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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Kern, Bild und Rang einer linearen Abbildung
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Universität/Hochschule Kern, Bild und Rang einer linearen Abbildung
Biene30
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  Themenstart: 2023-03-09

Hallo. Ich habe (leider) wieder eine lineare Abbildung. \(f: \mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3},\left( \begin{array}{r r r | r} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{r r r | r} \frac{1}{2}(x-y) \\ \frac{1}{2}(y-x) \\ 0 \\ \end{array} \right) \) Ich soll jetzt den Kern, das Bild und den Rang bestimmen. Muss ich hier jetzt nacheinander die Einheitsvektoren des R^3 für (x,y,z)^T einsetzen?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-09

\quoteon(2023-03-09 21:11 - Biene30 im Themenstart) Ich habe (leider) wieder eine lineare Abbildung. \(f: \mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3},\left( \begin{array}{r r r | r} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{r r r | r} \frac{1}{2}(x-y) \\ \frac{1}{2}(y-x) \\ 0 \\ \end{array} \right) \) Ich soll jetzt den Kern, das Bild und den Rang bestimmen. Muss ich hier jetzt nacheinander die Einheitsvektoren des R^3 für (x,y,z)^T einsetzen? \quoteoff Wieso leider? Du solltest dich freuen! 🙃 Es soll doch sicherlich \[\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) \mapsto\left( \begin{array}{c} \frac{1}{2}(x-y) \\ \frac{1}{2}(y-x) \\ 0 \\ \end{array} \right) \] heißen. Und: Die Einheitsvektoren einzusetzen ist schon mal eine gute Idee.


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Biene30
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-09

Gut dann habe ich \(f(\left( \begin{array}{r r r | r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right)) = \left( \begin{array}{r r r | r} \frac{1}{2} \\ \frac{-1}{2} \\ 0 \\ \end{array} \right) \) \(f(\left( \begin{array}{r r r | r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)) = \left( \begin{array}{r r r | r} \frac{-1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \\ \end{array} \right) \) \(f(\left( \begin{array}{r r r | r} 0\\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)) = \left( \begin{array}{r r r | r} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \) Diese 3 Bildvektoren würde ich jetzt in eine Matrix schreiben?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-09

\quoteon(2023-03-09 22:06 - Biene30 in Beitrag No. 2) Diese 3 Bildvektoren würde ich jetzt in eine Matrix schreiben? \quoteoff Wieso solltest du das tun?


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Biene30
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-09

Um Kern, Rang und Bild zu bestimmen Dafür brauche ich doch eine Matrix oder nicht


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PhysikRabe
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  Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-09

\quoteon(2023-03-09 22:25 - Biene30 in Beitrag No. 4) Um Kern, Rang und Bild zu bestimmen Dafür brauche ich doch eine Matrix oder nicht \quoteoff Um solche elementaren Fragen zu vermeiden ist es (wie immer bei der Bearbeitung einer Übungsaufgabe) essentiell, sich klar zu machen worum es eigentlich geht. Was bedeuten die Begriffe "Kern", "Bild" und "Rang" für eine lineare Abbildung? Übertrage diese allgemeine Definition dann auf die gegebene Abbildung. Grüße, PhysikRabe P.S.: In diesem Zusammenhang sei auch auf den Hinweis von Kuestenkind in deinem anderen Thread verwiesen: \quoteon(2023-03-09 22:05 - Kuestenkind in Beitrag No. 1) Hier gibt es eine Gute-Nacht-Lektüre: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805 Ich zitiere: "Der erste Schritt besteht darin, die dabei verwendeten mathematischen Begriffe zu verstehen. Wenn man sich nicht mehr an die Bedeutungen bzw. Definitionen erinnert, muss man diese im Skript oder bei Wikipedia nachschlagen." \quoteoff


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.6, eingetragen 2023-03-09

\quoteon(2023-03-09 22:25 - Biene30 in Beitrag No. 4) Um Kern, Rang und Bild zu bestimmen Dafür brauche ich doch eine Matrix oder nicht \quoteoff Aber Bild und Kern einer Abbildung sind doch keine Matrizen, sondern (bei linearen Abbildungen) Untervektorräume des Bild- bzw. Urbildraums. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2023-03-09

Hallo, \quoteon(2023-03-09 22:25 - Biene30 in Beitrag No. 4) Um Kern, Rang und Bild zu bestimmen Dafür brauche ich doch eine Matrix oder nicht \quoteoff Nicht wirklich. Das wäre zumindest ultimativ umständlich hier. Was versteht man unter den Begriffen Kern und Bild (-> Studium Unterlagen)? Damit kann man beide hier schon allein durch 'scharfes Hinsehen' ermitteln (muss man dann natürlich noch geeignet begründen). Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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Biene30
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-24

\quoteon(2023-03-09 22:06 - Biene30 in Beitrag No. 2) Gut dann habe ich \(f(\left( \begin{array}{r r r | r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right)) = \left( \begin{array}{r r r | r} \frac{1}{2} \\ \frac{-1}{2} \\ 0 \\ \end{array} \right) \) \(f(\left( \begin{array}{r r r | r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)) = \left( \begin{array}{r r r | r} \frac{-1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \\ \end{array} \right) \) \(f(\left( \begin{array}{r r r | r} 0\\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)) = \left( \begin{array}{r r r | r} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \) Diese 3 Bildvektoren würde ich jetzt in eine Matrix schreiben? \quoteoff Wenn ich die Einheitsvektoren einsetze bekomme ich doch das Bild?


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Diophant
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  Beitrag No.9, eingetragen 2023-03-24

\quoteon(2023-03-24 11:20 - Biene30 in Beitrag No. 8) Wenn ich die Einheitsvektoren einsetze bekomme ich doch das Bild? \quoteoff Nein. Dann bekommst ein Erzeugendensystem des Bilds, das ist etwas anderes. Also: Unterlagen raus, Definitionen und Sätze nachlesen und verstehen... Außerdem: \quoteon(2023-03-09 22:34 - Diophant in Beitrag No. 7) \quoteon(2023-03-09 22:25 - Biene30 in Beitrag No. 4) Dafür brauche ich doch eine Matrix oder nicht \quoteoff Nicht wirklich. Das wäre zumindest ultimativ umständlich hier. Was versteht man unter den Begriffen Kern und Bild (-> Studium Unterlagen)? Damit kann man beide hier schon allein durch 'scharfes Hinsehen' ermitteln (muss man dann natürlich noch geeignet begründen). \quoteoff Gruß, Diophant


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Biene30
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-24

Für den Kern muss ich ja rechnen A*x=0 \( \left( \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} \\ \frac{-1}{2} & \frac{1}{2}\\ 0 &0 \\ \end{array} \right)\) Dann mache ich Gauß und erhalte \( \left( \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} \\ 0 & 0\\ 0 &0 \\ \end{array} \right)\) Hier kann ich den Rang ablesen der ist 2. Dann ist x3 frei wählbar, wähle x3=1 und 1/2x1 - 1/2x2=0 1/2x1=1/2x2 x1=x2 Wähle x1=1 dann x2= 1 Also gilt Kern={ a* (1,1,1)^T | a \(\in \mathbb{R}\)} [Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


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PhysikRabe
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  Beitrag No.11, eingetragen 2023-03-24

Es wäre wünschenswert, wenn die bereits gegebenen Ratschläge befolgt würden... \quoteon(2023-03-09 22:32 - PhysikRabe in Beitrag No. 5) Um solche elementaren Fragen zu vermeiden ist es (wie immer bei der Bearbeitung einer Übungsaufgabe) essentiell, sich klar zu machen worum es eigentlich geht. Was bedeuten die Begriffe "Kern", "Bild" und "Rang" für eine lineare Abbildung? Übertrage diese allgemeine Definition dann auf die gegebene Abbildung. \quoteoff Wenn du das getan hättest, dann wäre dir unmittelbar klar, dass das hier... \quoteon(2023-03-24 11:20 - Biene30 in Beitrag No. 8) Wenn ich die Einheitsvektoren einsetze bekomme ich doch das Bild? \quoteoff ... niemals stimmen kann. Das Bild einer linearen Abbildung ist keine Matrix, wie du behauptest, sondern ein Untervektorraum des Bildraums der Abbildung. Grüße, PhysikRabe [Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]


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PhysikRabe
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  Beitrag No.12, eingetragen 2023-03-24

\quoteon(2023-03-24 11:31 - Biene30 in Beitrag No. 10) Dann ist x3 frei wählbar, wähle x3=1 \quoteoff Warum das? \quoteon(2023-03-24 11:31 - Biene30 in Beitrag No. 10) Also gilt Kern={ a* (1,1,1)^T | a \(\in \mathbb{R}\)} \quoteoff Dieser Raum ist eindimensional. Ist das wirklich der Kern von $f$? Was ist z.B. mit $(1,1,3)^T$? Liegt dieser Vektor in dem von dir behaupteten Kern? Wird er auf den Nullvektor abgebildet? Grüße, PhysikRabe


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Diophant
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  Beitrag No.13, eingetragen 2023-03-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2023-03-24 11:31 - Biene30 in Beitrag No. 10) Für den Kern muss ich ja rechnen A*x=0 \quoteoff Das kann man machen, muss man aber nicht. Für eine lineare Abbildung \(\varphi(x)\) nennt man die Lösungen der Gleichung \(\varphi(x)=0\) den "Kern" der Abbildung (der Begriff wird aber auch außerhalb der linearen Algebra generell für Homomorphismen verwendet). \quoteon(2023-03-24 11:31 - Biene30 in Beitrag No. 10) \( \left( \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} \\ \frac{-1}{2} & \frac{1}{2}\\ 0 &0 \\ \end{array} \right)\) Dann mache ich Gauß und erhalte \( \left( \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} \\ 0 & 0\\ 0 &0 \\ \end{array} \right)\) Hier kann ich den Rang ablesen der ist 2. \quoteoff Ja, aber das kann man wie schon mehrfach gesagt wesentlich einfacher haben. Und das ist auch erst die Dimension des Kerns, den Kern selbst hast du damit noch nicht angegeben. Würde man hier mit Verständnis und ohne blindlings Matrizen einzusetzen herangehen, wäre das alles schon längst erledigt. Die gesamte Aufgabe lässt sich dann per Kopfrechnen bearbeiten... Und solche Fehler würden dann auch nicht passieren: \quoteon(2023-03-24 11:31 - Biene30 in Beitrag No. 10) Kern={ a* (1,1,1)^T | a \(\in \mathbb{R}\)} \quoteoff Wie passt das denn zu der von dir vorher korrekt ermittelten Dimension des Kerns? Gar nicht, aber Hauptsache, einen Automatismus heruntergerechnet anstatt sich für die Begrifflichkeiten zu interessieren... Da sollte man doch andere Ansprüche an sich selbst stellen, wenn man vorhat, Lehrer*in zu werden, oder? Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]\(\endgroup\)


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juergenX
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  Beitrag No.14, eingetragen 2023-03-24

\quoteon(2023-03-24 11:20 - Biene30 in Beitrag No. 8) \quoteon(2023-03-09 22:06 - Biene30 in Beitrag No. 2) Gut dann habe ich \(f(\left( \begin{array}{r r r | r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right)) = \left( \begin{array}{r r r | r} \frac{1}{2} \\ \frac{-1}{2} \\ 0 \\ \end{array} \right) \) \(f(\left( \begin{array}{r r r | r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)) = \left( \begin{array}{r r r | r} \frac{-1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \\ \end{array} \right) \) \(f(\left( \begin{array}{r r r | r} 0\\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)) = \left( \begin{array}{r r r | r} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \) Diese 3 Bildvektoren würde ich jetzt in eine Matrix schreiben? \quoteoff \quoteoff Kann man machen: $A \vec a =\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} &0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) $ Daraus kann man durch "scharfes hinsehen" oder Loesung eines LGS feststellen, was Kern, Bild und Rang r von $A$ sind. $\dim(A) = n= 3$. Aus der Dimensionsformel $\dim V = \dim\mathrm{ker}(f) + \dim\mathrm{im}(f)$ kan man Bild,Kern und Rang der Matrix errechnen. Was ist n-r? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]


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PhysikRabe
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  Beitrag No.15, eingetragen 2023-03-24

\quoteon(2023-03-24 12:00 - juergenX in Beitrag No. 14) Kann man machen: $A \vec a =\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} &0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) $ Daraus kann man durch "scharfes hinsehen" oder Loesung eines LGS feststellen, was Kern, Bild und Rang r von $A$ sind. \quoteoff Das ist nicht sinnvoll und geht an der Aufgabe vorbei. Kern, Bild und Rang sind allgemeine Konzepte, die für lineare Abbildungen definiert sind, nicht (nur) für Matrizen. Es ist auch gefährlich, nicht deutlich zwischen Abbildung und darstellender Matrix zu unterscheiden (auch wenn das manchmal schlampigerweise so gehandhabt wird). Man sollte also nicht zu Matrizen übergehen, sondern einfach für die gegebene lineare Abbildung verstehen, was Kern, Bild und Rang sind. Nur so kann man diese Dinge wirklich grundlegend lernen. Grüße, PhysikRabe


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juergenX
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  Beitrag No.16, eingetragen 2023-03-24

OK, man kann allein aus \(f: \mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3},\left( \begin{array}{r r r | r} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{r r r | r} \frac{1}{2}(x-y) \\ \frac{1}{2}(y-x) \\ 0 \\ \end{array} \right) \) sehen, welche Vektoren auf welche Bilder speziell auf 0 abgebildet werden. Die Menge der Vektoren : $\left(\begin{array}{r r r | r} 0 \\ 0 \\ z \\ \end{array} \right )$ mit $z \in \IR$ beliebig erzeugen. Die Dimension des Kerns ist hier 1 und wieder mit der Dimensionsformel gilt: $\displaystyle\dim (V)=3$ und $\dim (Ker(f)) + \dim\mathrm{im}(f) = 1+2$


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Diophant
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  Beitrag No.17, eingetragen 2023-03-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2023-03-24 12:52 - juergenX in Beitrag No. 16) OK, man kann allein aus \(f: \mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3},\left( \begin{array}{r r r | r} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{r r r | r} \frac{1}{2}(x-y) \\ \frac{1}{2}(y-x) \\ 0 \\ \end{array} \right) \) sehen, welche Vektoren auf welche Bilder speziell auf 0 abgebildet werden. Die Menge der Vektoren : $\left(\begin{array}{r r r | r} 0 \\ 0 \\ z \\ \end{array} \right )$ mit $z \in \IR$ beliebig erzeugen. Die Dimension des Kerns ist hier 1 und wieder mit der Dimensionsformel gilt: $\displaystyle\dim (V)=3$ und $\dim (Ker(f)) + \dim\mathrm{im}(f) = 1+2$ \quoteoff Auch das ist Blödsinn, bzw. einfach nur Spam. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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juergenX
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  Beitrag No.18, eingetragen 2023-03-24

Bitte wenn schon runterputzen bitte berichtigen ja?


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PhysikRabe
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  Beitrag No.19, eingetragen 2023-03-24

\quoteon(2023-03-24 13:03 - juergenX in Beitrag No. 18) Bitte wenn schon runterputzen bitte berichtigen ja? \quoteoff Nein. Es werden hier keine fertigen Lösungen präsentiert. Das ist nicht dein Thread, sondern der von Biene30. Es ist eine Übungsaufgabe von Biene30, also muss Biene30 die Lösung bereitstellen. Sollte eigentlich klar sein. Wenn du also keine Hilfestellung für Biene30 bieten kannst (was völlig ok ist), dann ist es besser sich von diesem Thread fernzuhalten. Alles Andere führt nur zu weiterer Verwirrung, und genau davon sollte sich Biene30 ja befreien und etwas lernen. Grüße, PhysikRabe


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Diophant
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  Beitrag No.20, eingetragen 2023-03-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) @juergenX: \quoteon(2023-03-24 13:03 - juergenX in Beitrag No. 18) Bitte wenn schon runterputzen bitte berichtigen ja? \quoteoff Die Dimension des Kerns ist hier nicht \(1\), so wie von dir behauptet: \quoteon(2023-03-24 12:52 - juergenX in Beitrag No. 16) ...Die Dimension des Kerns ist hier 1... \quoteoff Zwar hat Biene30 die Dimension des Kerns fälschlicherweise als "Rang" bezeichnet, aber jedenfalls in Beitrag #10 mit \(2\) richtig angegeben, was in Beitrag #13 bestätigt wurde. Man sollte einen solchen Thread (wenn es wie hier um Übungsaufgaben geht) schon komplett durchlesen, bevor man einsteigt. Zumindest, wenn man etwas zur Sache beitragen möchte. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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