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Elementare Zahlentheorie » Diophantische Gleichungen » Ganzzahlige Lösungen für y³=a(3x²+3ax+a²)
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Universität/Hochschule Ganzzahlige Lösungen für y³=a(3x²+3ax+a²)
skorp58
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  Themenstart: 2023-03-17

Es sollen ganzzahlige Lösungen für \( y^{3}=a \cdot (3x^{2}+3ax+a^{2}) \) gefunden werden. Alle Werte von x, y, a sollen dabei ganzzahlig sein. Die Gleichung \( y^{3}=a \cdot (3x^{2}+3ax+a^{2}) \) hat folgende ganzzahlige "trivialen" Lösungen: \( x=0, \phantom 3 y=a \) und \( x=-a , \phantom 3 y= a \) Die Frage ist nun, ob es noch weitere ganzzahlige Lösungen gibt. Meine Vermutung: Nein. Ich versuche zunächst meinen Lösungsansatz durch Verändern des Parameters "a" mit Beispielen unter Verwendung der Primfaktorzerlegung zu veranschaulichen. 1.Beispiel: 125 \( y^{3}= 125 =5 \cdot 5\cdot 5 = 5 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 5\cdot x + 5^{2}) \) ergibt als einzige Lösungen \( x=0, \phantom 3 y=5 \) und \( x=-5 , \phantom 3 y=5 \) 2.Beispiel: 512 \( y^{3}= 512 = 2^{9} = 2^{3}\cdot 2^{3}\cdot 2^{3} \) Hier ergeben sich mehrere Lösungsmöglichkeiten: \( a=2: \phantom 3 512=2 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 2\cdot x + 2^{2}) \) hat die Lösung \( x_{1}= \sqrt{85} -1, \phantom 3 x_{2}= -\sqrt{85} -1 \) \( a=4: \phantom 3 512=4 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 4\cdot x + 4^{2}) \) hat die Lösung \( x_{1}= 2\sqrt{\frac{31}{3}} -2, \phantom 3 x_{2}=-2\sqrt{\frac{31}{3}} -2 \) \( a=8: \phantom 3 512=8 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 8\cdot x + 8^{2}) \) hat die Lösung \( x_{1}=0, \phantom 3 x_{2}= -8 \) Es folgen dann komplexe Lösungen: \( a=16: \phantom 3 512=16 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 16\cdot x + 16^{2}) \) ergibt \( x_{1}=-8+4i\sqrt{\frac{2}{3}} -10, \phantom 3 x_{2}=-8-4i\sqrt{\frac{2}{3}} \) usw. 3.Beispiel: 27.000 \( y^{3}= 27000 = 8 \cdot 27\cdot 125 = 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5^{3} \) Die Gleichung \( y^{3}= 27000 = a \cdot (3x^{2}+3ax+a^{2}) \) lässt sich nun mit allen möglichen Produkten von 2, 3, 5 für den Wert der Variablen a durchrechnen und man erhält immer nur Wurzelausdrücke oder Komplexe Zahlen. (Vielen Dank an Wolfram Alpha !! ) ( Ausgenommen sind natürlich die "trivialen" Lösungen mit \( x=0, \phantom 3 x=-30 \) ) Nun die eigentliche Frage: Wie könnte man diese Prozedur mit dem "Ausprobieren am Beispiel" systematisch durchführen, so dass man letztlich erkennen kann, dass es nur die "trivialen" ganzzahligen Lösungen gibt und Wurzelausdrücke und komplexe Zahlen - oder eventuell auch weitere ganzzahlige Lösungen? Letztlich gehts hier immer um das Lösen einer quadratischen Gleichung, nur fehlt mir irgendwie die Idee, wie man ein Muster erkennen kann und die Aufgabe systematisch lösen könnte.


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Wauzi
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-17

Hallo, addiere x3 auf beiden Seiten. Gruß Wauzi


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Buri
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  Beitrag No.2, eingetragen 2023-03-18

Hi skorp58, es gibt noch weitere Lösungen, nämlich y=a=0 und beliebiges x. Gruß Buri


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skorp58
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-18

\quoteon(2023-03-18 11:31 - Buri in Beitrag No. 2) Hi skorp58, es gibt noch weitere Lösungen, nämlich y=a=0 und beliebiges x. Gruß Buri \quoteoff Die Möglichkeit y=a hatte ich schon oben angegeben. Die Lösung y=a=0 ist natürlich möglich, aber für meine Aufgabenstellung nicht zielführend. Trotzdem Danke für den Hinweis.


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cramilu
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  Beitrag No.4, eingetragen 2023-03-18

skorp58, beherzige doch schlicht Wauzis Rat: \(y^{3}\;=\;a\,\cdot\,(3x^{2}\,+\,3ax\,+\,a^{2})\) \(\vert\;+\,x^3\) \(\Leftrightarrow\) \(x^3\,+\,y^{3}\;=\;x^3\,+\,3ax^2\,+\,3a^2x\,+\,a^3\) \(\Leftrightarrow\) \(x^3\,+\,y^3\;=\;(x+a)^3\) Und schon sind wir bei Fermat . Verweise zu Beweisen finden sich dort auch.


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skorp58
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-18

\quoteon(2023-03-18 14:04 - cramilu in Beitrag No. 4) skorp58, beherzige doch schlicht Wauzis Rat: \quoteoff Ja, natürlich weiss ich das auch. Aber das ist trotzdem keine Lösung des Problems. Ist die Fragestellung wirklich so absurd? Ich finde es schade, dass bei Fermat sofort abgewunken wird, als ob man sich nicht auch noch weitere Gedanken machen dürfte ...


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.6, eingetragen 2023-03-18

\quoteon(2023-03-18 15:29 - skorp58 in Beitrag No. 5) Ja, natürlich weiss ich das auch. Aber das ist trotzdem keine Lösung des Problems. Ist die Fragestellung wirklich so absurd? Ich finde es schade, dass bei Fermat sofort abgewunken wird, als ob man sich nicht auch noch weitere Gedanken machen dürfte ... \quoteoff Das Wort heißt abgewinkt und nicht abgewunken. Wenn du das "natürlich" auch weißt, verstehe ich nicht, was das hier soll? Dein Problem wurde auf ein anderes Problem mit bekannter Lösung zurückgeführt. Erwartest du, dass die Fermatgleichung plötzlich doch weitere Lösungen hat?


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skorp58
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-18

Abgewinkt. Finde ich auch toll !! Hört sich so nach Fussball an. Nein, ich erwarte keine neuen Erkenntnisse bzgl. Fermat. Ich wollte nur wissen, wie ich bei meiner konkreten Fragestellung vorgehen müsste. Aber wenn das Problem schon allgemein geklärt ist, dann brauche ich mich ja nicht mehr weiter bemühen.


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Wauzi
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  Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-18

Wenn es zu einem Problem (wie zB Deinem) eine allgemeine Lösung gibt (hier Fermat) braucht nan doch keine spezielle suchen. Man leitet doch auch die Lösungsformel für quadratische Gleichungen nicht für jede Gleichung nochmal aufs neue her. Gruß Wauzi


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cramilu
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  Beitrag No.9, eingetragen 2023-03-18

@skorp58 Bei Deiner konkreten Fragestellung, wo Du Dir ja nun bekräftigt einen Ausschnitt von Fermat vorgenommen hast, könntest Du beispielsweise genau mit der von Wauzi angesprochenen quadratischen Lösungsformel weiterstochern: \(y^3\;=\;3ax^2\,+\,3a^2x\,+\,a^3\) \(\Leftrightarrow\) \(3ax^2\,+\,3a^2x\,+\,a^3\,-\,y^3\;=\;0\) \(\vert\;\div\,6a\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{x^2}{2}\,+\,\frac{ax}{2}\,+\,\frac{a^2}{6}\,-\,\frac{y^3}{6a}\;=\;0\) \(\Rightarrow\) \(x_{1;2}\;=\;-\frac{a}{2}\;\pm\;\sqrt{\,\frac{y^3}{3a}\;-\;\frac{a^2}{12}}\) Und davon ausgehend 'nette' Lösungen suchen...


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skorp58
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-19

Es gibt sehr oft bei mathematischen Problemen mehrere Möglichkeiten, bestimmte Dinge anzugehen. Einfach nur zu sagen "das ist schon bewiesen und somit Zeitverschwendung" finde ich langweilig. In der Mathematik gibt es ganz viele Sätze, die mehrfach auf unterschiedliche Art bewiesen wurden. Das macht die Sache erst interessant. Aber ich bin bescheiden und wollte hier einfach nur folgendes untersuchen: \( x^{3}+y^{3}=(x+a)^{3} \) ergibt nach dem Ausmultiplizieren: \( x^{3}+y^{3}=x^{3}+3ax^{2}+3a^{2}x+a{3} \) Das \( x^{3} \) fällt auf beiden Seiten weg, bleibt also: \( y^3=a(3x^2+3ax+a^2) \) Die Frage war nun für mich, ob man trotz des um \( x^{3} \) "reduzierten" Binoms von \( (x+a)^{3} \) auf der rechten Seite ganzzahlige Lösungen bekommen könnte. Deshalb der ganze Aufwand! Wenn das nun in der "Fermat-Ecke" gelandet ist und zu einer Grundsatzdiskussion führt, dann tut mir das leid.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.11, eingetragen 2023-03-21

\quoteon(2023-03-18 16:42 - skorp58 in Beitrag No. 7) Abgewinkt. Finde ich auch toll !! Hört sich so nach Fussball an. \quoteoff Aus dem Duden, 21. Auflage von 1996: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35803_winken.jpg Aber anscheinend ist das heute nicht mehr unbedingt gültig.


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Wally
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  Beitrag No.12, eingetragen 2023-03-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Wenn du \( z=x+a\) setzt, bist du wirklich direkt bei Fermat, und wieso sollte es da dann noch ganzzahlige Lösungen geben? Genauso kann man sich fragen, ob \(\displaystyle \left(\frac{p+3}{q}\right)^2=2 \) ganzzahlige Lösungen hat. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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skorp58
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-28

Natürlich ist mir klar, dass ich hier ganz nahe an Fermat bin. Und der oder die existierenden Beweise zweifele ich auch keinesfalls an. Ich möchte das Problem nur anders angehen. Die Frage ist für mich, ob man trotz des um \( x^{3} \) "reduzierten" Binoms von \( (x+a)^{3} \) ganzzahlige Lösungen bekommen könnte und wenn Nein Warum nicht. Oder allgemein für höhere Potenzen: Man stelle sich bildlich das Pascalsche Dreieck vor und lässt in jeder Zeile den ersten Koeffizienten weg. Wie kann man dann zeigen, dass der "Rest" der Zeile keine ganzzahligen Lösungen haben kann (außer die trivialen)? Natürlich braucht diesen Beweis keiner, das Problem ist unwichtig, denn wegen Fermat ist das natürlich so. Aber interessant wäre der Beweis schon.


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skorp58
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-03

Ergänzung: Wenn ich die Gleichung etwas anders schreibe, dann ist die Primfaktorzerlegung leichter zu erkennen: \( y^{3} = a^{3} \cdot (3\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + 3\dfrac{x}{a} +1 ) \) Man sieht, dass sich für den Fall einer Zerlegung von \( y^{3} \) in nur 3 Primfaktoren immer die triviale Lösung \( y = a \) und \( x = 0 \) ergibt. Beispiel: \( y^{3}= 125 = 5^{3}= a^{3} \) , der zweite Term ist somit =1, also x=0. Auch lässt sich der Term \( (3\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + 3\dfrac{x}{a} +1 ) \) einfacher abschätzen. Bleiben also nur noch unendlich viele andere Lösungen übrig.


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MartinN
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  Beitrag No.15, eingetragen 2023-04-03

Warum muss x = 0 sein, wenn y eine Primzahl ist? Warum kann dann zBsp a nicht 1 sein?


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cramilu
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  Beitrag No.16, eingetragen 2023-04-04

Oder anders... sei doch \(a=1\) ! Dann bleibt \(y^3\;=\;3x^2\;+\;3x\;+\;1\) ... und die rechte Seite der Gleichung definiert für ganzzahlige \(x\) genau die »Hexzahlen«. Kann es unter jenen eine Kubikzahl geben? Oder noch allgemeiner: \(y^3\;=\;n\cdot x^2\;+\;n\cdot x\;+\;1\) Für welche Koeffizienten \(n\) sind dann ganzzahlige Lösungen möglich? Nicht-triviale, versteht sich. 😎


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skorp58
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-04

Ja, das sind tolle Fragen !! Über die Hexzahlen, Dreieckzahlen etc, hatte ich auch schon nachgedacht. Allerdings führt das in eine andere Richtung. Naja, ich merke schon: hier komme ich nicht weiter. 😎


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Dixon
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  Beitrag No.18, eingetragen 2023-04-05

\quoteon(2023-03-21 22:21 - StrgAltEntf in Beitrag No. 11) \quoteon(2023-03-18 16:42 - skorp58 in Beitrag No. 7) Abgewinkt. Finde ich auch toll !! Hört sich so nach Fussball an. \quoteoff Aus dem Duden, 21. Auflage von 1996: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35803_winken.jpg Aber anscheinend ist das heute nicht mehr unbedingt gültig. \quoteoff Im Duden von 1977 steht "winken; gewinkt (mundartl u. scherzh gewunken)" Grüße Dixon


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skorp58
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  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-05

HURRA !! endlich wieder ein konstruktiver Beitrag. Eigentlich hätte ich mehr Fachkompetenz erwartet. Im Augenblick fühle ich mich eher wie im Kindergarten. Einer Antwort auf die eigentlichen Fragestellung bin ich aber trotz alledem nicht ein Stück näher gekommen. Danke!


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Slash
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  Beitrag No.20, eingetragen 2023-04-05

Moin skorp58, egal was du versuchst. Du wirst nicht drum herumkommen, dieselbe Beweismethode zu verwenden, die bereits der gute Fermat genutzt hatte. Nämlich einen Widerspruch herbeizuführen, indem eine kleinere ganzzahlige Lösung aus einer zuvor angenommenen Lösung (die keine gemeinsamen Primafaktoren besitzt, also alle drei Zahlen paarweise teilerfremd) erzeugt wird. Diese "Methode des unendlichen Abstiegs" ließe sich dann immer wieder anwenden, was im Bereich der ganzen Zahlen aber nicht möglich ist. Deshalb mein Tipp: Sieh dir diesen Beweis für den großen Fermat für den Exponenten 3 an, und versuche ihn auf deine eigenen Überlegungen anzuwenden. Im Netz finden sich viele gute Darstellungen in deutscher Sprache. Gruß, Slash


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skorp58
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  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-05

Danke für die Antwort. Es gibt nach meinem Wissenstand noch einige andere Beweise für diese spezielle Lösung des Fermat, nicht nur den unendlichen Abstieg. Aber das ist ja gar nicht die Fragestellung. Ich komme hier mit meiner Primfaktorzerlegung nicht weiter. Wie würde man das machen, wenn es Fermat gar nicht gegeben hätte?


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Slash
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  Beitrag No.22, eingetragen 2023-04-05

\quoteon(2023-03-17 20:01 - skorp58 im Themenstart) Nun die eigentliche Frage: Wie könnte man diese Prozedur mit dem "Ausprobieren am Beispiel" systematisch durchführen, so dass man letztlich erkennen kann, dass es nur die "trivialen" ganzzahligen Lösungen gibt und Wurzelausdrücke und komplexe Zahlen - oder eventuell auch weitere ganzzahlige Lösungen? Letztlich gehts hier immer um das Lösen einer quadratischen Gleichung, nur fehlt mir irgendwie die Idee, wie man ein Muster erkennen kann und die Aufgabe systematisch lösen könnte. \quoteoff Was du vorhast kann nicht funktionieren. Es geht nur mit den üblichen Methoden. Falls du eine neue geniale Methode suchst, wird dir dabei niemand helfen können. Die muss dann deinem Genius entspringen. Die Primfaktorzerlegung im Komplexen ist in unendlich vielen Fällen nicht eindeutig. Das hat den großen Fermat auch erst so kompliziert und lange unbewiesen gemacht. Derartige Diophantische Gleichungen sind deshalb so schwer zu behandeln, weil sie immer unendlich viele Lösungen im Reellen und/oder Komplexen besitzen. Die ganzen Zahlen sind nur ein Spezialfall, der mit speziellen Methoden herausgefiltert und bewiesen werden muss. Vielen einfachen Diophantischen Gleichungen konnte man nur mit brutaler Rechenpower und enorm viel Zeit ganzzahlige Lösungen entlocken. Und bis heute weiß man nicht, ob noch weitere existieren oder falls noch keine gefunden wurden, eben auch gar keine.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.23, eingetragen 2023-04-05

\quoteon(2023-04-05 14:44 - skorp58 in Beitrag No. 19) HURRA !! endlich wieder ein konstruktiver Beitrag. Eigentlich hätte ich mehr Fachkompetenz erwartet. Im Augenblick fühle ich mich eher wie im Kindergarten. Einer Antwort auf die eigentlichen Fragestellung bin ich aber trotz alledem nicht ein Stück näher gekommen. Danke! \quoteoff Mit Erwachsenenargumenten kannst du ja anscheinend schlecht umgehen. Deine Häme solltest du dir also sparen.


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