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 Extremwertaufgabe |
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Biene30
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 |  Themenstart: 2023-03-02
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Hallo an alle.
Ich habe folgende Aufgabe
Ein Kunststoffgefäß für Öl mit einem Fassungsvermögen 1 Liter (=1 dm^3) hat quaderform mit quadratischer Grundfläche.
1.Bestimme die Abmessungen, für die der Materialverbrauch minimal wird.
2.Der Kunststoff kostet 0.13 Euro pro cm^2. Bestimme die minimalen Kosten.
zu 1.
Also es wird ja die minimale Oberfläche eines Würfels gesucht, oder?
min O= \(6a^2\)
zu 2.
muss ich da nicht nur die Oberfläche mal den Preis nehmen?
Viele Grüße
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gonz
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-02
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Hallo Biene,
Nein, "Quaderform mit quadratischer Grundfläche" ist kein Würfel.
Da musst du nochmal nachgrübeln...
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Biene30
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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Stimmt, die Höhe kann ja eine andere sein...
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Caban
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-02
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Hallo
Schreibe am besten erstmal Neben- und Hauptbedingung auf.
Gruß Caban
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Biene30
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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Hallo Caban.
\(a*a*h= 1 Liter\)
Mantel = \((a+b)^2\)
Oberfläche= Mantel + 2 * Grundfläche
= \((a+b)^2+2 \cdot a^2\)
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Caban
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-02
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Hallo
Überlege beim Mantel nochmal.
Was ist b bei dir?
Gruß Caban
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Biene30
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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Ich habe es gerade gemerkt der Mantel müsste
\(2(a^2+ ah+ah\)sein
weil allgemein gilt ja \(2(ab+ah+bh\) mit a Länge, b Breite und h Höhe
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Caban
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-03-02
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Hallo
ja A=2*(a^2+2*a*h) ist eine mögliche Hauptbedingung. Jetzt musst du die Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzen.
Gruß Caban
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Biene30
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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Die Nebenbedingung ist ja
\(a^2*h = 1 Liter\)
stelle nach h um
\(h=\frac{1}{a^2}Liter\)
Setze h ein
\(2(a^2+2a\cdot \frac{1}{a^2})= 2(a^2 + \frac{2}{a})\)
Dann würde ich das gleich null setzen, aber dann kommt bei mir \(a^3=-2\)
raus
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Caban
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-03-02
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Hallo
Nein, die Oberfläche soll doch minimal werden, also musst du die erste Ableitung 0 setzen. Außerdem solltest du dir kurz überlegen, wie der DB der Zielfunktion ist.
Gruß Caban
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Biene30
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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Ohja die erste Ableitung....schlimm heute Abend...Danke Caban
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Caban
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-03-02
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Hallo
Und nicht vergessen, das Minimum mit der zweiten Ableitung oder Vorzeichenwechsel zu überprüfen.
Gruß Caban
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Biene30
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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\(O'(a)=4a - \frac{4}{a^2}\)
\(O''(a)= 4 + \frac{8}{a^3} >0\), da a positiv ist
\(O'(a)=0\)
\(4a - \frac{4}{a^2}=0\)
\(4a^3-4=0\)
\(a^3=1\)
Und dieses \(a^3=1\) in O(a) einsetzen, also
\(O(1)=2(1^2+2*1*1)=6\)
Die minimale Oberfläche ist also 6
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Caban
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| Beitrag No.13, eingetragen 2023-03-02
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Hallo
Du hast aber a noch gar nicht ausgerechnet, du hast nur a^3.
Gruß Caban
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Biene30
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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Ja aber die dritte Wurzel aus a ist doch 1. Oder gilt da auch dass man Plus/Minus davor schreiben muss?
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Caban
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| Beitrag No.15, eingetragen 2023-03-02
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Hallo
Nein, da 3 ein ungerader Exponent ist, ist a=1 die einzige Lösung. Du musst aber noch die Einheit beachten. Es würde sich hier a= 1 dm ergeben. Die minimale Oberfläche stimmt nicht, weil die Einheit nicht passt. Bei jedem anderen vorgebenen Volumen wäre der Zahlenwert falsch. Die minimale Oberfläche wäre dann 6 dm^2. Jetzt brauchst du aber noch h und die Randbetrachtungen.
Gruß Caban
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Kuestenkind
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| Beitrag No.16, eingetragen 2023-03-02
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Huhu Biene,
um \(2a^2+\frac{4}{a}\) für positives \(a\) zu minimieren, benötigt man keine Ableitung. Man kann dort einfach folgendes Theorem nutzen:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/45489_Bildschirm_foto_2023-03-02_um_22.08.19.png
Man schreibt nun \(2a^2+\frac{4}{a}=2a^2+\frac{2}{a}+\frac{2}{a}\) und hat dann das konstante Produkt \(8=2^3\). Das Minimum ist also \(2+2+2=6\) und wird angekommen bei \(2a^2=\frac{2}{a}=\frac{2}{a}=2\), also bei \(a=1\).
Es ist wenig überraschend, dass dein gesuchter Quader nun der Würfel ist. Es gilt allgemein: Der Quader bei festem Volumen mit minimaler Oberfläche ist der Würfel. Der Beweis geht einfach:
Seien \(x,y,z\) die Seitenlängen des Quaders. Das Volumen sei \(xyz=k^3\), wobei \(k\) eine positive Konstante ist. Die Oberfläche ist nun \(O=2xy+2xz+2yz\). Somit haben wir ein konstantes Produkt - und minimieren \(O\) mit \(2xy=2xz+2yz\), woraus \(x=y=z\) folgt. \(\square\)
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]
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Biene30
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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Ist denn a^3 = 1Liter?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]
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Caban
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| Beitrag No.18, eingetragen 2023-03-02
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Hallo
Ja, a^3 ist 1 Liter, aber das ist vorgebenen. Du willst doch aber die minimale Oberfläche berechnen.
Gruß Caban
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Biene30
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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Also ist a^3 =1000 cm^3 oder bin ich jetzt ganz falsch?
Hallo Küstenkind, vielen Dank für deinen Beweis, allerdings ist die Aufgabe für Schüler gedacht, die keine Beweise hatten. Viele Grüße
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Caban
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| Beitrag No.20, eingetragen 2023-03-02
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Hallo
a^3 =1000 cm^3 ist richtig, aber nicht gefragt. Gefragt sind die Maße der Seiten a und h.
Gruß Caban
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Biene30
Aktiv
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| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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Ich weiß nicht wie ich auf diese Maße kommen soll.
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Caban
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| Beitrag No.22, eingetragen 2023-03-02
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Hallo
a hast du doch schon berechnet, es ist a=1dm, h kannst du berechnen, indem du a=1 im die Nebenbedingung einsetzt.
Gruß Caban
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Biene30
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| Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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Also ich nehme mal
\(h=\frac{1}{a^2}Liter\)
\(h= \frac{1}{a^2} dm^3\)
\(h =\frac{1}{(1dm)^2} dm^3\)
h= 1 dm
Stimmt das so?
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Caban
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| Beitrag No.24, eingetragen 2023-03-02
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Hallo
Ja, jetzt solltest du noch die Ränder von a betrachten.
Gruß Caban
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Biene30
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| Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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Wie meinst du das mit den Rändern?
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Caban
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| Beitrag No.26, eingetragen 2023-03-02
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Hallo
Ich meine die Ränder des DB der Zielfunktion.
lim(a->0^+,A(a))=+\inf
lim(a->\inf ,A(a))=+\inf
A(1)=6 dm^2
a wird also für a=1 dm und h=1 dm minimal.
Damit wäre a fertig.
Gruß Caban
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Biene30
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| Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-03
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\quoteon(2023-03-02 21:20 - Biene30 im Themenstart)
Ein Kunststoffgefäß für Öl mit einem Fassungsvermögen 1 Liter (=1 dm^3) hat quaderform mit quadratischer Grundfläche.
1.Bestimme die Abmessungen, für die der Materialverbrauch minimal wird.
2.Der Kunststoff kostet 0.13 Euro pro cm. Bestimme die minimalen Kosten.
\quoteoff
Ich habe ja als minimale Oberfläche jetzt \(O(1)=6 dm^2\) raus.
Muss ich die für die 2 in cm umwandeln als \(O(1)=600cm^2* 0,13 Euro=78 \)
Aber was it mit der Einheit, da käme ja cm^2 Euro als Einheit raus
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thureduehrsen
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 | Beitrag No.28, eingetragen 2023-03-03
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\quoteon(2023-03-03 11:06 - Biene30 in Beitrag No. 27)
\quoteon(2023-03-02 21:20 - Biene30 im Themenstart)
2.Der Kunststoff kostet 0.13 Euro pro cm.
\quoteoff
\quoteoff
Ist da ein Tippfehler in der Aufgabe?
Sollen das 13 Cent pro Quadratzentimeter sein?
Ist der Kunststoff überall gleich stark?
Ich habe keine Ahnung von Ölfässern, wie realistisch das ist.
mfg
thureduehrsen
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Biene30
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| Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-03
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ja gut erkannt es sollen 0,13 Cent pro Quadratcentimeter sein. Der Kunststoff ist überall gleich dick.
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thureduehrsen
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| Beitrag No.30, eingetragen 2023-03-03
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Dann ist der Plan jetzt ja klar:
Oberfläche minimieren, Fläche mit 13 Cent pro Quadratzentimeter multiplizieren, fertig.
mfg
thureduehrsen
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Biene30
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| Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-03
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Also kommen 78 Euro raus?
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thureduehrsen
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| Beitrag No.32, eingetragen 2023-03-03
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Rechne doch mal vor.
mfg
thureduehrsen
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Biene30
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| Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-03
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\quoteon(2023-03-03 11:06 - Biene30 in Beitrag No. 27)
\quoteon(2023-03-02 21:20 - Biene30 im Themenstart)
Ein Kunststoffgefäß für Öl mit einem Fassungsvermögen 1 Liter (=1 dm^3) hat quaderform mit quadratischer Grundfläche.
1.Bestimme die Abmessungen, für die der Materialverbrauch minimal wird.
2.Der Kunststoff kostet 0.13 Euro pro cm. Bestimme die minimalen Kosten.
\quoteoff
Ich habe ja als minimale Oberfläche jetzt \(O(1)=6 dm^2\) raus.
Muss ich die für die 2 in cm umwandeln als \(O(1)=600cm^2* 0,13 Euro/cm^2=78 Euro\)
So habe ich das hier gemacht
\quoteoff
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thureduehrsen
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| Beitrag No.34, eingetragen 2023-03-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Ich meinte eigentlich: schreibe die Aufgabe nochmal ab, inkl. Berichtigung des Einheitenfehlers, und dann schreibe einen Text, in dem du erklärst, wie du auf die Lösung kommst.
"Die Zielfunktion, die es zu mininieren gilt, ist ......."
"Die Nebenbedingungen lauten ......"
(jeweils mit Begründung, warum das so ist)
"Indem wir den Ausdruck ....... gleich Null setzen, erhalten wir für \(a\) die Lösungen ..... und ......, von denen die kleinere kleiner als Null, also unrealistisch, ist."
So in der Art.
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
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