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  Warum kommutieren Elemente aus dem Bild eines Spektralmaßes? |
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BAschreiberin
Junior 
Dabei seit: 21.03.2023
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2023-03-21
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Hallo, in Funktionalanalysis von Werner und auf Wikipedia wird einfach behauptet, dass für E ein Spektralmaß auf $\Sigma$, A, B $\in \Sigma$, gilt $E(A)E(B) = E(A \cap B) = E(B)E(A)$. Mir ist das nicht klar und ich möchte es beweisen. Ein Spektralmaß wird in Buch wie folgt definiert:
Sei $\Sigma$ die Borel-$\sigma$-Algebra auf $\mathbb{R}$. Eine Abbildung E{:} $ \Sigma\to$ L(H), A$\mapsto E_A$ heißt Spektralmaß, falls alle $E_A$ Orthogonalprojektionen sind und
(a)
$E_\emptyset=0, E_{\mathbb{R}} = {\rm{Id}}, $
(b)
für paarweise disjunkte $A_1,A_2, \ldots \in \Sigma$
$\sum_{i=1}^\infty E_{A_i}(x) = E_{\bigcup A_i}(x)\qquad\forall x\in H$
gelten.
Bis jetzt bin ich soweit:
$E_A = E_{(A \cap B) \bigcup (A\ B)} = E_{A \cap B} + E_{A\setminus B} $ und
$E_B = E_{(A \cap B) \bigcup (A\setminus B)} = E_{A \cap B} + E_{B\setminus A}$
$E_A E_B = (E_{A \cap B} + E_{A\setminus B})( E_{A \cap A} + E_{B\setminus A}) = E_{A \cap B} + E_{A \cap B} E_{B\setminus A} + E_{A\setminus B} E_{A \cap A} + E_{A\setminus B} E_{B\setminus A} $
Wenn ich zeigen könnte, dass für C, D $\in \Sigma$ disjunkt, $E_C E_D = 0,$ wäre ich fertig. Kann jemand mir damit helfen? Oder gibt es einen einfacheren Weg, die Behauptung zu zeigen?
Liebe Grüße,
Agnes
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PhysikRabe
Senior 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2828
Wohnort: Rabennest
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-21
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Willkommen auf dem Matheplaneten, Agnes!
Zuerst einmal: In $\LaTeX$ schreibt man die Mengendifferenz mit \setminus anstelle eines Backslash, um Fehlermeldungen wie in $E_{A\B}$ zu vermeiden. Deine Rechnung weist auch ein paar Tippfehler auf. Hier die Korrektur:
$\begin{align*} E_A E_B = (E_{A \cap B} + E_{A\setminus B})&( E_{A \cap B} + E_{B\setminus A}) = \\ & = E_{A \cap B} + E_{A \cap B} E_{B\setminus A} + E_{A\setminus B} E_{A \cap B} + E_{A\setminus B} E_{B\setminus A}\end{align*}$
Bis auf $E_{A \cap B}$ verschwinden alle Terme, da $A\setminus B$, $B\setminus A$ und $A\cap B$ paarweise disjunkt sind. Damit kommen wir zu deiner Frage:
\quoteon(2023-03-21 22:26 - BAschreiberin im Themenstart)
Wenn ich zeigen könnte, dass für C, D $\in \Sigma$ disjunkt, $E_C E_D = 0,$ wäre ich fertig. Kann jemand mir damit helfen?
\quoteoff
Das folgt daraus, dass $E_C$ und $E_D$ Orthogonalprojektionen sind. Zeige allgemein, dass $EE'=0$ gilt, wenn $E,E'$ Orthogonalprojektionen sind sodass $E+E'$ ebenfalls eine Orthogonalprojektion ist. Da $E_C + E_D = E_{C\cup D}$ (für $C\cap D = \emptyset$) eine Orthogonalprojektion ist, folgt die Behauptung.
Grüße,
PhysikRabe
[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Funktionalanalysis' von PhysikRabe]
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BAschreiberin
Junior
Dabei seit: 21.03.2023
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-22
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Danke PhysikRabe! Ich habe auf Stack Exchange einen Beitrag dazu gefunden, und schreib den Beweis hier, damit Leute in die Zukunft alles in diesem Beitrag sehen können:
Seien C, D $\in \Sigma$ disjunkt.
$E_{(C\bigcup D)} = E_C + E_D$ nach Eigenschaft b)
$E_{(C\bigcup D)}^2 = E_C + E_C E_D + E_D E_C + E_D = E_{(C\bigcup D)} = E_C + E_D$
$\Rightarrow E_C E_D = -E_D E_C $ ($\star$)
Lass auf ($\star$) $E_C$ von links wirken, und $E_D$ von rechts
$E_C E_D = -E_C E_D E_C E_D$ ($\star \star$)
Andererseits, lass auf ($\star$) $E_C$ von links und rechts wirken.
$E_C E_D E_C= -E_C E_D E_C \Rightarrow E_C E_D E_C = 0 $
$ E_C E_D E_C = 0$ in ($\star \star$)) einsetzen:
$E_C E_D = -0 E_D = 0 $
Ich finde das ein bisschen nichttrivial, dafür dass der Beweis nirgendwo neben die Behauptung steht, aber ich freue mich, dass ich es jetzt verstehe.
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BAschreiberin hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
BAschreiberin hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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