| |
| Autor |
 Abschätzung für Riemannsche Distanz und Hilbert-Entwicklung |
|
Phi1
Senior 
Dabei seit: 10.12.2005
Mitteilungen: 1915
Wohnort: Wien
 |  Themenstart: 2023-02-22
|
Hi!
Ich lese gerade einen Artikel, in dem ich auf zwei Passagen gestoßen bin, bei denen ich nicht verstehe, was gemeint sein soll:
Es sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, $r>0$ und $d$ sei die Riemannsche Distanz.
(1) Für $v,w \in T_p(M)$ mit $\lVert v \rVert + \lVert w \rVert \leq r$ gilt $| d^2( \exp_p(v),\exp_p(w) ) -\lVert v-w \rVert^2 |\leq \omega(r)(\lVert v \rVert^2 + \lVert w \rVert^2)$, wobei $\omega: [0,\infty] \rightarrow [0,\infty]$ monoton steigend ist mit $\omega(0)=0$ und $\omega$ stetig bei $0$.
Der Beweis soll einfach daraus folgen, dass man $d^2$ in lokalen Koordinaten betrachtet und die Stetigkeit von $g$ sowie die gleichförmige $C^2$ Glattheit der Exponentialfunktion nutzt.
(2) Für $\lVert v \rVert = 1$, soll $\lVert v - w \rVert = 1- g_p(v,w) +O(\lVert w \rVert^2)$ sein. (Wird als Hilbertsche Entwicklung bezeichnet).
Meine Fragen sind nun:
(a) Was könnte mit "gleichförmige $C^2$ Glattheit der Exponentialfunktion"
gemeint sein?
(b) Wie kommt man auf die Gleichung in (2)?
Bin für jede Hilfe oder Idee dankbar!
MfG
|
 Profil
|
nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-23
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
erstmal zu (2): Es ist ja
$$
\lVert v-w\rVert=\sqrt{g_p(v-w,v-w)}.
$$
Durch Polarisation erhält man im Fall $\lVert v\rVert=1$
$$
\begin{align*}
\lVert v-w\rVert^2 &=g_p(v-w,v-w)=\lVert v\rVert^2-2g_p(v,w)+\lVert w\rVert^2 \\
&=1-2g_p(v,w)+\lVert w\rVert^2.
\end{align*}
$$
Wir haben für festes $v$ mit $\lVert v\rVert=1$ noch die Funktion
$$
f_v\colon T_pM\setminus\lbrace v\rbrace\to \mathbb R, \ w\mapsto \sqrt{1-2g_p(v,w)+\lVert w\rVert^2}
$$
zu approximieren. Eine Taylorentwicklung erster Ordnung um $0\in T_pM$ liefert (sofern die direkte Verbindungsstrecke von $0$ und $w$ in $T_pM\setminus\lbrace v\rbrace$ liegt)
$$
f_v(w)=f_v(0)+(\d f_{v})_0(w)+O(\lVert w\rVert^2).
$$
Für eine glatte Kurve $\gamma\colon I\to T_pM\setminus\lbrace v\rbrace$ mit $\gamma(0)=0$ und $\gamma'(0)=w$ gilt dann (ich identifiziere hier: $T_0(T_pM)\cong T_pM$)
$$
\begin{align*}
(\d f_{v})_0(w)=(f_v\circ \gamma)'(0) &=\frac{\d}{\d t}\bigg|_{t=0}\sqrt{1-2g_p(v,\gamma(t))+\lVert \gamma(t)\rVert^2} \\
&=\frac{-2\frac{\d}{\d t}\big|_{t=0}g_p(v,\gamma(t))+\frac{\d}{\d t}\big|_{t=0}\lVert \gamma(t)\rVert^2}{2\sqrt{1-2g_p(v,\gamma(0))+\lVert \gamma(0)\rVert^2}} \\
&=\frac 12\frac{\d}{\d t}\bigg|_{t=0}\lVert \gamma(t)\rVert^2-\frac{\d}{\d t}\bigg|_{t=0}g_p(v,\gamma(t)).
\end{align*}
$$
Zunächst ist
$$
\begin{align*}
\frac{\d}{\d t}\bigg|_{t=0}\lVert \gamma(t)\rVert^2 &=\frac{\d}{\d t}\bigg|_{t=0}g_p(\gamma(t),\gamma(t)) \\
&=g_p\left(\frac{\d}{\d t}\bigg|_{t=0} \gamma(t),\gamma(0)\right)+g_p\left(\gamma(0),\frac{\d}{\d t}\bigg|_{t=0} \gamma(t)\right) \\
&=2g_p(\gamma(0),w)=0.
\end{align*}
$$
Weiterhin ist
$$
\begin{align*}
\frac{\d}{\d t}\bigg|_{t=0}g_p(v,\gamma(t)) &=g_p\left(\frac{\d}{\d t}\bigg|_{t=0} v,\gamma(0)\right)+g_p\left(v,\frac{\d}{\d t}\bigg|_{t=0} \gamma(t)\right) \\
&=g_p(0,\gamma(0))+g_p(v,w) \\
&=g_p(v,w).
\end{align*}
$$
Folglich ist $(\d f_{v})_0(w)=-g_p(v,w)$ und damit insgesamt
$$
\lVert v-w\rVert=f_v(w)=1-g_p(v,w)+O(\lVert w\rVert^2).
$$
Zu (1) muss ich sagen, dass ich diesen Begriff noch nie gehört habe. Eventuell geht es um "uniform normal coordinates" von $M$? Könntest du eventuell das Paper mal verlinken?
Ansonsten kannst du es ja einfach mal mit einer Koordinatendarstellung versuchen.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
Phi1
Senior
Dabei seit: 10.12.2005
Mitteilungen: 1915
Wohnort: Wien
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-25
|
@nzimme10: vielen Dank für diese ausführliche Antwort! Jetzt ist es mir klar.
Zu (1): diese Behauptung stammt aus "Lectures on Optimal Transport, Ambrosio, Brue, Semaola, Spring" auf Seite 75.
Herr Semoala, hat mir nun folgende Tipps zukommen lassen, die ich im Original hier nun angebe:
\quoteon First, I’d suggest that you work in exponential coordinates around $x$. The coordinates of $\exp_x v$ and $\exp_x w$ are $v$ and $w$ respectively. In order to compute $d(\exp_x v, \exp_x w)^2$ you need to minimize the action
$\int g_{i j} (γ(t))γ'_i (t)γ'_j (t) dt$
among all curves $γ$ connecting $v$ to $w$. You need to check that if $|v|$ and $|w|$ are $≤ r$, then it is not convenient for the minimizing curve $γ$ to go far away from $0$, namely it will stay in a ball of radius $Cr$, where $C$ is a constant.
The next step is to check that if $g_{i j}$ is constant, then the minimizing curve is the affine one connecting $v$ to $w$. In that case you can explicitly compute $d(\exp_x v, \exp_x w)^2$.
Then, you need to use the continuity of the metric coefficients to estimate
$| min_γ \int g_{i j} (γ(t))γ'_i (t)γ'_j (t) dt − min_γ \int g_{i j} (0)γ'_i (t)γ′_j (t) dt|$
where the minimum runs among all curves $γ$ connecting $v$ to $w$ that do not go too far away from $0$, in terms of $r$.
Basically, you freeze the metric coefficients $g_{i j}$ , that a priori depend on the point, to their value in the origin and show that the minimum is not affected too much by this freezing operation.
\quoteoff
Basierend hierauf, habe ich mir folgendes bis jetzt überlegt:
(A) Sei $\gamma( t ) := ( 1 - t ) v + t w$. Dann ist $\dot{ \gamma }( t ) = v-w$ und $\lVert v-w \rVert_0^2 = \int g_{ i j }( 0 ) ( v - w )_i ( v - w )_j \, dt$ mit $\lVert a \rVert_x^2 := g(x)( a, a )$. Weiters ist ja $\lVert \gamma(t) \rVert_0 \leq \lVert v \rVert_0 + \lVert w \rVert_0 \leq 2 r$.
(B) Es sei $\gamma$ eine Kurve, sodass $d( v, w )^2 = \int g_{i j} (γ(t))γ'_i (t)γ'_j (t) dt$, dann gibt es ein $C>0$, sodass $\gamma(t) \in B_{Cr}(0):=\{ a \in T_x M; ~ \lVert a \rVert_0 \leq Cr \}$ für alle $t \in [ 0, 1 ]$.
(C) Ist $g_{ i j }$ konstant, dann gilt $d( v, w )^2 = \lVert v-w \rVert_0^2 = \int g_{ i j }( 0 ) ( v - w )_i ( v - w )_j \, dt$ mit $\gamma$ wie in (A).
Für (B) finde ich leider keinen Ansatz, wie ich das machen könnte.
Für (C) denke ich mir, dass wenn $g_{i j}$ constant ist, dann kann ich stets $g_{i,j}(0)$ betrachten. Dies ergibt $min_{\gamma} \int g_{ i j }( \gamma( t ) ) \dot{\gamma_i}(t)\dot{\gamma_j}(t) \, dt = min_{\gamma}\int g_{ i j }( 0 ) \dot{\gamma_i}(t)\dot{\gamma_j}(t) \, dt \leq \lVert v - w \rVert_0^2$.
Die umgekehrte Ungleichung erschließt sich mir leider nicht.
Ich würde Euch um Eure Hilfe bitten. Vielleicht hättet Ihr noch ein paar Tipps für mich.
LG
|
Profil
|
| Phi1 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
