| Autor |
  Winkelfunktionen Sinus und Cosinus |
|
Sekorita
Aktiv 
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 485
 |  Themenstart: 2023-03-20
|
Hallo zusammen,
dieses Mal fängt meine Semestervorbereitung, bzw. meine erste zu erbringende Leistung schon in den Semesterferien ein. Ich muss einen Vortrag in meinem Mathe Bachelorseminar halten-
Es geht um die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/53710_55059_Unbenannt.jpg
Ausgehend von diesem Arbeitsauftrag verstehe ich es doch richtig, dass ich die trigonometrischen Formeln, also besonders die Additionstheoreme nicht über den Einheitskreis zeigen darf, korrekt ?
Wie die Reihendarstellung zustande kommt, sollte ich verstanden haben ( siehe Bild) Wie ich aber mit dieser dann z.B. das Theorem
sin(x+y)= sin(x)*cos(y) + sin(y)*cos(x) zeige, bereitet mir noch etwas Kopfschmerzen.
Eigentlich dürfte es doch nur eine Umformung
von
sin(x+y)= sum((x+y)^(2*n+1) /(2*n+1)!,n\el\ \el\ \IN_0,)
sein, aber da blicke ich leider nicht durch. Ich bin für jede Hilfe wie immer sehr dankbar
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55059_Definition_ber_Potenzreuhen.JPG
|
 Profil
|
Squire
Senior 
Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 894
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-20
|
Servus Sekorita! Ist die Eulersche Formel erlaubt/erwünscht? Damit geht es flott.
Grüße Squire
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 485
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-20
|
Hallo,
ich glaube die ist weniger von der Dozentin gewollt. Es ist ein Bachelor Seminar mit Schwerpunkt Analysis. Am Ende wollen wir auf Fourierreihen hinaus.
Ich glaube deswegen muss ich schon mit der Definition über Potenzreihen arbeiten
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2242
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-20
|
\quoteon(2023-03-20 15:21 - Sekorita in Beitrag No. 2)
Es ist ein Bachelor Seminar mit Schwerpunkt Analysis.
\quoteoff
Die Eulersche Formel ist in der Regel Inhalt der reellen Analysis I. Ein Beweis über die Reihendarstellung der Exponentialfunktion zusammen mit Eigenschaften absoluter Konvergenz (alles Dinge aus Analysis I) sollte doch sicherlich im Rahmen des "Erlaubten" sein, oder?
LG Nico
|
Profil
|
Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9727
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-03-20
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Wenn du in der Formel für \(\sin(x+y)\) das \( (-1)^n\) nicht vergisst, sollte das machbar sein.
Benutze den binomischen Lehrsatz und vergleiche mit dem was, auf der rechten Seite herauskommen soll, indem du die Reihen multiplizierst und addierst.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 485
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-20
|
Ich habe der Dozentin eine Email geschrieben und warte auf Ihre Antwort. Sie hatte nur erwähnt, dass wir nur ein Theorem beweisen sollen, wegen des "hohen" Rechenaufwandes. Der Beweis mit der Eulerschen Formel würde ja nur ein paar schnelle Zeilen in Anspruch nehmen. Ich werde mich nach der Arbeit mal an das Ausrechnen mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes setzen👍
|
Profil
|
Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2570
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-03-20
|
Du kannst nach Anwendung des binomischen Satzes auch nach geraden und ungeraden Summanden sortieren und das Cauchy-Produkt verwenden. Also:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \sum_{k=0}^{2n+1} \frac{x^{2n+1-k}y^k}{k!(2n+1-k)!}=\color{blue}{\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\sum_{k=0}^n\frac{x^{2n+1-2k}y^{2k}}{(2k)!(2n+1-2k)!}}+\color{red}{\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\sum_{k=0}^n\frac{x^{2n-2k}y^{2k+1}}{(2k+1)!(2n-2k)!}}\)
Die blaue Summe ist dann z. B.:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\sum_{k=0}^n\frac{x^{2n+1-2k}y^{2k}}{(2k)!(2n+1-2k)!}=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{y^{2k}}{(2k)!}(-1)^{n-k}\frac{x^{2(n-k)+1}}{(2(n-k)+1)!}=\ldots\)
Gruß,
Küstenkind
|
Profil
|
Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9727
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-03-20
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Wenn du nur ein Theorem beweisen sollst, reicht das auch.
Wenn du das Additionstheorem für den Sinus bei festgehaltenem \( y\) nach \( x\) ableitest, erhätst du das für den Cosinus.
Viele Grüße
Wally
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]\(\endgroup\)
|
Profil
|
Squire
Senior
Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 894
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-20
|
\quoteon(2023-03-20 17:01 - Wally in Beitrag No. 7)
Wenn du das Additionstheorem für den Sinus bei festgehaltenem \( y\) nach \( x\) ableitest, erhältst du das für den Cosinus.
\quoteoff
Das ist mir noch nie aufgefallen. Wieder was gelernt, danke Wally.
Grüße Squire
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 485
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-25
|
Hallo zusammen,
entschuldigt meine späte Rückmeldung. Tatsächlich habe ich das meiste an meinem Referat ohne Hilfe geschafft und es wurde von der Dozentin soweit auch abgesegnet.
Ich habe in meiner Argumentation im Referat benutzt, dass der Kosinus differenzierbar ist, bzw. Genauer habe ich beim Beweis für die Ableitung des Sinus folgendes benutzt:
lim_{h-> 0} (cos h -1) /h = 0
Dies gilt ja mit L'Hopital
Dafür muss ich aber erstmal zeigen, dass der Kosinus differenzierbar ist. Gibt es da einen schnellen anschaulichen Weg ohne viel Formalia. Zumindest war es der Hinweis, dass ich anschaulich argumentieren soll....
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 485
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-25
|
Ergänzung: Der formale ist mir bekannt würde aber den Rahmen des Vortrages sprengen. Deswegen soll ich nur eine schnelle anschauliche Erklärung geben
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2242
Wohnort: Köln
| Beitrag No.11, eingetragen 2023-03-25
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
betrachten wir die Situation am Einheitskreis:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/53710_CosDerivative.png
Eine kleine Änderung $\d\theta$ am Argument des Kosinus führt zu dem "Dreieck", das in der Grafik zu sehen ist. Nennen wir den Winkel, den die untere rote Linie mit der $x$-Achse macht $\theta$, dann ist der obere linke Winkel des "Dreiecks" ebenfalls $\theta$ (warum?).
Die schwarze Seite hat daher (ungefähr) die Länge $\sin(\theta)\dd\theta$. Wir haben also
$$
\cos(\theta+\d\theta)-\cos(\theta)\approx -\sin(\theta)\dd\theta
$$
bzw.
$$
\frac{\cos(\theta+\d\theta)-\cos(\theta)}{\d\theta}\approx-\sin(\theta).
$$
Im Infinitesimalen (also im Grenzwert) haben wir dann Gleichheit.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2570
| Beitrag No.12, eingetragen 2023-03-25
|
Für einen sauberen Beweis erweitere mit \(\cos(h)+1\). Ansonsten beschreibt der Grenzwert die Tangentensteigung der Kosinusfunktion an der Stelle \(0\). Keine Ahnung, ob dieses als "anschauliche Argumentation" durchgeht.
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 485
| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-25
|
Danke schonmal für die Hilfe.
Unsere Dozentin hat uns eine Hilfe gegeben, nämlich, dass ich den Kosinusgrenzwert auf den Sinusgrenzwert zurückführen kann.
Jetzt brauche ich nur noch eine anschauliche Begründung am Einheitskreis, warum der Sinusgrenzwert gilt, also:
lim(x->0,sin(x)/x) =1
Hätte ich schon die Reihendarstellung wäre das alles easy, aber ich brauche eine anschauliche Begründung, warum dies gilt.
Denn dann bin ich mit dem Beweis des Kosinusgrenzwertes fertig
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55059_Beweisskizze.JPG
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2242
Wohnort: Köln
| Beitrag No.14, eingetragen 2023-03-25
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo Sekorita,
findest du ein Argument am Einheitskreis, wie von mir vorgeschlagen, nicht anschaulich? Damit kann man auch die Aussage für den Sinus zeigen (also plausibel machen). Man nimmt $\theta=0$ und bemerkt, dass eine sehr kleine Änderung $\d\theta$ dazu führt, dass die entsprechende grüne Seite (ungefähr) die Länge $\cos(0)\dd\theta=\dd\theta$ hat. Das führt dann zu
$$
\frac{\sin(\d\theta)}{\d\theta}=\frac{\sin(0+\d\theta)-\sin(0)}{\d\theta}\approx 1,
$$
wobei die tatsächliche Länge der grünen Seite sich $\cos(0)\dd\theta=\dd\theta$ für $\d\theta\to 0$ immer besser annähert und damit auch die Approximation des Quotienten durch $1$ immer besser wird.
Alternativ kann man auch den Graphen von Sinus und die Winkelhalbierende skizzieren und sehen, dass letztere die Tangente von Sinus im Ursprung sein sollte.
Ansonsten solltest du eventuell klarer sagen, was "anschaulich" bedeuten soll.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 485
| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-25
|
Ehrlich gesagt, konnte ich deiner Argumentation noch nicht ganz folgen... :(
Ich kann gerade nicht einsehen, warum die beiden WIinkel gleich sind ( unter Vorraussetzung, dass ich die Position der beiden Winkel richtig verstanden habe....) Das ich damit Probleme habe mag daran liegen, dass ich mich eher mit der formal analytischen Definition des Sinus und Cosinus beschäftigt habe und im Haro Heuser Analysis 1 Werk einfach gesagt wird, dass der Sinusgrenzwert leicht ersichtlich ist am Einheitskreis.
mit anschaulich meine ich, dass ich im Idealfall anhand von einem dieser beiden Einheitskreise den Grenzwert vom Sinus zeigen kann.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55059_Einheitskreise.JPG
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2242
Wohnort: Köln
| Beitrag No.16, eingetragen 2023-03-25
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
An dem linke Bild von dir: Schiebe den Punkt $P$ immer näher an den Punkt $(1,0)$ auf dem Einheitskreis. Der Winkel, den der Radius des Punktes $P$ mit der $x$-Achse macht (also das entsprechende Stück des Kreisbogens!) und die blaue Linie nähern sich dabei immer weiter aneinander an.
Das ist letztendlich die Aussage $\sin(x)\approx x$ für kleine $x$.
Hier kannst du das mal ausprobieren:
https://www.geogebra.org/calculator/zvvuapa9
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2570
| Beitrag No.17, eingetragen 2023-03-25
|
\quoteon(2023-03-25 13:47 - Sekorita in Beitrag No. 13)
Jetzt brauche ich nur noch eine anschauliche Begründung am Einheitskreis, warum der Sinusgrenzwert gilt, also:
lim(x->0,sin(x)/x) =1
\quoteoff
klick
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 485
| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-25
|
Oh man..... Auf Geogebra hätte ich natürlich auch kommen können....
Den Beweis über den Tangens habe ich auch schon in Erfahrung gebracht und beide Optionen der Dozentin zukommen lassen.
Danke auf jedenfall für die Hilfe :)
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
