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| Autor |
 Periodische Lösung einer DGL |
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julia_bauer434
Neu 
Dabei seit: 23.03.2023
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2023-03-23
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Hallo liebe Community,
Kann mir jemand bei dem Beweis helfen:
Sei A ∈ R^dxd invertierbar und d ungerade.
i) Zeige, dass die Dgl x˙ = A(t)x mindestens eine nicht periodische Lösung besitzt.
ii) Ist die auch dann der Fall, wenn A nicht invertierbar ist bzw. wenn d gerade ist?
tut mir leid hatte mich versehen.
habe die frage jetzt richtig aufgeschrieben
nicht periodisch sollte da stehen
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3646
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-23
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Hallo,
was ist mit $x'(t)=1\cdot x(t)$, wenn wir $x(t)\neq 0$ für wenigstens ein $t\in \mathbb R$ voraussetzen? Die Lösung ist nicht periodisch.
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2226
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-03-23
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
in Ergänzung zu ochen's Antwort. Die DGL $\dot x=x$ oder allgemeiner $\dot x=f(x)$ für eine stetige Funktion $f$, besitzt außer den konstanten Lösungen (die man hier sicherlich ausschließt) niemals eine periodische Lösung. ("Aus autonom folgt monoton").
LG Nico\(\endgroup\)
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9726
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Und soll \( A\) konstant sein? Oder wirkich \( A(t)\)?
Und soll es heißen "nichttriviale periodische Lösung"? Oder gar "nichtkonstante periodische Lösung""?
(Für mich sind konstante Lösungen periodisch.)
Und fehlt vielleicht "\( A\) ist schiefsymmetrisch"?
Fragen über Fragen...
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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haerter
Senior
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1735
Wohnort: Bochum
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-03-24
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Hallo,
ich vermute, dass A konstant sein soll, d.h. es geht um $x'(t) = Ax(t)$, mit $A(t)$ wird es deutlich komplizierter.
Bei konstantem $A$ hängen periodische Lösungen mit Eigenwerten $\pm i \omega$ zusammen. Das kann man dann mit der ungeraden Raumdimension in Verbindung setzen.
Das ist natürlich erstmal Spekulation ohne den genauen Aufgabentext.
Viele Grüße,
haerter
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| julia_bauer434 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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