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  Linearität |
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Biene30
Aktiv 
Dabei seit: 14.02.2023
Mitteilungen: 201
 |  Themenstart: 2023-02-22
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Ich habe eine Funktion f: \(\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\)
Mit \(f(\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}\right))=3
\)
und \(f(\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right))=4
\)
Ist f linear?
Dafür muss ich doch folgendes überprüfen
1. f(x+y)=f(x)+f(y)
2. f(c*x)=c* f(x)
Wie mache ich das?
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PhysikRabe
Senior 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2820
Wohnort: Rabennest
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-22
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Zeige, dass $f$ nicht linear sein kann, da es $f(cx)=cf(x)$ nicht erfüllt. Drücke dafür z.B. $\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right)$ durch $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}\right)$ aus.
Grüße,
PhysikRabe
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-02-22
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Hallo,
bei dieser Ausgangslage, also ohne irgendeine Zuordnungsvorschrift, vermutet man doch eigentlich sofort, dass die Annahme falsch ist. Also braucht man nur ein einziges Gegenbeispiel. Und das lässt sich hier aus den Angaben leicht konstruieren. Siehe dazu Beitrag #1. 🙂
Für den anderen Fall müsstest du wie gesagt entweder die Zuordnungsvorschrift selbst, oder irgendwelche Angaben, aus denen sie sich ermitteln oder vom Typ her eingrenzen lässt, vorliegen haben.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Lineare Abbildungen' von Diophant]
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PeterMeier123
Aktiv 
Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 193
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-22
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\quoteon
Für den anderen Fall müsstest du wie gesagt entweder die Zuordnungsvorschrift selbst, oder irgendwelche Angaben, aus denen sie sich ermitteln oder vom Typ her eingrenzen lässt, vorliegen haben.
\quoteoff
Könnte man nicht die Transformationsmatrix aus diesen Angaben bereits bestimmen?
Nachtrag: Dazu benötigt man die Inverse von $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, hier fällt dann auf, dass diese nicht existiert.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10684
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-02-22
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\quoteon(2023-02-22 14:52 - PeterMeier123 in Beitrag No. 3)
Könnte man nicht die Transformationsmatrix aus diesen Angaben bereits bestimmen?
\quoteoff
Schwierig, wenn die Abbildung nicht linear ist. 😉
Gruß, Diophant
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PeterMeier123
Aktiv
Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 193
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-02-22
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\quoteon
Schwierig, wenn die Abbildung nicht linear ist. 😉
\quoteoff
Darauf wollte ich hinaus 🙂
Siehe meinen Nachtrag.
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PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2820
Wohnort: Rabennest
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-02-22
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Und sogar wenn die Angabe der Linearität nicht widersprechen würde: Aus den angegebenen Informationen kann man keine eindeutige lineare Abbildung auf dem $\mathbb R^2$ basteln, weil $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right)$ linear abhängig sind.
Nachtrag: Das entspricht genau dem Einwand von PeterMeier. 🙂
Grüße,
PhysikRabe
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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Biene30
Aktiv
Dabei seit: 14.02.2023
Mitteilungen: 201
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-24
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$\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right) = \frac{3}{2}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}\right)$
Mein c ist ja \(\frac{3}{2}\)
Und es gilt
\(\frac{3}{2} f\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}\right)= \frac{3}{2} \cdot 3 \neq f(c \cdot x) = \left(\begin{array}{c} \frac{3}{2} 2\\ \frac{3}{2}2 \end{array}\right) =f\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right) =4\)
so?
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PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2820
Wohnort: Rabennest
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-02-24
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Bis auf einen Tippfehler (es ist $f(\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}\right))=3$, nicht $2$) ist das richtig.
Grüße,
PhysikRabe
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Biene30
Aktiv
Dabei seit: 14.02.2023
Mitteilungen: 201
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-24
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Ahja genau da hat sich ein Fehler eingeschlichen. Ich korrigiere es.
Vielen Dank PhysikRabe
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