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  Der Vektorraum der Regelfunktionen auf [a,b] ist ein Banachraum |
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Ritter_der_Kosinus
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 |  Themenstart: 2023-03-21
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)
Hallo zusammen,
ich möchte folgende Aussage beweisen:
Sei $[a,b]$ ein reelles Intervall und $R([a,b])$ die Menge aller Regelfunktionen* auf $[a,b]$. Dann ist $(R([a,b]), || \cdot ||_\infty)$ ein Banachraum.
Ich habe bereits gegeben, dass $(B([a,b]), || \cdot ||_\infty)$ (Vektorraum der beschränkten Funktionen auf $[a,b]$) ein Banachraum ist. Ich konnte auch zeigen, dass $R([a,b])$ ein Untervektorraum von $B([a,b])$ ist. Mir fehlt also noch die Vollständigkeit.
Sei also $(f_n)$ eine Cauchy-Folge in $R([a,b])$. Ich muss zeigen, dass $(f_n)$ wieder gegen eine Regelfunktion $f \in R([a,b])$ konvergiert. Ich weiß, dass $(f_n)$ gegen $f \in B([a,b])$ konvergiert, weil $B([a,b])$ bezüglich der Sup-Norm vollständig ist. Es bleibt damit zu beweisen, dass es auch wieder eine Folge von Treppenfuktionen gibt, die gegen $f$ konvergiert. Doch da komme ich nicht weiter. Sicherlich sollte ich irgendwie benutzen, dass sich jedes Glied der Folge $(f_n)$ gleichmäßig durch eine Folge von Treppenfunktionen approximieren lässt. Doch ich weiß nicht genau, wie ich mir dann eine Folge aus Treppenfunktionen „basteln“ kann, die gegen $f$ konvergiert.
Hat da vielleicht jemand einen Hinweis für mich? Darüber würde ich mich freuen.
Gruß
Ritter_der_Kosinus
*$f \in B([a,b])$ heißt Regelfunktion, wenn es eine Folge von Treppenfunktionen $(T_n)$ gibt, die in $B([a,b])$ gegen $f$ konvergiert.\(\endgroup\)
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-21
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
für jedes $n\in \mathbb N$ gibt es also eine Folge $(T_{n;j})_{j\in \mathbb N}$ von Treppenfunktionen, die gleichmäßig gegen $f_n$ konvergiert. Setzen wir $s_n:=T_{n;n}$. Nun haben wir
$$
|s_n(x)-f(x)|\leq |s_n(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f(x)|.
$$
Kommst du damit weiter?
LG Nico\(\endgroup\)
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nzimme10
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| Beitrag No.2, eingetragen 2023-03-21
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Hallo nochmal,
eventuell sollte man das nochmal etwas anpassen. Wir finden für jedes $n\in \mathbb N$ ein $j(n)\in \mathbb N$, so dass $\lVert T_{n;j(n)}-f_n\rVert_\infty<2^{-n}$ gilt.
Anschließend setzen wir dann $s_n:=T_{n;j(n)}$.
LG Nico\(\endgroup\)
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Ritter_der_Kosinus
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|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-21
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)
Hey,
vielen Dank für deine Hilfe. Ich würde die Aussage dann wie folgt beweisen:
Sei $\varepsilon > 0$. Da die Folge $(f_n)$ gegen $f$ konvergiert, existiert ein $N_1 \in \N$, sodass für alle $n \geq N_1$
$||f_n - f||_\infty < \frac{\varepsilon}{2}$.
Weiter sei $N_2 \in \N$ so gewählt, dass $2 ^{-N_2} < \frac{\varepsilon}{2}$ (das geht, weil die Folge $(a_n)_{n \in \N} := 2^{-n}$ eine Nullfolge ist) und wir erhalten somit für alle $n \geq N := \max\{N_1, N_2\}$
$||s_n - f||_\infty \leq ||s_n - f_n||_\infty + ||f_n - f||_\infty < 2^{-n} + \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon.$
Damit ist also auch $f \in R([a,b])$ und $(R([a,b]), || \cdot ||_\infty)$ vollständig.
Passt das so?
Bei deiner ersten Wahl für die Folge $(s_n)$ wäre im Allgemeinen nicht klar gewesen, dass der Term $||s_n - f||_\infty$ in obiger Abschätzung auch wirklich kleiner als $\frac{\varepsilon}{2}$ wird, oder? Zum Beispiel könnte ja dann für ein $n \geq N$ $|| T_{n,j} - f_n||_\infty < \frac{\varepsilon}{2}$ erst ab irgendeinem Index $j_0 > n$ gelten.
Die neue Wahl der Folge finde ich aber sehr gut. Dankeschön.
Gruß
Ritter_der_Kosinus\(\endgroup\)
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nzimme10
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-03-21
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
so sieht es gut aus. Bei der ersten Folge habe ich vermutlich nicht lange genug nachgedacht, ob man damit auch wirklich weiterkommt. Mit der Anpassung funktioniert es ja zum Glück😁
P.S.: In LaTeX schreibt man üblicherweise \lVert und \rVert bzw. \| und \| für $\lVert$. Das sieht schöner aus als || für $||$.
LG Nico\(\endgroup\)
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Ritter_der_Kosinus
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-21
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Super, danke für den Hinweis. Das merke ich mir! :)
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