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 Durchbiegung einer rechteckigen Platte |
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Techniker
Junior 
Dabei seit: 16.03.2023
Mitteilungen: 7
 |  Themenstart: 2023-03-16
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Hallo,
wie berechnet man die Durchbiegung und die Biegespannung bei einer rechteckigen Platte, wobei die Platte von drei Seiten fest eingespannt und von einer Seite frei gelagert ist? Ich habe in der Literatur "R. J. Clark & W. C. Young, Formulas for Stress and Strain" nachgeschaut, aber leider fand ich keine Formel zur Berechnung dieses Lastfalles.
Die Beanspruchung stellt hier eine Einzellast dar, welche in der Mitte des freien Rands liegt.
Bild: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56227_1_Reactangulareplate.png
LG
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haribo
Senior 
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4376
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-16
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moin techniker,
könntest du es rechnen wenn es entweder nur unten oder je rechts und links eingespannt wäre?
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Techniker
Junior
Dabei seit: 16.03.2023
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-16
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Hi Haribo,
wenn du es so wie im beigefügten Bild meinst, dann gehe ich davon aus, dass man die Verschiebung vereinfacht so berechnen kann. Daraus bekommt man jedoch zwei Werte für die Verschiebung. Kann man daraus die resultierende Verschiebung für meinen Fall bestimmen?
Wie wird dann die Biegespannung bei diesem Fall ermittelt?
Meinst du es so oder worauf willst du hinaus?
LG
Bild:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56227_Unbenannt.jpg
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haribo
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Dabei seit: 25.10.2012
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-16
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die belastung/verformung dürfte ja erstmal jeweils linear sein,
also könntest du beide modelle einzeln rechnen und dabei mit je halber belastung anfangen, und danach die beiden einzelnen belastungen soweit hin und her verändern bis die verformung gleich wird, dabei die summe beider belastung natürlich den vorgaben entsprechend konstant halten
und danach beide biegespannungen addieren, ich gehe davon aus dass du ne vorstellung hast wie jeweils die verteilung der biegespannungen aussieht, also wo was addiert werden müsste, das ist nicht unbedingt ganz einfach da die kräfte ja in verschiedenen richtungen wirken werden
das wäre jedenfals ne erste näherung, die meiner meinung nach auf der sicheren seite liegt, da sich im verbund eher noch etwas kleinere verformungen ergeben dürften
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Techniker
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Dabei seit: 16.03.2023
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-16
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Ich habe das eben so probiert und die Kräfte so variiert, bis die Verschiebung identisch war. Jetzt habe ich die gleiche Verschiebung bei beiden Fällen.
Soll ich diese zwei Verschiebungen zusammenaddieren, damit ich auf die Verschiebung meines gewünschten Falls komme? ich verstehe das nicht ganz.
Und bezüglich der Biegespannungen: Soll man hier wieder die Spannung bei jedem Fall einzeln bestimmen und anschließend daraus eine resultierende Spannung für den gewünschten Fall berechnen? Wenn ja, mit welcher Formel kann man diese resultierende Spannung ermitteln?
LG
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haribo
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Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4376
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-16
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Ja, die idee ist beide systeme einzeln zu rechnen mit dem jeweiligen belastungsanteil, und danach beides addieren
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MontyPythagoras
Senior 
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3339
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2023-03-16
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Hallo zusammen,
so einfach ist das nicht. Plattenbiegung zu berechnen ist recht schwierig und nur selten analytisch lösbar. Manchmal geht es, in dem man die Durchbiegung als eine zwei-dimensionale Fourierreihe darstellt. Kern des Ganzen ist eine partielle Differentialgleichung, die es zu lösen gilt, nämlich
$$K\Delta\Delta w(x,y)=p(x,y)\tag1$$wobei $K$ die Biegesteifigkeit der Platte ist:
$$K=\frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\tag2$$ Dann muss entlang der drei Außenkanten das $w$ jeweils null gesetzt werden, ebenso die beiden partiellen Ableitungen $\frac{\partial w}{\partial x}=0$ und $\frac{\partial w}{\partial y}=0$. $p(x,y)$ ist die Funktion der Flächenlast über die Biegeplatte, die man hier eventuell durch eine Dirac-Verteilung oder durch eine konstante Last auf einem eng begrenzten Raum darstellen muss. Das ist schon schwierige Mathematik. Ob es für den beschriebenen Fall eine tabellierte Standardlösung gibt, weiß ich gerade nicht, aber die Zerlegung in zwei Lastfälle funktioniert nicht, weil in beiden Fällen immer nur in einer Richtung gekrümmt wird, in der Realität aber in zwei Richtungen gleichzeitig. FEM geht schneller.
Ciao,
Thomas
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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Techniker
Junior 
Dabei seit: 16.03.2023
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-16
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Erstmal vielen Dank für die Antworten Haribo und Thomas,
mein Ziel ist eigentlich, die Durchbiegung und die Biegespannung analytisch zu berechnen, um diese Werte nachher mit den Ergebnissen der FEM zu vergleichen.
Erfordert das Lösen dieser DGL viel Arbeit? Leider ist mein Wissen darüber begrenzt.
Gibt es im Internet irgendwelche Seiten, die solche DGL lösen und ein Endergebnis darstellen?
LG
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MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-17
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Hallo Techniker,
\quoteon(2023-03-16 23:22 - Techniker in Beitrag No. 7)
Erfordert das Lösen dieser DGL viel Arbeit? Leider ist mein Wissen darüber begrenzt.
\quoteoff
Ja, definitiv.
\quoteon(2023-03-16 23:22 - Techniker in Beitrag No. 7)
Gibt es im Internet irgendwelche Seiten, die solche DGL lösen und ein Endergebnis darstellen?
\quoteoff
Z.B. WolframAlpha als Schnelleinstieg (die Seite bemüht sich, aus jeder eingetippten Formel irgendetwas sinnvolles zu interpretieren, und oft klappt das, aber nicht immer).
Leistungsstärker ist die Wolfram Cloud, in der Du in der Programmiersprache von Mathematica klare Formeln definieren kannst, dann aber nur, wie in jeder Programmiersprache, syntaktisch einwandfrei. Da allein musst Du schon viel Aufwand reinstecken, wenn Du bisher damit nicht gearbeitet hast.
Wenn ich am Wochenende Zeit und Lust habe, überlege ich mir mal ein paar Ansätze, ob ich da zu einer Lösung komme. Kann aber durchaus sein, dass mir der Aufwand zu hoch wird, und die Lösung am Ende Dir zu hoch ist (nicht böse gemeint, aber Du sagst ja selbst, dass Du da nur begrenztes Wissen hast). Dann könnte da mit viel Glück eine einfache Formel stehen, die man in den Taschenrechner eintippt und aus Kraft, Biegesteifigkeit und Plattenmaßen eine Durchbiegung am Krafteinleitungspunkt berechnet. Vielleicht aber auch nicht.
Warum traust Du der FEM-Berechnung nicht?
Ciao,
Thomas
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Techniker
Junior
Dabei seit: 16.03.2023
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-17
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Hallo Thomas,
es ist nicht so, dass ich der FEM-Berechnung nicht traue. Allerdings denke ich, dass es schön wäre, wenn man dieses Ergebnis auch analytisch bestätigen kann.
Ich werde weiterhin in den verschiedenen Literaturen nach einer Formel suchen. Wenn du aber, wie du gesagt hast, Lust und Zeit hättest und zu einem Ergebnis kommst, würde ich mich sehr freuen, wenn du es mit mir teilst.
Das wird mir auf jeden Fall sehr weiterhelfen.
Ich danke dir im Voraus.
LG
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haribo
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Dabei seit: 25.10.2012
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| Beitrag No.10, eingetragen 2023-03-17
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ach du möchtest mal eben FEM überprüfen, mein kleiner ansatz war sagenwirmal FEM mit kleiner 2 elementen... also äh besser als nix... und hilft evtl ein gefühl dafür zu bekommen welcher einspannungsrand mehr zur festigkeit beiträgt
bei steigendem verhältniss a/b trägt doch die seitliche einspannung immer weniger bei, bis irgendwann nur noch die untere einspannung, und in der realität die auch nur auf einer gewissen breite, massgeblich wird
nun, um was für ein material handelt es sich denn bei der platte? und was für ne belastung?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
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Techniker
Junior
Dabei seit: 16.03.2023
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-18
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Hallo Haribo,
die Platte ist aus Baustahl E=209000 N/mm^2 und wird in der Mitte des freien Rands mit einer Einzellast von F=60 N belastet.
LG
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MontyPythagoras
Senior
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| Beitrag No.12, eingetragen 2023-03-18
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Wenn die Außenmaße einem DIN A4 Blatt entsprechen und die Platte 10cm dick ist, würde ich mir keine Sorgen machen. 🙄
Ciao,
Thomas
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haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4376
| Beitrag No.13, eingetragen 2023-03-18
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He monty, du erschiesst die spatzen, 60N hält ein A4 auch bei d=1mm mit verformung < lo/300el
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Techniker
Junior
Dabei seit: 16.03.2023
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-18
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Die Dicke der Platte ist nur t=2 mm und die Außenmaße sind 300mm x 150mm
LG
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haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
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| Beitrag No.15, eingetragen 2023-03-18
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na langsam sind ja einige informationen beieinander... was ergaben denn die beiden rechnungen #4 ? welche spannungen und verschiebung hast du da herausbekommen?
und immer noch die frage um was geht es eigentlich, dass hier FEM benutzt und hinterfragt werden möchte ?
wiso keinen 1:1 test, bau es, belaste es und entscheide ob die verformung deinen wünschen/anforderungen entspricht, ich hoffe man kann es überhaupt ausreichend exakt messen?
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