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Analysis » Komplexe Zahlen » Potenzierte Gleichung lösen
Autor
Universität/Hochschule J Potenzierte Gleichung lösen
Max_804
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  Themenstart: 2023-02-23

Hallo, ich gehe gerade Altklausuren durch, und eine Aufgabe war: Eine komplexe Lösung der Gleichung $z^4 = -7+24i$ ist $z_1 = 2+i$. Bestimmen Sie alle anderen komplexen Lösungen der Gleichung $z^4 = -7+24i$. Es ist keine Rechnung oder ähnliches erwünscht, sondern nur die Lösung. Nun frage ich mich, da der Weg über den Satz von Moivre umständlich wäre ($\arccos \frac{-7}{25}$ geht ja im Kopf nicht wirklich), ob es da irgendwie einen Trick gibt, um auf die restlichen Lösungen zu kommen.

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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-23

Beachte $(z/z_1)^4=1$. Du musst also nur die vierten Einheitswurzeln kennen, um die anderen drei Lösungen zu berechnen. --zippy

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cramilu
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Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
  Beitrag No.2, eingetragen 2023-02-23

Ich würde zunächst substituieren: \(z^4\;=\;y^2\;=\;-7+24i\) ; \(y_1\;=\;z_1^2\) Wie muss \(z_2\) 'aussehen', so dass auch \(z_2^2=y_1\) ? Und dann: \(y^2=(-y)^2\) ...

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