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| Autor |
  Relation |
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Biene30
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 14.02.2023
Mitteilungen: 201
 |  Themenstart: 2023-02-22
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Ist die Relation ~ auf N x N mit
x~y: \(\leftrightarrow x*y \leq x+y+4\) reflexiv symmetrisch u transitiv?
nicht relfexiv
Gegenbeispiel \(4*4=16 > 12= 4+4+4\)
symmetrisch
xy=yx und x+y=y+x
(kann man hier die 4 vernachlässigen weil ich rechnen kann x+y+4=y+x+4 und dann auf beiden Seiten minus 4?)
transitiv?
\(x*y \leq x+y+4\) und \(y*z \leq y+z+4\) daraus folgt \(x*z\leq x+z+4\)
Ich denke die Rellation ist nicht transitiv. Ich bräuchte aber ein Gegenbeispiel.
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3806
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-22
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Hallo,
als erstes könntest du dir überlegen, welche für Paare $(x,y)\in \mathbb N\times\mathbb N$ überhaupt $x\sim y$ gilt.
Es ist $xy-(x+y+4)=(x-1)(y-1)-5$. Also suchen wir alle Paare $(x,y)\in \mathbb N\times\mathbb N$ mit $(x-1)(y-1)\leq 5$. O.B.d.A. sei $x\leq y$. Für $x\in\{0,1\}$ und beliebiges $y\in\mathbb N$ gilt das. Sei nun $y\geq x\geq 2$ gibt es nur noch endlich viele Paare.
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10923
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-02-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2023-02-22 12:01 - Biene30 im Themenstart)
Ich denke die Rellation ist nicht transitiv. Ich bräuchte aber ein Gegenbeispiel.
\quoteoff
Deine Vermutung ist richtig. Versuche einmal, ein möglichst kleines Paar \((x,z)\) zu finden, welches die Relation nicht erfüllt. Und dann ergänzt du durch ein geeignetes \(y\), so dass \((x,y)\) und \((y,z)\) die Relation erfüllen.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Relationen und Abbildungen' in Forum 'Relationen und Abbildungen' von Diophant]\(\endgroup\)
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Biene30
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 14.02.2023
Mitteilungen: 201
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-22
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\(\{(1,n), (n,1), (2,2), (2,3),(3,2), (3,3)\}\) für (4,2) ist die Ungleichung schon nicht mehr erfüllt
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PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
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Wohnort: Rabennest
 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-02-22
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\quoteon(2023-02-22 13:18 - Biene30 in Beitrag No. 3)
\(\{(1,n), (n,1), (2,2), (2,3),(3,2), (3,3)\}\) für (4,2) ist die Ungleichung schon nicht mehr erfüllt
\quoteoff
$4\cdot 2 = 8 \leq 4+2+4=10$, also ist die Relation für dieses Paar sehr wohl erfüllt.
Grüße,
PhysikRabe
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Biene30
Wenig Aktiv
Dabei seit: 14.02.2023
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-22
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Ohja hab mich verrechnet...
\(\{(1,n), (n,1), (2,2), (2,3),(3,2), (3,3), (4,2),(2,4)\}\)
Aber für (3,4) ist sie nicht mehr erfüllt
\(3*4=12 \leq 11=3+4+4\)
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PhysikRabe
Senior
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-02-22
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\quoteon(2023-02-22 13:28 - Biene30 in Beitrag No. 5)
Aber für (3,4) ist sie nicht mehr erfüllt
\(3*4=12 \leq 11=3+4+4\)
\quoteoff
Sehr schön. Setze also $x=3$, $z=4$, und wähle $y$ so, dass $x\sim y$ und $y\sim z$ gilt. Dann hast du dein Gegenbeispiel für die Transitivität.
Noch zur Symmetrie:
\quoteon(2023-02-22 12:01 - Biene30 im Themenstart)
(kann man hier die 4 vernachlässigen weil ich rechnen kann x+y+4=y+x+4 und dann auf beiden Seiten minus 4?)
\quoteoff
Sozusagen. Die Symmetrie folgt aus der Tatsache, dass Addition und Multiplikation auf $\mathbb N$ kommutativ sind. Die $4$ spielt dabei keine Rolle.
Grüße,
PhysikRabe
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Biene30
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-22
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Wenn ich y = 2 wähle
\(3\cdot 2 \leq 3+2+4\)
\(2 \cdot 4 \leq 2+4+4\)
aber es gilt nicht
\(3 \cdot 4 \leq 3+4+4\)
So richtig?
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PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2887
Wohnort: Rabennest
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-02-22
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\quoteon(2023-02-22 13:41 - Biene30 in Beitrag No. 7)
Wenn ich y = 2 wähle
\(3\cdot 2 \leq 3+2+4\)
\(2 \cdot 4 \leq 2+4+4\)
aber es gilt nicht
\(3 \cdot 4 \leq 3+4+4\)
So richtig?
\quoteoff
Ja, das ist richtig. Der Befehl für "nicht kleiner oder gleich" in $\LaTeX$ ist übrigens \nleq . Es gilt also $3 \cdot 4 =12 \nleq 3+4+4 = 11$.
Grüße,
PhysikRabe
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Biene30
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-22
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Alles klar, ich danke euch allen :-)
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