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  Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung bestimmen |
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oberstuflerin123
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 |  Themenstart: 2023-03-21
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Moin, ich habe da eine Übungsaufgabe, die ich nicht wirklich verstehe. Vielleicht kann mir da jemand helfen.
Die Aufgabe lautet:
Wir betrachten die lineare Abbildung \(L_A: \mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^3\) gegeben durch die Matrix\[A=\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}\in M_{3\times 4}(\mathbb{R})\]
(a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von \(L_A\) bezüglich der Standartbasen \(\mathcal{E}_4\) des \(\mathbb{R}^4\) bzw. \(\mathcal{E}_3\) des \(\mathbb{R}^3\).
Was genau soll ich jetzt tun? Die Darstellungsmatrix ist doch die Matrix, mit der ich einen Vektor \(\vec{x}\) multiplizieren muss, um \(L_A(\vec{x})\) zu erhalten, aber die ist doch gegeben. Soll ich jetzt einfach \(L_A = A\) schreiben? Das klingt mir zu einfach. Mein alter Mathelehrer sagte immer: Wenn es euch zu einfach vorkommt, macht ihr wahrscheinlich was falsch oder seid verdammt gut. Letzteres bin ich nicht, also mache ich was falsch und das kommt mir nun mal wirklich viel zu einfach vor...
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-21
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
\quoteon(2023-03-21 13:23 - oberstuflerin123 im Themenstart)
Die Darstellungsmatrix ist doch die Matrix, mit der ich einen Vektor multiplizieren muss, um \(L_A(x)\) zu erhalten [...]
\quoteoff
Nein, das stimmt im Allgemeinen nicht. Seien $V$ und $W$ Vektorräume über einem Körper $K$ und $B=(b_1,\dots,b_n)$ eine Basis von $V$ sowie $C=(c_1,\dots,c_m)$ eine Basis von $W$.
Die Basen induzieren lineare Abbildungen
$$
\sigma_B\colon K^n\to V, \ (\lambda^1,\dots,\lambda^n)\mapsto \sum_{j=1}^n \lambda^j b_j
$$
und
$$
\sigma_C\colon K^m\to W, \ (\lambda^1,\dots,\lambda^m)\mapsto \sum_{j=1}^m \lambda^j c_j,
$$
welche jeweils ein Isomorphismus sind. Für einen Vektor $v\in V$ nennt man $v_B:=\sigma_B^{-1}(v)\in K^n$ den Koordinatenvektor von $v$ bezüglich der Basis $B$. (Analog für Vektoren in $W$).
Hat man eine lineare Abbildung $L\colon V\to W$, so induziert diese eine lineare Abbildung
$$
\tilde L:=\sigma_C^{-1}\circ L\circ \sigma_B\colon K^n\to K^m,
$$
welche man die Koordinatendarstellung von $L$ bezüglich der Basen $B$ und $C$ nennen könnte. Die Koordinatendarstellung $\tilde L$ nimmt einen Vektor $v\in V$ bzw. den zugehörigen Koordinatenvektor $v_B$ und bildet ihn auf den Koordinatenvektor $(L(v))_C$ von $L(v)\in W$ bezüglich der Basis $C$ ab, i.e.
$$
\tilde L(v_B)=(L(v))_C.
$$
Definiert man Skalare $a^{i}_j\in K$ derart, dass
$$
L(b_j)=\sum_{i=1}^m a^i_j c_i \iff (L(b_j))_{C}=\vec{a^1_j}{\vdots}{a^m_j}
$$
gilt, so hat man für $v\in V$ mit $v_{B}=\vec{v^1}{\vdots}{v^n}$ (also $v=\sum_{j=1}^n v^jb_j$)
$$
(L(v))_{C}=\left(L\left(\sum_{j=1}^n v^jb_j\right)\right)_{C}=\sum_{j=1}^n v^j(L(b_j))_{C}=\sum_{j=1}^n v^j\vec{a^1_j}{\vdots}{a^m_j}=\begin{pmatrix}
a^1_1 & \dots & a^1_n \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a^m_1 & \dots & a^m_n
\end{pmatrix}\vec{v^1}{\vdots}{v^n}
$$
und somit schließlich
$$
\tilde L(v_B)=(L(v))_{C}=\mathcal M_{C}^{B}(L)\cdot v_{B}
$$
für die Matrix $\mathcal M_{C}^{B}(L):=(a^i_j)_{\substack{1\leq i \leq m \\ 1\leq j \leq n}}$.
Diese Matrix nennt man dann zwar die darstellende Matrix von $L$ bezüglich der Basen $B$ und $C$, aber wie gesehen, drückt diese nur aus, wie die jeweiligen Koordinatenvektoren aufeinander abgebildet werden.
In deinem speziellen Fall (und nur in diesem Fall) $V=\mathbb R^4, W=\mathbb R^3$ und $B$ sowie $C$ die jeweiligen Standardbasen, fällt die Koordinatendarstellung mit der eigentlichen Abbildung zusammen ($\sigma_B$ ist dann die Identität auf $\mathbb R^4$ und $\sigma_C$ die Identität auf $\mathbb R^3$) und du hast Recht: die darstellende Matrix steht da bereits.
LG Nico\(\endgroup\)
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oberstuflerin123
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-21
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Danke Nico für die ausführliche Erklärung. Genau das meinte ich übrigens auch. In Aufgabenteil (b) - (d) kommen andere Basen vor, da weiß ich was ich machen soll, aber hier einfach eine Matrix abzuschreiben und dafür einen Punkt zu kriegen, fand ich irgendwie zu billig.
Naja, vielen Dank noch Mal! Das hat mir wirklich geholfen!
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-21
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Ich denke, die Aufgabe hat erreicht, was sie erreichen wollte: dich eventuell zu verwirren, wenn du irgendwas daran noch nicht ganz verstanden hast.😁
LG Nico
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oberstuflerin123 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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