht dabei darum, was $p_X(\sqrt{y})$ bedeutet, wie in der Aufgabe darüber mit $Y = e^{|X|}$.
\quoteoff
Auf die Idee, dass Dir nicht klar sein könnte, dass mit $p_X(\sqrt{y})$ die Verkettung der Funktionen $p_X$ und $y \mapsto \sqrt{y}$ gemeint ist, bin ich nicht gekommen. In den Beispielen, die wir miteinander besprochen haben, kamen solche Verkettungen regelmäßig vor, zum Beispiel
\quoteon(2021-10-09 01:09 - Sinnfrei im Themenstart)
Shockley Gleichung:
$$I_D(U_D) = I_S \cdot \left(\exp\left(\frac{U_D}{U_T}\right) - 1 \right) \quad (1)$$
\quoteoff
$I_D(U_D)$ ist die Verkettung der Funktionen $U_D \mapsto \frac{U_D}{U_T}$, $x \mapsto I_S \cdot \left(\exp\left(x\right) - 1 \right)$.
Oder in
\quoteon(2022-02-26 03:59 - Sinnfrei in Beitrag No. 4)
$$H(f) = \operatorname{rect}{\left(\frac{f-f_0}{\Delta f}\right)} - \operatorname{rect}{\left(\frac{f+f_0}{\Delta f}\right)}$$
\quoteoff
wo die Rechteckfunktion $\operatorname{rect}$ mit den affin-linearen Funktionen $f \mapsto \frac{f-f_0}{\Delta f}$ und $f \mapsto \frac{f+f_0}{\Delta f}$ verkettet werden.
Bei den Beispielen zur Transformation von Dichtefunktionen sind die "inneren Funktionen" $y \mapsto \sqrt{y}$ oder $y \mapsto -\log{y}$ etwas komplizierter, aber das Prinzip ist dasselbe.
\quoteon
Ebenso hast du nicht sehen können, was ich mit dem Faktor $2$ meinte.
\quoteoff
In der Rechnung kam der Faktor $2$ zweimal vor, deshalb habe ich sie in Beitrag 8 farblich markiert und gefragt, welchen der beiden Du meinst. Weder hast Du diese Frage beantwortet noch hast Du auf die Rechnung dort reagiert.
\quoteon
Bei der Aufgabe, wo es um den quadratischen Mittelwert geht, steht doch ganz oben $$E\{Y^2\} = {2\over\pi}\int_{}^{}{y^2\over\sqrt{1-(2y+1)^2}}dy\quad(1)$$
Danach steht dort $$E\{(X+m)^2\} = \int_{-1}^{1}{y^2\over\sqrt{1-(y)^2}}\quad(2)$$
Wenn ich in (1) $y' = 2y + 1$ substituiere, dann komme ich nicht ganz auf (2)
${1\over 2}dy' = dy$
$y' \rightarrow y$
$${1\over 2}{2\over\pi}\int_{2(-1)+1}^{2(0)+1}{y^2\over\sqrt{1 - (y)^2}}dy = {1\over \color{red}{\pi}}\int_{-1}^{1}{y^2\over\sqrt{1-(y)^2}}dy\quad(3)$$
Wenn man jetzt (3) mit (2) vergleicht, fehlt bei (2) der Vorfaktor ${1\over\pi}$.
Ist das hier vielleicht ein Schreibfehler vom Dozenten oder?
\quoteoff
Zwischen $(1)$ und $(2)$ sowie zwischen $(2)$ und $(3)$ sind keine Gleichheitszeichen, der Faktor $1/\pi$ wurde in der in $(2)$ angedeuteten Nebenrechnung weggelassen. Du hättest Deine Frage leicht beantworten können, indem Du den Erwartungswert selbst ausrechnest. Einige Schritte dazu habe ich Dir in Beitrag 8 vorgerechnet. Es handelt sich um eine relativ einfache Integrationsaufgabe, von der ich angenommen hatte, dass Du sie selbstständig lösen kannst.
\quoteon
Es war hier als Beispiel zu einer ähnlichen Aufgabe mit gleichem Problem gemeint. Warum du das nicht erkennen konntest ist sehr fragwürdig. Wolltest du den Zusammenhang zu der Aufgabe darüber nicht sehen oder?
\quoteoff
Wir diskutieren hier mehrere Aufgaben parallel, die Transformationen $Y=0.5\cos(\pi X) - 0.5$, $Y = \exp(|X|)$ und $Y=X^2$ sowie die Berechnung des Erwartungswerts $\operatorname{E}(Y^2)$, ich konnte nicht immer erkennen, welche unausgesprochene Frage Du mit dem Wechsel von einer Aufgabe zur anderen meinst. Zum Beispiel steht bei "und dann sind wir wieder bei dem Beispiel mit $Y = X^2$." nicht dabei, welche konkrete Frage Du hast.
\quoteon
Ich kanns an der Stelle nicht verstehen. Der Text war auch von mir so geschrieben, dass man es analog dazu hätte betrachten müssen.
\quoteon
Bitte versuche, genauere Fragen zu stellen. Ich glaube, dass Dir das Nachdenken helfen kann, Deine Unklarheiten besser zu verstehen und damit gezielter beheben zu können.
\quoteoff
Machen wir bitte bei den anderen Aufgaben weiter. Wir haben zu viel Zeit dafür verschwendet.
\quoteoff
Es ist schade, dass Du meine Erklärungsversuche als Zeitverschwendung empfindest.
Wahrscheinlich ist ein direktes Gespräch mit einem Tutor oder StudienkollegInnen besser geeignet, den Knoten zu lösen.
\quoteon
Geh bitte in den nächsten Beiträgen von dir auch auf die anderen Sachen, z.B. Kompandierer und Expander sowie auf die Auflösung, ein.
\quoteoff
Das werde ich tun.
Servus,
Roland
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rlk
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| Beitrag No.13, eingetragen 2023-04-21
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Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2023-02-21 17:38 - Sinnfrei im Themenstart)
4)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Screenshot_2023-02-21_170700.png
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Screenshot_2023-02-21_170713.png
Bei der Aufgabe 4) weiss ich zu Beginn nicht, warum die Symmetrie-Linie bei $-0.5$ liegt.
\quoteoff
Die Dichtefunktion $p_Y(y) = \frac{2}{\pi \sqrt{1 - (2y + 1)^2}}$ nimmt ihr (lokales) Minimum an, wenn der Nenner maximal wird, das ist der Fall, wenn $2y + 1 = 0$ gilt. Das ist ein erster Hinweis auf eine Symmetrie bezüglich $y = -1/2$.
Nach der naheliegenden Substitution $y' = 2y + 1$, die Du in Beitrag 6 verwendet hast, ist offensichtlich, dass der Ausdruck eine gerade Funktion von $y'$ ist.
\quoteon
Ebenso weiss ich nicht wie sich die darauf folgenden Integrale ergeben - Auch die Integrationsgrenzen, was mit "Betrachtung nur rechte Hälfte" gemeint ist und warum das Ergebnis der Integration mit ${k\over 8}$ gleichgesetzt werden muss.
\quoteoff
Erinnere Dich daran, was hier berechnet werden soll: die Quantisierungsschwellen $y_k$, die zu gleichen Wahrscheinlichkeiten für die $2^3 = 8$ Quantisierungsstufen führen. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $y_k < Y< y_{k+1}$ muss also den Wert $1/8$ haben. Daher muss
$$ \int_{y_k}^{y_{k+1}} p_Y(y)\,\dd y = \frac{1}{8}$$
gelten. Wegen der Symmetrie der Dichtefunktion bezüglich $y = -\frac{1}{2} =: y_0$ reicht es, eine Hälfte zu untersuchen und die Schwellen $y_1\ldots y_4$ zu berechnen.
Die Werte $y_k$ sind Quantile der Zufallsvariablen $Y$.
\quoteon
5)
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Die Kompressorkennlinie soll wie der Name vielleicht andeuten lässt, entwas kleiner machen vielleicht? Bin da nicht sicher und ja wie kommt man auf den Verlauf der Kompressor- und Expanderkennlinie.
\quoteoff
Habt ihr diese Begriffe in der Vorlesung besprochen?
Wenn Du die Anzahl $n$ der Quantisierungsstufen vergrößerst und $y_k$ als Funktion von $u = \frac{k}{n}$ darstellst, erhältst Du
$$y = \frac{1}{2}\left(\sin(\pi u) - 1\right) \qquad(13.1)$$
Löst man $(13.1)$ nach $u$ auf, so erhält man
$$ u = \frac{1}{\pi}\arcsin(2y + 1)\qquad(13.2).$$
Den Graphen dieser Funktion habe ich rot zeichnen lassen, die Dichtefunktion ist als blaue Kurve dargestellt. Im Vergleich zur grau eingezeichneten Tangente vergrößert die Funktion $(13.2)$ Werte, die in der Nähe der Ränder $y=-1$ und $y=0$ liegen, deshalb bezeichnet man den Graphen als Expanderkennlinie. Die durch $(13.1)$ definierte Umkehrfunktion liefert eine Kompressorkennlinie. Ich finde es aber nicht sehr geschickt, diese so einzuzeichnen, wie das in der Musterlösung gemacht wurde, weil hier $y$ die Ausgangs- und $u$ die Eingangsgröße sind.
Der Pfeil, def in der Skizze von "Kompressor" ausgeht, zeigt zur falschen Kurve.
Bis auf eine Verschiebung ist $(13.2)$ die Verteilungsfunktion von $Y$.
Wendet man diese Abbildung auf die Zufallsvariable $Y$ an, so entsteht die gleichverteilte Zufallsvariable $U=\frac{1}{\pi}\arcsin(2 Y + 1)$, diese kann man gleichmäßig quantisieren, um die ursprüngliche Aufgabe zu lösen.
\geoon
ebene(500,600)
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c(grey)
pfeil(P1,P3)
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c(blue)
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strecke(P1,P4,l)
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c(grey)
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\geooff
geoprint(,PDF)
Servus,
Roland
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Mitteilungen: 585
| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-25
|
\quoteon(2023-04-21 00:22 - rlk in Beitrag No. 13)
Hallo Sinnfrei,
\quoteon(2023-02-21 17:38 - Sinnfrei im Themenstart)
4)
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Bei der Aufgabe 4) weiss ich zu Beginn nicht, warum die Symmetrie-Linie bei $-0.5$ liegt.
\quoteoff
Die Dichtefunktion $p_Y(y) = \frac{2}{\pi \sqrt{1 - (2y + 1)^2}}$ nimmt ihr (lokales) Minimum an, wenn der Nenner maximal wird, das ist der Fall, wenn $2y + 1 = 0$ gilt. Das ist ein erster Hinweis auf eine Symmetrie bezüglich $y = -1/2$.
Nach der naheliegenden Substitution $y' = 2y + 1$, die Du in Beitrag 6 verwendet hast, ist offensichtlich, dass der Ausdruck eine gerade Funktion von $y'$ ist.
\quoteon
Ebenso weiss ich nicht wie sich die darauf folgenden Integrale ergeben - Auch die Integrationsgrenzen, was mit "Betrachtung nur rechte Hälfte" gemeint ist und warum das Ergebnis der Integration mit ${k\over 8}$ gleichgesetzt werden muss.
\quoteoff
Erinnere Dich daran, was hier berechnet werden soll: die Quantisierungsschwellen $y_k$, die zu gleichen Wahrscheinlichkeiten für die $2^3 = 8$ Quantisierungsstufen führen. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $y_k < Y< y_{k+1}$ muss also den Wert $1/8$ haben. Daher muss
$$ \int_{y_k}^{y_{k+1}} p_Y(y)\,\dd y = \frac{1}{8}$$
gelten. Wegen der Symmetrie der Dichtefunktion bezüglich $y = -\frac{1}{2} =: y_0$ reicht es, eine Hälfte zu untersuchen und die Schwellen $y_1\ldots y_4$ zu berechnen.
Die Werte $y_k$ sind Quantile der Zufallsvariablen $Y$.
\quoteon
5)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54796_Screenshot_2023-02-21_170726.png
Die Kompressorkennlinie soll wie der Name vielleicht andeuten lässt, entwas kleiner machen vielleicht? Bin da nicht sicher und ja wie kommt man auf den Verlauf der Kompressor- und Expanderkennlinie.
\quoteoff
Habt ihr diese Begriffe in der Vorlesung besprochen?
\quoteoff
Die Begriffe tauchen bei uns im Kapitel Quellencodierung auf, weiss aber in dem Kontext dieser Aufgabe nicht, wie ich damit umgehen soll.
Ebenfalls verstehe ich immer noch nicht, wie sich die Integrationsgrenzen ergeben (von $-0.5$ bis $y_k + 1$) und das damit einhergehende Integral. Das finde ich nicht im Skript oder in den Übungen.
Wie weiss ich denn, dass die Expander- bzw. Kompressorkennlinie unterhalb der Y-Achse verlaufen und nicht oberhalb der Y-Achse.
\quoteon
Wenn Du die Anzahl $n$ der Quantisierungsstufen vergrößerst und $y_k$ als Funktion von $u = \frac{k}{n}$ darstellst, erhältst Du
$$y = \frac{1}{2}\left(\sin(\pi u) - 1\right) \qquad(13.1)$$
Löst man $(13.1)$ nach $u$ auf, so erhält man
$$ u = \frac{1}{\pi}\arcsin(2y + 1)\qquad(13.2).$$
Den Graphen dieser Funktion habe ich rot zeichnen lassen, die Dichtefunktion ist als blaue Kurve dargestellt. Im Vergleich zur grau eingezeichneten Tangente vergrößert die Funktion $(13.2)$ Werte, die in der Nähe der Ränder $y=-1$ und $y=0$ liegen, deshalb bezeichnet man den Graphen als Expanderkennlinie. Die durch $(13.1)$ definierte Umkehrfunktion liefert eine Kompressorkennlinie. Ich finde es aber nicht sehr geschickt, diese so einzuzeichnen, wie das in der Musterlösung gemacht wurde, weil hier $y$ die Ausgangs- und $u$ die Eingangsgröße sind.
Der Pfeil, def in der Skizze von "Kompressor" ausgeht, zeigt zur falschen Kurve.
Bis auf eine Verschiebung ist $(13.2)$ die Verteilungsfunktion von $Y$.
Wendet man diese Abbildung auf die Zufallsvariable $Y$ an, so entsteht die gleichverteilte Zufallsvariable $U=\frac{1}{\pi}\arcsin(2 Y + 1)$, diese kann man gleichmäßig quantisieren, um die ursprüngliche Aufgabe zu lösen.
\quoteoff
Wie sich die Gleichung $u = {k\over n}$ ergibt, weiss ich immer noch nicht und wie ich das mit dem Integral gleichzusetzen habe. Also den ganzen Absatz verstehe ich nicht "Bis auf eine Verschiebung..." und "$U=\frac{1}{\pi}\arcsin(2 Y + 1)$" sei eine gleichverteilte Zufallsvariable und was danach noch mit gleichmäßig quantisieren kommt.
\quoteon
\geoon
ebene(500,600)
x(-1.2,0.2) y(-0.6,3)
konstante(pi,3.1415926)
parameter(v, -1, 0, 0.0025)
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punkt(-1.2,0,P1,hide)
punkt(0,3,P2,hide)
punkt(0.2,0,P3,hide)
punkt(-1,0,P4,hide)
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pfeil(P1,P3)
pfeil(O,P2,PDF)
c(blue)
kurve(v,2/(pi*sqrt(1 - pow((2*v+1),2))),p_Y)
strecke(P1,P4,l)
strecke(O,P3,r)
c(red)
kurve(v,asin(2*v+1)/pi,u)
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kurve(v,2*(v + 0.5)/pi,t)
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