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 Höchstwahrscheinlich erstes aperiodisches Monotile gefunden |
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Slash
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Abstract. A longstanding open problem asks for an aperiodic monotile, also known as an
“einstein”: a shape that admits tilings of the plane, but never periodic tilings. We answer this
problem for topological disk tiles by exhibiting a continuum of combinatorially equivalent
aperiodic polygons. We first showthat a representative example, the “hat” polykite, can form
clusters called “metatiles”, for which substitution rules can be defined. Because the metatiles
admit tilings of the plane, so too does the hat. We then prove that generic members of our
continuum of polygons are aperiodic, through a new kind of geometric incommensurability
argument. Separately, we give a combinatorial, computer-assisted proof that the hat must
form hierarchical—and hence aperiodic—tilings.
Es besteht aus 16 kongruenten rechtwinkligen Dreiecken bzw. aus 8 Drachen (Kites). Das ist schon erstaunlich, da es genau eine der beiden Kacheln aus der Penrose Parkettierung P2 (Kite & Dart) ist. Natürlich sind die Winkel anders, aber eben von der Form her.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_monotile_2023.png
An aperiodic monotile
Es dürfte wohl auch bereits die einfachste Form sein, da sie ja auf einem Parkett aus regelmäßigen Sechsecken beruht. Ich hatte selbst viel mit solchen "manipulierten 6-Ecken" gearbeitet, aber immer wieder eine Möglichkeit gefunden, die Kacheln periodisch anzuordnen.
Mit einem lachenden und einem weinenden Auge grüßt
Slash
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haribo
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-23
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das ist EIN ding, und tut mir leid für dich slash
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Slash
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-23
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haribo
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-24
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geht es auch mit dem?
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_1D4F6C66-E310-41B8-BF6F-6364FC458B73.jpeg
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Slash
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-24
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Gute Frage. Der Beweis für den "Hut" bzw. das "T-Shirt" ist ja schon sehr kompliziert. Ich werde ihn wohl nicht verstehen. Muss man probieren, und wenn man keine periodische Möglichkeit findet mit Computer-Unterstützung weitermachen.
Ich warte auf Antwort von Bernhard Klaaßen, ob er den Beweis für wasserdicht hält.
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Delastelle
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-24
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Hallo,
ich kenne mich mit den Parketierungen nicht so aus -
eine Frage taucht bei mir auf:
was soll den jetzt noch bewiesen werden? (Oder ist bewiesen worden?)
Sieht man nicht, dass etwas überdeckt wird?
Viele Grüße
Ronald
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haribo
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-03-24
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die frage ist ob man diese form flächendeckend anordnen kann und ob es dabei symetrien geben kann
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Slash
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-25
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Die Mathematikergemeinde weltweit ist bereits von der Korrektheit des Beweises überzeugt. Offen bliebe dann lediglich die Frage, ob solch ein Monotile auch ohne Spiegelung existiert, es also die Ebene ohne gespiegelte (umgedrehte) Kopien lückenlos pflastern kann.
Sowie ich von der Einfachheit dieser Monokachel fasziniert bin (eine Kombination von 4 spiegelsymmetrischen Flächen, die je ein Drittel eines regelmäßigen 6-Ecks repräsentieren), macht diese mich zugleich aber auch skeptisch. Ich warte das Peer-Review ab.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_monotile-kites-2.png
@ Delastelle
Lies am besten den deutschen Wikipedia-Eintrag dazu, den ich erst vor 2 Jahren zusammen mit Bernhard Klaaßen angelegt habe. Herr Klaaßen hat die neue Info bereits ergänzt:
Problem der monohedralen, aperiodischen Parkettierung
Gruß, Slash
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Slash
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-27
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Noch ein paar interessante Fakten zur Historie aperiodischer Parkettierungen:
1960 hielt man aperiodische Parkettierungen für unmöglich (Hao Wang). 1964 gelang der Nachweis mit 20426 Protokacheln (Robert Berger), und 1968 war man bereits bei 92 (Donald Knuth). (https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling#Earliest_aperiodic_tilings)
Es hat also 63 Jahre gendauert, bis man die Anzahl an Protokacheln auf 1 reduziert hatte.
Gruß, Slash
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Hans-Juergen
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2023-03-27
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Auf dieser Seite: https://de.wikipedia.org/wiki/Problem_der_monohedralen,_aperiodischen_Parkettierung wird im Abschnitt "Lösungen und frühere Lösungsansätze" darauf hingewiesen, dass das Problem der aperiodischen Parkettierung mit nur einer Kachelsorte nicht gelöst ist, wenn neben den verwendeten Kacheln auch ihre Spiegelbilder auftreten. Dies ist sowohl bei der in diesem Thread vorgestellten Parkettierung der Fall wie bei einer eigenen mit einfacher aussehenden Kacheln.
Von ihr ein kleiner Ausschnitt:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/1948_eigausschn.PNG
Anmerkung: Die ungleichsinnig kongruenten rechtwinkligen Dreiecke haben nicht die Winkel 30°,60°,90°.
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Slash
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-27
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Hallo Hans-Juergen,
dieser Hinweis ist von mir. Da die erste bekannte Monokachel zwingend beidseitig verwendet werden muss (andernfalls wäre keine lückenlose Abdeckung der Ebene möglich), bleibt offen, ob es auch eine Monokachel ohne diese Eigenschaft gibt, also eine, die nur einseitig verwendet werden kann/muss.
Eine aperiodische Monokachel ist immer unsymmetrisch. Daher ist die gefundene Lösung sogar vorteilhafter als eine ohne Spiegelungen. Man kann die Kacheln zufällig auf einer Ebene verteilen und sich selbst zusammenfügen lassen (mit einem Rüttelbrett etc.) und erhält immer eine aperiodische Parkettierung. Dürften keine gespiegelten Kacheln verwendet werden, wäre eine solche automatische zufällige Anordnung nicht möglich. Also rein praktisch (in der Realität/im Alltag) ist es nur von Vorteil, wenn eine Monokachel beidseitig verwendet werden muss. Vielleicht findet so etwas Anwendung bei der Chip-Herstellung oder bei Nanooberflächen.
Deine vorgestellte Parkettierung mit den rechtwinkligen Dreiecken ist nicht zwingend aperiodisch, sondern nur, wenn bestimmte Regeln eingehalten werden. Diese Kacheln lassen auch eine periodische Parkettierung zu. Bei einer aperiodischen Monokachel darf es eben nur zwingend (also durch die Form der Kachel selbst) aperiodische Abdeckungen geben.
Gruß, Slash
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Slash
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-29
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Slash
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Dabei seit: 23.03.2005
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-30
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Nun auch endlich bei Spektrum.de erschienen. Ein schöner Artikel von Manon Bischoff.
"Ein neues Fliesenmuster begeistert die Mathewelt: Mit nur einer einzigen hutförmigen Kachel lässt sich eine Ebene lückenlos bedecken, ohne dass sich das Muster jemals wiederholt."
Hobby-Mathematiker findet die lang ersehnte Einstein-Kachel
Gruß, Slash
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haribo
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| Beitrag No.13, eingetragen 2023-03-30
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die rüttelbrett methode gefällt mir, aber also auf anhieb gelingt es nmir nicht lückenlos zu pflastern, also ganz beliebig darf man nicht anlegen
auch mit der form #3 kann man grössere bereiche abdecken, aber ob man immer an grenzen kommt oder ob es irgend wie symetrisch weitergeht, ich komm da nicht weiter bisher
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willyengland
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| Beitrag No.14, eingetragen 2023-03-30
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\quoteon(2023-03-30 05:42 - Slash in Beitrag No. 12)
Nun auch endlich bei Spektrum.de erschienen. Ein schöner Artikel von Manon Bischoff.\quoteoff
"... der pensionierte Druckanlagentechniker David Smith aus Yorkshire"
... sticht Roger Penrose aus. Cool!
:-)
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Slash
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-30
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\quoteon(2023-03-30 07:40 - haribo in Beitrag No. 13)
aber also auf anhieb gelingt es nmir nicht lückenlos zu pflastern, also ganz beliebig darf man nicht anlegen
\quoteoff
Ist halt wie mit jeder anderen Kachel bzw. Puzzleteil auch - es muss eben passen. Aber wenn es passt, bleibt es aperiodisch. Ich weiß aber, was du meinst.
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Hutschi
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| Beitrag No.16, eingetragen 2023-04-10
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Interessant mag sein, dass Hut und Schildkröte zusammen symmetrische Parkettierungen ergeben können.
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3D-Druck öffnet den Weg zur experimentellen Mathematik. Ich habe es auch probiert.
Es ist nicht ganz einfach, nicht in "Fallen" zu laufen.
Tatsächlich ist die "einseitige" Einsteinkachel noch ein offenes Problem. Gelöst ist es für zweiseitige.
Man könnte es so sehen: In Flatlandia ist es noch nicht gelöst.
Es wird auch diskutiert, was man unter "eine Kachel" versteht.
Wenn man es mit Plätzchen probiert, braucht man zwei Ausstechformen, weil eine Seite nach dem Backen gewölbt ist. Es gibt für die Kacheln Modelle für Ausstechformen.
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Kann man die Kacheln für die näherungsweise Berechnung von Pi verwenden? Das wäre was für den Pi-Tag nächstes Jahr. Ich habe Ideen dazu. Man könnte einen Quadratzentimeter große Teile nehmen und einen Kreis mit 1 Meter Durchmesser auslegen, dann zählt man die Teile, die in den Kreis hineinpassen bzw. auch noch die angeschnittenen Teile. Funktioniert das?
Dann könnte man Pi durch Wiegen der Hut-Plätzchen bestimmen. Ich bin nicht ganz sicher, darf diese Frage hier mit stehen?
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Slash
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-10
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Mich fasziniert immer noch die Einfachheit der Monokachel (rechts). Sie ist auch nur 2 halbe Rauten von einer spiegelsymmetrischen Form entfernt (links).
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_hat-monotile-4-sym-b.png
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Slash
Aktiv
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-15
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Wer sich einen Namen machen will, kann versuchen, den Beweis zur ersten Monokachel zu vereinfachen. Es gibt mit Sicherheit einen einfacheren.
Dies spiegelt die momentane Expertenmeinung und nicht nur meine eigene Einschätzung wider.
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Slash
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-15
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Beim Herumspielen habe ich eine fast periodische Abdeckung gefunden. Es verbleiben zwei Drachen in dieser Struktur aus 29 Monokacheln.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_Unbenannt_3.png
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_Unbenannt_4.jpg
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Hans-Juergen
Senior
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| Beitrag No.20, eingetragen 2023-04-15
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Hallo Slash,
es gibt noch eine einfachere Kachel:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/1948_animgr.PNG
s. hier: https://www.spektrum.de/news/hobby-mathematiker-findet-lang-ersehnte-einstein-kachel/2124963 (animierte Grafik).
Viele Grüße
Hans-Jürgen
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haribo
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| Beitrag No.21, eingetragen 2023-04-16
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grossartig slash, über ist ein viertel also könntest du mit 117 (4x29+1) weitere ländermuster erspielen, 117 = 13 x 3 x 3 also könnte 39 auch schon reichen? oder gar 13?
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Slash
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-16
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\quoteon(2023-04-15 18:23 - Hans-Juergen in Beitrag No. 20)
es gibt noch eine einfachere Kachel:
\quoteoff
Hallo Hans-Juergen,
der Spektrum-Artikel ist bereits in #12 verlinkt. Die Monokachel kann unendlich viele verschiedene Formen annehmen, das ist korrekt. Dein geposteter Fall ist allerdings falsch, da die Kachel in dieser speziellen Form auch einfache periodische Kachelungen zulässt.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038__neu.png
Eine Protokachel ist nur genau dann als aperiodisch zu bezeichnen, wenn sie keine zusätzlichen Regeln benötigt, um die Ebene nicht-periodisch lückenlos zu bedecken, und zwar ausschließlich.
Gruß, Slash
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Slash
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| Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-16
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\quoteon(2023-04-16 10:10 - haribo in Beitrag No. 21)
grossartig slash, über ist ein viertel also könntest du mit 117 (4x29+1) weitere ländermuster erspielen, 117 = 13 x 3 x 3 also könnte 39 auch schon reichen? oder gar 13?
\quoteoff
Ich hatte mit Clustern aus 7 Kacheln gespielt. Die größere Form setzt sich aus 4 solcher kongruenten Cluster zusammen, plus 2 weitere Kacheln. Die beiden Kacheln mit dem roten Punkt überlappen sich dabei, weshalb eine entfernt werden muss, damit nur Lücken verbleiben. Man kann die 29 Kacheln natürlich auch anders zusammensetzen, die beiden Drachen verbleiben aber als Lücken. Eines dieser Cluster ist bezüglich des Heesch-Problems eine Kachel, die von 6 Kacheln komplett umrundet wird, also die erste Korona bildet.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_Unbenannt_3c.png
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haribo
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| Beitrag No.24, eingetragen 2023-04-16
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13 = 2 x 7 -1 also deine protoländer einmal überlappt ? Und dann wieder ähnlich deiner region zusammenfügen
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Slash
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| Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-16
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Kannst du das mal skizzieren? Hatte heute noch ein paar Stunden gepuzzelt, aber konnte 29 Kacheln mit 2 Drachen nicht unterbieten.
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haribo
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| Beitrag No.26, eingetragen 2023-04-16
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ich hab nichts probiert, war nur eine idee als ansatz, wobei ich mir nichtmal sicher bin deine vor-rechnerei unbedingt richtig begriffen zu haben... ich kanns morgen noch mal versuchen
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Slash
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| Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-17
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Ich habe gestern noch was mit einem Cluster aus 8 Kacheln probiert, was erstaunlich gut funktioniert. Heute Abend poste ich meine Ergebnisse.
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haribo
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| Beitrag No.28, eingetragen 2023-04-17
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um mich heranzutasten, hab ich erstmal die konstruktive viertelteilung in den pullis (monotil) drinnen gelassen:
dein hesch-cluster aus sieben pullis (links bunt) daran einen achten (grau) und dann sechsfach rotiert, ergibt eine schneeflocke mit rotem sechseckigem 2/3 loch
diese flocken lassen sich aneinandersetzen und die zwischenflächen mit je drei (grünlichen) pulis exakt füllen, verbleibt pro schneeflocke ein rotes loch
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_mono-1.png
ansich müsste man auch noch jedes grüne einem cluster zuordnen können, dann würde jeder cluster aus deinen sieben+grau+grün also neun pullis bestehen, also hätte ich hier eine struktur mit 6 x 9 = 54 pullis und 2/3 roter restfläche, der gedanke von gestern darauf angewand wäre, ob man also innerhalb von drei flocken als spielfeld die dann in summe 6/3 betragende restflächen irgendwie zu zwei ganzen pullis zusammengelegt bekommt, also die roten restflächen näher aneinander schiebt, also mit
3 x 54 + 2 = 164 monotilen drei flocken komplett belegt, oder wahlweise auf dieser ja nicht sooo grossen spielfläche (drei flocken) erkennt warum das eben gar nicht gehen kann
frage:
hat man, wenn man die ursprünglichen viertel-teilungen-im-pulli drinnen lässt, bei flächiger belegung immer durchgehend diese sechseck-waaben-struktur welche sich durch mein bild zieht?
nachtrag: die rote restfläche beträgt 3/4el nicht 2/3el, dann brauchts also vier flocken
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Slash
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| Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-17
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Ich hatte auch mit insgesamt 8 Kacheln experimentiert (jetzt in #27 korrigiert). Also an den ursprünglichen Cluster noch eine Kachel drangesetzt. Diese lassen sich erstaunlich gut aneinander setzen, wobei nur Drehungen und Verschiebungen nötig sind (gleiche Farbe = nur Verschiebung). Eventuell erhält man so einen neuen größeren "Einstein", der ohne Spiegelungen auskommt. Im Bild sind allerdings noch 2 andere Flächen (grau) enthalten. Ich hatte nur 30 Minuten gepuzzelt, da gibt es also noch viel Luft nach oben.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_Unbenannt_mp.png
Ich nutze jetzt dieses geniale Programm dafür: hier. Damit lassen sich sogar ganze Cluster drehen, spiegeln, etc. Das Bild lässt sich als PNG speichern. Das Bild oben hatte ich noch umständlich mit Paint gemacht.
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| Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-17
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\quoteon(2023-04-17 12:54 - haribo in Beitrag No. 28)
frage:
hat man, wenn man die ursprünglichen viertel-teilungen-im-pulli drinnen lässt, bei flächiger belegung immer durchgehend diese sechseck-waaben-struktur welche sich durch mein bild zieht?
\quoteoff
Schau mal in den Wiki-Artikel dazu: https://de.wikipedia.org/wiki/Problem_der_monohedralen,_aperiodischen_Parkettierung
Da habe ich ein SVG reingesetzt, das diese Wabenstruktur erklärt. "Die asymmetrische Monokachel setzt sich aus vier kongruenten, spiegelsymmetrischen Flächen zusammen, die je ein Drittel eines regelmäßigen Sechsecks repräsentieren."
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haribo
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| Beitrag No.31, eingetragen 2023-04-17
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da ein hemd 4/3 eines sechsecks darstellt haben 8 hemden dann 32/3 = 10,66
mit 9 solchen sets wäre als eine region wieder ganzzahlig im sinne der sechseck-waaben
und diese ganzzahligkeit muss wohl sein für flächige belegung
also musst du wohl versuchen drei mal drei solcher 8er sets aneinanderzulegen?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.29 begonnen.]
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haribo
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| Beitrag No.32, eingetragen 2023-04-18
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schon erstmal überraschend das sich dieser basic ring bei gleicher form in zwei arten belegen lässt, zusammengesetzt wohl dann die kleinste spielfläche welche mit 4 x 6 + 3 = 27 pullis theoretisch gefüllt werden könnte?
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_mono-2.PNG
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| Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-18
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Gerade bin ich über Umwege zu deiner Schneeflocke gelangt. Also den 8er-Cluster um 180 Grad gedreht, beide zusammengefügt, und dann 3 dieser 16er zusammengelegt.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_aperiodic-monotile_2_b.png
Damit ergibt sich dann diese Struktur mit den Löchern für deine Pulli-Kränze.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_Unbenannt_9.png
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| Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-18
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Also die Struktur lässt sich damit aus nur einem 9er-Cluster mit Drehungen und Verschiebungen zusammensetzen. Es verbleiben die 6-Eck-Löcher.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_Unbenannt_11.png
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_Unbenannt_12.png
Die Ebene lässt daher mit diesem leicht manipulierten Cluster periodisch parkettieren. Dieser besteht aber (leider oder glücklicherweise) nicht nur aus Mono-Pullis.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_Unbenannt_13.png
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haribo
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| Beitrag No.35, eingetragen 2023-04-18
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hast du dir den beweis denn mal angeschaut? versteht man da gar nix?
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Slash
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| Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-18
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\quoteon(2023-04-18 18:18 - haribo in Beitrag No. 35)
hast du dir den beweis denn mal angeschaut? versteht man da gar nix?
\quoteoff
Doch schon, aber er ist lang und nutzt Computer-Unterstützung. In dem Spektrum-Artikel sind beide Beweis-Methoden auch skizziert. Mir geht es ja auch nicht darum auf Teufel komm raus ein Gegenbeispiel zu finden, sondern nur mal spielerisch die Sache zu ergründen. Die Einfachheit der Kachel macht mich aber ebenso skeptisch, wie sie mich fasziniert. Außerdem wäre ein einfacherer Beweis schön oder aber auch eine A-Monokachel ohne Spiegelungen. Wer weiß, wohin diese Spielereien uns führen?
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| Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-18
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#19 liefert immer noch die beste Abdeckung mit 2 Drachenlücken je 29 Monokacheln. Die Flocke hat 6 Drachenlücken je 54 Monokacheln bzw. 2 Drachenlücken je 18 Monokacheln.
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haribo
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| Beitrag No.38, eingetragen 2023-04-19
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mit deinem sonderpulli aus #34, der 9/6 einer waabe anstelle 4/3 abdeckt, kannst du direkt alleine ( also ohne die mono-pullis) gemäss #32 lückenlos-endlos belegen, du verlierst aber wohl erstens die zweite belegsart des kleinsten rings, und zweitens ist es ne schön einfache periodische belegung im sechseckraster
ach bruchrechnen... 9/6 ist ja 3/2...
ich hatte gerade die phantasie dass das pulli-monotil nur halb-unendlich die ebene abdecken kann, das also in einer richtung immer die eine leere null-waabe kommen könnte? man müsste nur die zentrumsrichtung erkennen und die entfernung einschätzen....
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haribo
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| Beitrag No.39, eingetragen 2023-04-19
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nun der versuch etwas von dem morgengedanken darzustellen,
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_mono-3.PNG
was habe ich gemacht? ich habe aus deinem bild ein 60° tortenstück übertragen, zentral liegt das gelbe sechseck, und oben ist schwarz dein nächstes sechseck eingezeichnet, als ich in die nähe des schwarzen kam hab ich mit anderer belegung erweitert, diese belegung ist wieder sechsfach rotationsfähig, geht also über das schwarze sechseck hinweg
ich hoffe du kannst ansatzweise etwas erkennen
die idee ist damit die schneeflocke vergrössert zu haben,
sollte sie jetzt tatsächlich als gross-schneeflocke auch wieder endlos aneinanderpassen wäre damit ein noch grösseres feld abgedeckt, was natürlich erstmal geprüft werden muss
fals man das endlos machen könnte, könnte man damit sozusagen das tortenstück nach oben bis zum nordpol erweitern, also endlos, und immer eine noch grössere fläche abdecken ohne eine weitere fehlfläche zu erstellen, in der fast unendlichen fläche könnte man ewig "unendlichkeiten" darstellen, trotzdem gäbe es weiterhin das startsechseck, ausgehend vom start-sechseck wäre ein tortenstück also nur sozusagen eine halbe unendlichkeit,,,
weitere idee wäre zu prüfen ob es nicht nur im innersten (ersten) ring eine interne doppelbelegungsmöglichkeit (s. #32) gibt, sondern auch in weiteren ringelementen, ob die jeweils ein element im ringdurchmesser enthalten oder mehrere? (also wie breit jeder ring wäre?) ich skizzier die idee mal in deinem bildteil:
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_mono-4.PNG
fals auch das sich nach aussen fortsetzt könnte man damit schon endlos viele belegungspermutationen liefern,,,
also die, durchaus gewagte these, wäre: ob sich nicht möglicherweise jedes bisher irgendwo auf der welt dargestellte teilstück (was ja durchaus gross sein können, also sozusagen qua schlichter grösse unendlichkeit sugeriert) in endlicher entfernung vom sechseck in einer der permutationen sich befänden???
damit wäre dann entweder die unendliche belegung wegen dem inneren startsechseck, oder wahlweise die aperiodizität in frage gestellt da sich sicherlich regeln fänden wie das tortenstück jeweils zu vergrössern wäre
nachtrag:
in einer detailvergrösserung erkenne ich das die erweiterung noch nicht fehlerfrei ausgeführt ist, es ist wirklich sehr unübersichtlich beim zeichnen, aber ich wollte die grundzüge der idee schonmal darstellen...
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