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 Beschränktheit von Lösungen |
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julia_bauer434
Neu 
Dabei seit: 23.03.2023
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2023-03-23
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Hallo liebe Community,
ich sitze schon seit langem an einer Aufgabe fest. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Also die Aufgabe lautet folgendermaßen:
Für die reelle Differentialgleichung x˙ = f(x) gebe es ein c > 0, so dass f(x) ≥ c für alle
x ∈ R.
(i) Zeigen Sie: Ist t → x(t) eine Lösung der Differentialgleichung, so gibt es für jedes
M ∈ R ein t0 ∈ R mit x(t) ≥ M für alle t ≥ t0.
(ii) Trifft die Aussage von (i) auch dann zu, wenn man nur f(x) > 0 für alle x ∈ R
annimmt?
(iii) Und trifft es auch bei einer nicht-autonomen Differentialgleichung x˙ = f(x, t) zu,
für welche f(x, t) > 0 für alle x ∈ R und t ∈ R gilt?
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nzimme10
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Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-23
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo und willkommen auf dem Matheplaneten :)
Ich gehe mal davon aus, dass $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$ stetig ist.
zu (i): Kannst du mit der Abschätzung
$$
x(t)=x(t_0)+\int_{t_0}^t f(x(t)) \dd t\geq x(t_0)+(t-t_0)c
$$
für $t\geq t_0$ etwas anfangen?
LG Nico\(\endgroup\)
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julia_bauer434
Neu
Dabei seit: 23.03.2023
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-23
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\quoteon(2023-03-23 12:14 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
Hallo und willkommen auf dem Matheplaneten :)
Ich gehe mal davon aus, dass $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$ stetig ist.
zu (i): Kannst du mit der Abschätzung
$$
x(t)=x(t_0)+\int_{t_0}^t f(x(t)) \dd t\geq x(t_0)+(t-t_0)c
$$
für $t\geq t_0$ etwas anfangen?
LG Nico
\quoteoff
Ja, ich hatte M gleich der rechten Seite gesetzt, aber das wurde mir als Fehler angestrichen.
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-23
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Ich dachte du hängst (noch) an der Aufgabe fest? Wie kann dann bereits etwas angestrichen sein?
Du sollst hier auch etwas für jede beliebige reelle Zahl $M$ zeigen. Dann kannst du nicht einfach $M$ durch etwas konkretes vorgeben. Wenn du eine Lösung hast und darüber sprechen willst, dann solltest du sie uns auch zeigen.
LG Nico\(\endgroup\)
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| julia_bauer434 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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